初二下册知识梳理.docx

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初二下册知识梳理

初二下册知识梳理

分式

I.定义：

整式A除以整式B，可以表示成A/B的形式。

如果除式B中含有字母，那么称为分式（fraction）。

　　注:

A÷B=A×1/B

　　II.组成：

在分式中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

　　III.意义：

对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。

　　IV.分式值为0的条件：

在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。

　　注:

分式的概念包括3个方面：

①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

第二节分式的基本性质和变形应用

　　V.分式的基本性质:

分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

　　VI.约分:

把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．

　　VII.分式的约分步骤:

（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.

（2）分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.

　　注:

公因式的提取方法:

系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.

　　VIII.最简分式:

一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.

　　IX.通分:

把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.

　　X.分式的通分步骤:

先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.

　　注:

最简公分母的确定方法:

系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.

　　注:

（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质.

（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程.

第三节分式的四则运算

　　XI.同分母分式加减法则:

分母不变,将分子相加减.

　　XII.异分母分式加减法则:

通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算.

　　XIII.分式的乘法法则:

用分子的积作分子,分母的积作分母.

　　XIV.分式的除法法则:

把除式变为其倒数再与被除式相乘.

第四节分式方程

　　XVI.分式方程的意义:

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

　　XVII.分式方程的解法:

①去分母（方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程）;②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根（求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根）.

反比例函数性质

　　1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

　　2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

　　定义域为x≠0；值域为y≠0。

　　3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

　　4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|

　　5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

　　6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

　　7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

　　8.反比例函数y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

　　9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。

　　10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

　　11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

　　12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

　　13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。

以上大多初中不要求掌握。

初中只要求掌握一些基本的性质（即第一条）

勾股定理

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。

据说毕达高拉斯发现了这个定后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：

直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，

设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那麽

a2+b2=c2

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股数组

满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a,b,c）。

例如（3,4,5）就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

推广

如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两斜边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

中点四边形

平行四边形各中点构成的还是平行四边形，矩形的是菱形，等腰梯形的也是菱形。

由于没有图，说说你就能理解了，其实每一种证明都是一样的，都是把四边形两条对角线连在一起，而有中点构成的四边形的边就平行且等于对角线的一半（三角形中线定律），所以，四边形各中点构成的四边形至少是平行四边形，而矩形和等腰梯形对角线相等，所以新的四边形各个边相等，即为菱形。

对照我说的，你一画图就明白了，有不明白的再问我、、、

梯形的定义

　　梯形（trapezium）是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。

平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。

不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

梯形的性质

　　①梯形的上下两底平行；

　　②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。

梯形的判定

　　①一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。

　　②一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

常用辅助线

　　1．作高（根据实际题目确定）；

　　2．平移一腰；

　　3．平移对角线；

　　4．延长两腰交于一点；

　　5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；

　　6．取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。

几种特殊的梯形

等腰梯形

　　定义

　　两腰相等的梯形叫做等腰梯形（isoscelestrapezium）

　　性质

　　1．等腰梯形的两条腰相等。

　　2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等。

　　3．等腰梯形的两条对角线相等。

　　4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。

　　判定

　　①两腰相等的梯形是等腰梯形；

　　②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

　　③对角线相等的梯形是等腰梯形；

直角梯形

　　定义；

　　一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。

　　性质

　　直角梯形有两个角是直角。

　　判定

　　有一个内角是直角的梯形是直角梯形。

梯形周长与面积

周长

　　梯形的周长公式：

上底+下底+腰+腰，用字母表示：

a+b+c+d。

　　等腰梯形的周长公式：

上底+下底+2腰，面积用字母表示：

a+b+2c。

面积

　　梯形的面积公式：

（上底+下底）×高÷2，用字母表示：

S=（a+b）×h÷2。

　　变形1：

h=2s÷（a+b）；变形2：

a=2s÷h-b；变形3：

b=2s÷h-a。

　　另一计算梯形的面积公式：

中位线×高，用字母表示：

L·h。

　　对角线互相垂直的梯形面积为：

对角线×对角线÷2。

典型例题分析

　　例1、如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线．求证：

四边形EBCD是等腰梯形。

　　分析：

欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED//BC，BE=CD，由已知条件易证△BCD≌△CBE得到EB=DC，从而AE=AD，运用等腰三角形的性质可证ED//BC。

　　证明：

∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB，

　　∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC，

　　∴△EBC≌△DCB（ASA），

　　∴BE=CD，

　　∴AB－BE=AC－CD，即AE=AD．

　　∴∠ABC=∠AED，∴ED//BC，

　　又∵EB与DC交于点A，即EB与DC不平行，

　　∴四边形EBCD是梯形，又BE=DC，

　　∴四边形EBCD是等腰梯形．

　　点评：

本题的解题关键是证明ED//BC，EB=DC，易错点是忽视证明EB与DC不平行．

　　例2、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，求证：

四边形ABCD是等腰梯形。

　　证明：

过点A作AE∥DC交BC边于点E．

　　∵AB=CD，AC=DB，BC=CB，

　　∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB

　　又AE∥DC，∴∠AEB=∠DCB

　　∴∠ABC=∠AEB，∴AB=AE，∴．

　　∴四边形AECD是平行四边形．∴AD∥BC．

　　又AB=DC，且AD≠BC，

　　∴四边形ABCD为等腰梯形．

　　点评：

　　判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形和一个等腰三角形．

　　例3、如图，P为等腰梯形ABCD的下底BC上一点，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N为垂足，BE⊥CD，E为垂足．求证：

