勾股定理专题.doc
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专题复习勾股定理（郑默言）
本章常用知识点：
1、勾股定理：
直角三角形两直角边的等于斜边的。
如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：
。
2、勾股数：
满足a+b=c的三个，称为勾股数。
常见勾股数如下：
3,4,5
6,8,10
9,12,15
12,16,20
15,20,25
5,12,13
7,24,25
9,40,41
10,24,26
8,15,17
3、常见平方数：
；；；；；
；；；；；
；；；；
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt▲ABC中，C=,a=5,c=3.，则Rt▲ABC的面积S=。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：
l
a
b
c
3、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为
4、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，
则S1＋S2＋S3＋S4等于。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足：
a+b+c+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。
B
D
C
A
7、如图，，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？
8、如下图，在∆ABC中，，AB=8cm，BC=15cm，P是到∆ABC三边距离相等的点，求点P到∆ABC三边的距离。
9、如右图：
在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD的面积。
10、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？
（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?
.
专题二、勾股定理与折叠
图4
E
G
C
D
B
A
1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。
2、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，求：
重合部分△EBD的面积
E
D
B
C
A
3、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？
图6
P
H
F
E
Q
D
C
B
A
4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=
（1）求BE、QF的长
（2）求四边形PEFH的面积。
专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度
E
D
C
B
A
1、如图，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？
E
B
C
D
A
2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？
请给出证明。
3、△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（）
A4,5,6,B5,7,12C12,13,15D14,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是
3、下列是勾股数的一组是（）
A2,3,4,B5,6,7,C9,40,41D102425
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且a（1）：
试找给他们的共同点，并证明你的结论
（2）：
当a=21时，求b,c的值
3,4,5
3+4=5
5,12,13
5+12=13
7,24,25
7+24=25
9,40,41
9+40=41
……..
……
21,b,c
21+b=c
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
D
C
B
A
1、在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12
求四边形ABCD面积
C
B
D
A
2、CD是▲ABC中AB边上的高，且CD=ADDB，试说明ACB=
D
F
C
E
B
A
3、在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点
且CF=4CD试说明▲AEF是直角三角形。
4、如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：
AD2=AC2+BD2．
5、如图中，为BC上任意一点，求证：
．
A
B
P
C
专题六、勾股定理与旋转
1、在等腰Rt▲ABC中，CAB=，P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=
求：
CPA的大小？
C
B
A
P
2、如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，
且∠DCE=45°。
求证：
DE2=AD2+BE2。
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
4、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。
P
B
A
C
4、如图，在中，，M为AB上一点，AM=BC，N为AB上一点，CN=BM，连接AN、CM交于点P。
求的大小。
专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
2、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
C
B
S
3、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
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