第二节标准正交基优质PPT.ppt

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主要内容,第二节标准正交基,定义,标准正交基的求法,正交矩阵,举例,一、定义,1.正交向量组的定义,定义5欧氏空间V中一组非零的向量，如,果它们两两正交，就称为一正交向量组.,应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向,量组也是正交向量组.,当然，以下讨论的正交向量,组都是非空的.,2.正交向量组的性质,性质正交向量组是线性无关的.,证明,设1,2,m是一正交向量组，,k1,k2,km是m个实数，且有,k11+k22+kmm=0.,用i与等式两边作内积，得,ki（i,i）=0.,由i0，有（i,i）0，从而,ki=0（i=1,2,m）.,证毕,这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交,的非零向量不能超过n个.,这个事实的几何意义是,清楚的.,例如，在平面上找不到三个两两垂直的非,零向量；@#@,在空间中，找不到四个两两垂直的非零向,量.,从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性,质的讨论中有特殊的地位.,在欧氏空间中，情况是,相仿的.,3.正交基的定义,定义6在n维欧氏空间中，由n个向量组成,的正交向量组称为正交基；@#@,由单位向量组成的正交,基称为标准正交基.,对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交,基.,4.正交基的性质,性质1设1,2,n是一组标准正交基，,则,显然，

（1）式完全刻画了标准正交基的性质.,换句,话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：

@#@,它的度量矩阵为单位矩阵.,因为度量矩阵是正定的.,根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同,于单位矩阵.,这说明在n维欧氏空间中存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵.,由此可以断言，在n维,欧氏空间中，标准正交基是存在的.,性质2设1,2,n是一组标准正交基，,向量在该基下的坐标为（x1,x2,xn）,即,=x11+x22+xnn，,则,xi=（i,）（i=1,2,n）.,证明,（i,）=（i,x11+x22+xnn）,=（i,x11）+（i,xi-1i-1）+（i,xii）+,+（i,xi+1i+1）+（i,xnn）,=x1（i,1）+xi-1（i,i-1）+xi（i,i）+,+xi+1（i,i+1）+xn（i,n）,=xi（i,i）,=xi.,证毕,性质3设1,2,n是一组标准正交基，,且,=x11+x22+xnn，,=y11+y22+ynn，,那么,（,）=x1y1+x2y2+xnyn=XTY.

（2）,这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中,的坐标表达式的推广.,应该指出，内积的表达式

（2）,对于任一组标准,正交基都是一样的.,这说明了，所有的标准正交基,在欧氏空间中有相同的地位.,在下一节，这一点将,得到进一步的说明.,下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基,的求法.,二、标准正交基的求法,定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都,能扩充成一组正交基.,证明,设1,2,m是一正交向量组，,我们对n-m作数学归纳法.,当n-m=0时，1,2,m就是一组正交,基.,假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以,找到向量1,2,s,使得,1,2,m,1,2,s,成为一组正交基.,现在来看n-m=k+1的情形.,因为mn，,所以一定有向量不能被1,2,m线性表出，,作向量,m+1=-k11-k22-kmm,这里k1,k2,km是待定的系数.,用i与m+1作,内积，得,（i,m+1）=（,i）-ki（i,i）（i=1,2,m）.,取,有,（i,m+1）=0（i=1,2,m）.,由的选择可知，m+10.,因此,1,2,m,m+1,是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2,m,m+1可以扩充成一正交基.,证毕,应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个,具体的扩充正交向量组的方法.,如果我们从任一个,非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后,就得到一组正交基.,再单位化，就得到一组标准正,交基.,在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空,间的一组基.,对于这种情形，有下面的结果：

@#@,定理2对于n维欧氏空间中任意一组基1,2,n，都可以找到一组标准正交基1,2,n，使,L（1,2,i）=L（1,2,i）,i=1,2,n.,证明,设1,2,n是一组基，我们来逐,个地求出向量1,2,n.,首先，可取,一般地，假定已经,求出1,2,m，它们是单位正交的，具有性,质,L（1,2,i）=L（1,2,i）,i=1,2,m.,下一步求m+1.,因为,L（1,2,m）=L（1,2,m）,所以m+1不能被1,2,m线性表出.,按定,理1证明中的方法，作向量,显然,m+10,且（m+1,i）=0，i=1,2,m.,令,则1,2,m,m+1就是一单位正交向量组.,同时,L（1,2,m+1）=L（1,2,m+1）.,由归纳法原理，定理2得证.,证毕,应该指出，定理中的要求,L（1,2,i）=L（1,2,i）,i=1,2,n.,就相当于由基1,2,n到基1,2,n的,过渡矩阵是上三角形的.,定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正,交向量组的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程.,三、举例,例1设,试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交,的向量组；@#@并解释施密特正交化过程的几何意义.,解取b1=a1;@#@,再把它们单位化,取,则e1,e2,e3即为所求.,例1中各向量如图9-1所示.用解析几何的术,语解释如下:

@#@,四、正交矩阵,设1,2,n与1,2,n是欧氏空间V,中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是,A=（aij），即,因为1,2,n是标准正交基，所以,矩阵A的各列就是1,2,n在标准正交基,1,2,n下的坐标，按公式（3），（4）式可以表,示为,（5）式相当于一个矩阵的等式,ATA=E，（6）,或者,A-1=AT.,定义7n级实数矩阵A称为正交矩阵，如,果ATA=E.,因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正,交基的过渡矩阵是正交矩阵；@#@,反过来，如果第一组,基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么,第二组基一定也是标准正交基.,最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由,ATA=E,即得,AAT=E.,写出来就是,（5）式是矩阵列与列之间的关系，（7）式是行与行之,间的关系，这两组关系是等价的.,本节内容已结束!

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