BE=PM+PN．

　　证明：

过P点作PH⊥BE于点H．

　　∵BE⊥CD，PN⊥CD，

　　∴四边形PHEN是矩形．

∴HE=PN，EN∥PH．

　　∴∠BPH=∠C．

　　∵四边形ABCD为等腰梯形，

　　∴∠ABC=∠C．

　　∴∠MBP=∠HPB．

　　又PM⊥AB，BP公共，

　　∴Rt△MBP≌Rt△HPB．

　　∴PM=BH．

　　∴BE=BH+HE=PM+PN．

　　点评：

要证线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，本例采用的是“截长法”．

　　例4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=AD+BC，M为DC的中点．求证：

AM⊥BM。

　　证明：

延长AM交BC的延长线于点N．

∵M为DC中点，AD∥BC，

　　∴△ADM≌△NCM．

　　∴AD=CN，AM=MN．

　　∴AB=AD+BC=BN．

　　由等腰三角形“三线合一”知，BM⊥AM．

　　点评：

根据证题的需要，集中梯形的两底也是常用的添加辅助线的方法．本例也可以先延长BC至N，使BN=AB，再证A、M、N共线．

　　例5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求该梯形上下底的和．

　　解：

过D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

　　∵AD∥CE，

∴DE=AC=5cm，AD=CE．

　　∵AC⊥BD，

　　∴DE⊥BD．

　　在Rt△BDE中，

　　∴AD+BC=CE+BC=BE=13cm．

　　点评：

过顶点作一条对角线的平行线，把两条对角线的数量关系和位置关系集中到一个三角形中，将求梯形上下底的长转化为求直角三角形斜边的长

　　例6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2．求梯形的高。

　　解法1：

如图（甲），过A作AE∥DB交CB的延长线于点E。

　　∵AC⊥BD，

∴AC⊥AE．　

　　∵AD∥EB，

　　∴AE=BD，EB=AD．　

　　又∵四边形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC=BD．

　　∴AE=AC．　

　　∴△AEC是等腰直角三角形．　

　　又AF是斜边上的高，故AF也为斜边上的中线．

　　∴AF=7cm

　　解法2：

　设梯形ABCD的两条对角线相交于O点，过O作OH⊥BC于点H，延长HO交AD于G点（如图（乙））．　

　　∵AD∥BC，

　　∴HG⊥AD．　

　　∵AB=DC，AC=DB，BC公共，　

　　∴△ABC≌△DCB．

　　∴∠2=∠1．　

　　又∵AC⊥BD，∴△BOC是等腰直角三角形．　

　　∴．同理．　

　　∴．　以下解答过程与解法1相同．

　　解法3：

过D作DM⊥BC于点M（如图（丙））．　

　　∵梯形ABCD是等腰梯形，

　　∴AC=DB，∠ABC=∠DCB．　

　　又∵AF=DM，

　　∴Rt△AFC≌Rt△DMB，

　　∴∠DBC=∠ACB．　

　　又∵AC⊥BD，

　　∴∠DBM=∠ACF=45°．　

　　∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形．AF=FC，DM=MB，　

　　∴．　以下解答过程与解法1相同．

　　点评：

　本题的三种解法都是利用等腰直角三角形的性质或全等三角形的性质来证明该梯形的高就等于该梯形的中位线的长．因此，在等腰梯形中，若两条对角线垂直，则这个梯形的高就等于中位线的长，梯形的面积就等于高的平方．

　　例7、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且AE=GF=GC．　

（1）求证四边形AEFG是平行四边形；　

（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证四边形AEFG是矩形．

　　分析：

本题考查有关三角形、四边形的综合证明．涉及到等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等．在解答过程中要注意证明格式、推理方式的规范化．

　　证明：

（1）∵在梯形ABCD中，AB=DC，

　　∴∠B=∠C．　

　　∵GF=GC，∴∠C=∠GFC，

　　∴∠B=∠GFC　

　　∴AB//GF，即AE//GF．　

　　又∵AE=GF

　　∴四边形AEFG是平行四边形．

（2）过点G作GH⊥FC，垂足为H．　∵GF=GC，

　　∴∠FGH=1/2∠FGC．　

　　∵∠FGC=2∠EFB　∴∠FGH=∠EFB．　

　　∵∠FGH+∠GFH=90°

　　∴∠EFB+∠GFH=90°

　　∴∠EFG=90°　

　　∵四边形AEFG是平行四边形，

　　∴四边形AEFG是矩形．

　　备注：

梯形的底角可以指梯形中任意一个角，所以说“底角相等的梯形是等腰梯形”是不对的。