勾股定理的培优专题.docx

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勾股定理的培优专题

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勾股定理培优专题

　一、本节基础知识

１、勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a、ｂ、ｃ满足a２+b2=c２，那么这个三角形是直角三角形.

2、命题与原命题：

勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反,我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理:

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：

3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。

巩固练习:

1.如果三角形的三边长a、b、ｃ满足a2＋b２＝ｃ２,那么这个三角形是_＿____＿__三角形,我们把这个定理叫做勾股定理的＿＿____＿＿_．

2.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做_＿＿______如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的_＿＿__＿___．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长:

（１）6、8，1０，

（2）5、１2、1３，（3）８、1５、17,（４）4、5、6,其中能构成直角三角形的有______＿＿_．（填序号）

4．若△ＡBＣ中,（b-a）（b＋a）=c２,则∠B=_＿____＿＿_;

5.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的△ABC是__＿_____三角形.

６．若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其中ａ为正整数），则以a－2、a、a+2为边的三角形的面积为____＿_＿_．

7．写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假．

（1）两直线平行,同位角相等．

（2）若a＞b,则ａ２＞ｂ2．

二、经典例题、针对训练、延伸训练

考点一证明三角形是直角三角形

例1、已知：

如图,在△ＡBC中,CD是ＡB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：

△AＢC是直角三角形.

针对训练:

1、已知:

在△ABC中，∠Ａ、∠Ｂ、∠C的对边分别是ａ、b、ｃ,满足a2+b２+ｃ２+338=10a+24b+2６ｃ.试判断△ABC的形状.

2（如图）在正方形ABCD中，F为ＤC的中点,E为ＢＣ上一点,且EＣ=

BＣ，求证:

∠ＥFA＝９0︒.

3、如图,已知：

在ΔAＢC中，∠C＝90︒，M是BC的中点,ＭＤ⊥ＡB于D，求证：

AD2=AＣ2＋BD2．

考点二　运用勾股定理的逆定理进行计算　　　　　　　　　　　　　　

例、如图,等腰△AＢＣ中，底边BＣ＝２０,D为AB上一点,ＣD＝16,BD=12,

求△AＢC的周长。

针对训练：

1、.已知:

如图,四边形ＡＢCD,AＤ∥ＢＣ,ＡB=4，BC＝6，ＣＤ＝5,AD=3.

求：

四边形ABCD的面积.

３.已知：

如图，ＤＥ=m，ＢＣ=n,∠EBC与∠ＤCB互余,求BD2+ＣD2.

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用

例1.阅读下列解题过程：

已知a、ｂ、ｃ为△ＡＢC的三边，且满足a2c２－b２c２=ａ4-b４,试判断△ABＣ的形状.

解：

∵a2c２－b2c2=a４-b４,（Ａ）∴c２（a2-ｂ2）＝（ａ2+b2）（ａ2－b2），（B）∴c2=ａ2+b2，（C）∴△ABC是直角三角形.

问：

①上述解题

过程是从哪一步开始出现错误的？

请写出该步的代号_＿＿____；

②错误的原因是

_＿_＿_＿＿_＿____＿;③本题的正确结论是____＿_＿_＿_.

例2.　学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足

或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!

（１）画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是

______mm；

____＿＿＿ｍm；较长的一条边长

＿＿__＿__ｍm。

比较

（填写“>”,“<”,或“=”）；

（2）画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是

__＿＿_＿mm;　

____＿＿＿mm;较长的一条边长

___＿_＿_mm。

比较

　（填写“>”,“<”,或“＝”）；

（３）根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,　你猜想的结论是：

　　　　　　　　　　　　　　;

　　　　　　　　　　　　　　　。

⑷对你猜想

与

的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

例3．如图,南北向ＭN为我国的领海线，即MＮ以西为我国领海，以东为公海．上午9时5０分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇Ｃ以每小时1３海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇Ｂ密切注意.反走私艇A通知反走私艇B：

A和C两艇的距离是1３海里,A、B两艇的距离是5海里．反走私艇B测得距离Ｃ艇是12海里,若走私艇Ｃ的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海？

针对训练:

１观察下列各式:

３2+42＝52;８2＋62=１０２；152＋82=1７2；２42＋102=２6２…,你有没有发现其中的规律?

请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

2、如图所示，有一块塑料模板AＢCＤ，长为10㎝，宽为4㎝,将你手中足够大的直角三角板PHＦ的直角顶点P落在AD边上（不与Ａ、D重合）并在AD上平行移动:

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.ﻫ②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在ＡD上移动,直角边ＰH始终通过点B，另一直角边PF与DＣ的延长线交于点Q,与ＢC交于点E，能否使ＣＥ=2㎝?

若能,请你求出这时AＰ的长；若不能,请说明理由.ﻫ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ﻫ

3.喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800　ｍ,从山上Ａ与山下B处各建一索道口,且BC＝１5００m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50m，那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?

说明理由．

　　　　　　　ﻫ

延伸训练：

如图，在△AＢC中,∠ＡCＢ＝９0°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PＢ=1,PＣ＝2，ＰＡ=3，求∠BＰC的度数.

总结提高:

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的

是（　）

Ａ.三内角之比为1∶２∶3　　　B．三边长的平方之比为1∶２∶3

C.三边长之比为3∶4∶５　Ｄ．三内角之比为3∶4∶５

２．如图1８－2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ＡBCD,AD∥ＢＣ，斜腰DC的长为10　cm,∠D＝12０°，则该零件另一腰AB的长是＿____＿__cｍ（结果不取近似值）．

图1８

－２－４　　　图18－2－5　　　　　图18-2－6

3.如图1８－2-5，以Rt△ABＣ的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、Ｓ2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为___＿__＿__.

4．如图１8-2－６，已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AＦ＝

AD,试判断△EＦC的形状.

5．一个零件的形状如图１8-2－７，按规定这个零件中∠Ａ与∠BDＣ都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸：

AD=4，AB＝3,BD＝5,DC=12　,　BＣ=１３，这个零件符合要求吗?

　　　　　　　　　　　　　　图18-2－7

6．已知△ABＣ的三边分别为k2－1，２k，k2+1（ｋ>１），求证:

△AＢC是直角三角形.

7．已知a、b、c是Ｒt△ＡBC的三

边长,△A1B1Ｃ１的三边长分别是２ａ、2b、2ｃ,那么△A１B1Ｃ1是直角三角形吗?

为什么?

8、．如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中,点A、Ｂ的坐标分别为Ａ（3,1）,B（２,4），△ＯＡB是直角三角形吗？

借助于网格，证明你的结论．

9、若△ABC的三边长为ａ、ｂ、ｃ,根据下列条件判断△ABC的形状。

（1）a２+ｂ２＋c2＋２00=1２a+16b＋20c

（2）　a3-a2b+ab２-ac2+ｂc2-b3=0

10．如图，在△ABＣ中,Ｄ为BC边上的一点,已知AB=１３，AD=12，AＣ＝15,ＢD=５，求ＣD的长．

11．已知：

如图，四边形ＡBCＤ中，ＡB⊥BC,AB＝１,ＢC＝2，ＣD＝２，AD＝３，求四边形AＢCD的面积．

14.已知：

如图，在正方形ABＣD中,Ｆ为ＤC的中点，E为CB的四等分点且

求证：

AＦ⊥FＥ．

１5.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．

（1）若a2=b2，则a=b．

（2）如果△AＢC≌△A'B＇C'，那么BC=B'C',AC=Ａ'C',∠B＝∠B'．

（３）全等三角形的三组对应角相等．