浅谈高中数学常见的几种解题技巧.docx

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浅谈高中数学常见的几种解题技巧

附件1：

论文编号：

（由教研室统一按市、县编码编号）

贵州省教育科学院贵州省教育学会

2018年教育教学科研论文、教学（活动）设计

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（征文封面）

学科类别（不要以编号代替）：

论文题目

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铜仁市（州、地）思南县（区、市、特区）思唐乡（镇）

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论文内容摘要（200字左右）

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1.所写论文为本人原创，并非从网上直接下载或抄袭他人（）

2.所写案例真实，源于本人亲历的课堂（）

浅谈高中数学常见的几种解题的基本方法

思南县第六中学冯大磊

摘要：

介绍高中数学中几种常见的解题方法，主要从这几种方法的定义，做题的一般的步骤来介绍。

在本文中还举了相应的例子，更便于理解。

关键字：

换元法配方法待定系数法定义法

归纳法参数法反证法

一、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：

局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：

4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,]。

例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5（①式），设S＝x＋y，求＋的值。

解：

设代入①式得：

4S－5S·sinαcosα＝5

解得S＝；

∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13

∴≤≤

∴＋＝＋＝＝

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：

||≤1。

这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：

A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。

解：

由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

＋＝＋

＝＋

＝＝＝－2,

解得：

cosα＝，即：

cos＝。

另解：

由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。

所以＋＝－

＝－2，设＝－＋m，＝－－m，

所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：

cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，

cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，

即：

sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：

3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。

二.配方法

配方法是对数学式子进行定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a＋b）＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝（a＋b）－2ab＝（a－b）＋2ab；

a＋ab＋b＝（a＋b）－ab＝（a－b）＋3ab＝（a＋）＋（b）；

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）]

a＋b＋c＝（a＋b＋c）－2（ab＋bc＋ca）＝（a＋b－c）－2（ab－bc－ca）＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋＝（x＋）－2＝（x－）＋2；……等等。

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A.2B.C.5D.6

解：

设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：

。

长方体所求对角线长为：

＝＝＝5

所以选B。

例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若（）+（）≤7成立，求实数k的取值范围。

解：

方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：

p＋q＝－k，pq＝2,

（）+（）＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。

又∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：

－≤k≤－或者≤k≤。

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）g（x）的充要条件是：

对于一个任意的a值，都有f（a）g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

1利用对应系数相等列方程；

2由恒等的概念用数值代入法列方程；

3利用定义本身的属性列方程；

4利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：

首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

例1.已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

解：

函数式变形为：

（y－m）x－4x＋（y－n）＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

∴△＝（－4）－4（y－m）（y－n）≥0

即：

y－（m＋n）y＋（mn－12）≤0①

不等式①的解集为（-1,7），则－1、7是方程y－（m＋n）y＋（mn－12）＝0的两根，

代入两根得：

解得：

或

∴y＝或者y＝

此题也可由解集（-1,7）而设（y＋1）（y－7）≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：

，解出m、n而求得函数式y。

例2.设椭圆中心在（2,-1），它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。

yB’

x

AFO’F’A’

B

解：

设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

∴

解得：

∴所求椭圆方程是：

＋＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：

，更容易求出a、b的值。

四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。

简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。

用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

例1.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z＋3－4，求w的三角形式；②如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。

解：

由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝（1＋ｉ）＋3－4＝2ｉ＋3（1－ｉ）－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；

由z＝1＋ｉ，有＝＝＝（a＋2）－（a＋b）ｉ。

由题设条件知：

（a＋2）－（a＋b）ｉ＝1＋ｉ；

根据复数相等的定义，得：

，

解得。

例2.已知f（x）＝－x＋cx，f

（2）＝－14，f（4）＝－252，求y＝logf（x）的定义域，判定在（,1）上的单调性。

解：

解得：

∴f（x）＝－x＋x解f（x）>0得：

0

设

∵x+x>，x+x>

∴（x+x）（x+x）〉×＝1

∴f（x）－f（x）>0即f（x）在（,1）上是减函数

∵<1∴y＝logf（x）在（,1）上是增函数。

五、数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

例1.已知数列，得，…，，…。

S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。

解：

计算得S＝，S＝，S＝，S＝，

猜测S＝（n∈N）。

当n＝1时，等式显然成立；

假设当n＝k时等式成立，即：

S＝，

当n＝k＋1时，S＝S＋

＝＋

＝

＝＝,

由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。

综上所述，等式对任何n∈N都成立。

例2.设a＝＋＋…＋（n∈N）,证明：

n（n＋1）

解：

当n＝1时，a＝，n（n+1）＝，（n+1）＝2，

∴n＝1时不等式成立。

假设当n＝k时不等式成立，即：

k（k＋1）

当n＝k＋1时，k（k＋1）＋

k（k＋1）＋>k（k＋1）＋（k＋1）

＝（k＋1）（k＋3）>（k＋1）（k＋2），

（k＋1）＋＝（k＋1）＋<（k＋1）＋（k＋）＝（k＋2），

所以（k＋1）（k＋2）

综上所述，对所有的n∈N，不等式n（n＋1）

六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。

解：

由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，

其中t＋t＋t＝0，

∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋（＋t）＝＋（t＋t＋t）＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥

所以a＋b＋c的最小值是。

例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。

连OP、OQ，

若k·k＝－，

①．求证：

|OP|＋|OQ|等于定值；

②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

解：

由＋＝1，设，P（4cosθ,2sinθ），Q（4cosθ,2sinθ）,

则k·k＝＝－，整理得到：

cosθcosθ＋sinθsinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。

∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12（cosθ＋cosθ）＝20＋6（cos2θ＋cos2θ）＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，

即|OP|＋|OQ|等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，

所以有（）＋y＝2＋2（cosθcosθ＋sinθsinθ）＝2,

即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。

七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：

肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：

“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。

再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三步是：

否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：

作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：

将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：

说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：

“反证法是数学家最精当的武器之一”。

一般来讲，反证法常用来证明的题型有：

命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。

具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。

求证：

AC与平面SOB不垂直。

证明：

假设AC⊥平面SOB，

∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO，

∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，

∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，

这显然出现矛盾，所以假设不成立。

即AC与平面SOB不垂直。

例2.若下列方程：

x＋4ax－4a＋3＝0，x＋（a－1）x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。

试求实数a的取值范围。

解：

设三个方程均无实根，则有：

解得,即－

所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。