一阶微分方程在实际问题中的应用.docx

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一阶微分方程在实际问题中的应用

一阶微分方程在实际问题中的应用

专业：

数学与应用数学　学号：

201413008148　学生姓名：

李洪祥

指导老师：

陈迪三职称：

讲师

【内容摘要】大家都知道自然界里的所有物质均是依照本身的规律进行运动及演化。

虽然运动的方式不一样，但是不一样的物质的运动规律都是于空间和时间上运动。

物质的变化很大，但大家都可以辨认出它们相同的一个地方，就是数目上的同样的变化规律。

在针对一些一定的运动及进化的阶段里进行定量的、定性的考究，一定要使得物质运动及进化阶段相关的要素有一个数学化的形式，这便是数学建模的阶段，就是依照规律变化的阶段。

从运动及进化这两个方面来看出这种种的不一样的变量的相互约束和相互影响之间的关系。

本文主要研究的是一阶线性微分方程的应用。

在现有线性微分方程模型的基础上，对打假问题的求解方程进行了改进，并建立了一种模型，使其更接近实际情况。

【关键词】模型；一阶微分方程；打假问题

1引言

随着科学技术的飞速发展，人们常常用数学建模或数学模型来研究和掌握某事物的发展规律。

比如，城市规划师要组建人口、环境、交通等的数学模式模型，使得城市发展策略的制定有了理论化的根据。

生理学家建立了人体内部的药物的浓度伴随空间及时间的改变的数学模型，能够解析药品的序贯效应，能够在临床上更好的形式药品。

要是经理及主管可以依据生产的要求、生产的成本、产品的需要、存储的成本等资料来规划项目，他们可以得到极多的成果。

电气工程师一定要组建一种数学模型来管理产品的阶段，并利用该模型进行规划及计算，来达到管理操纵设备的生产阶段。

以获取精确的天气预报为目的，气象局收集大量的数据（气温、湿度、风速和风向、气压等等），然后对其建立模型来确定未来空气变化。

即使是旅游这种平日活动中，我们也常常制定出一个最合适的旅游路线，这也可以看成是一个数学模型的组建及解析。

数学模型作为现实情况的实质的表现及理论的抽象。

她运用数学语言来对研究的对象的内部的特色及有关的要素的关系进行表述。

当我们需要从定量的方面来解析及考究一个现实的问题的时候，大部分需要组建数学模型来进行考究。

一种好的数学模型可以表述出建模的根本的体系，并且对其做出预测，同时能解释为什么这么建模以及建模得出的结论。

数学建模这种求解问题的方法在许多领域得到了广泛的应用，如生产技术、科技、经济、金融等。

它已经成为我们研究客观世界的一个有力工具。

1.1研究的背景

常微分方程是现代数学的一种主要的支流，作为在表述事物的成长阶段的一个十分有用处的用具，它可以更全面、更专业。

在考察极为繁杂的事物的运动的阶段里，我们大部分不可以看出变量之间的函数联系，可是我们能够得到变量之间的函数关系。

在该问题知道自变量、未知函数以及函数的导数或微分组成的关系式，称为微分方程，当中仅有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。

由解得微分方程来得出未知的函数。

使用得出来的数值，或者以考察渐进性，来观察和得到成长过程事物的变化所谓的微分方程是与自变量和未知函数相联系的【3】。

我们发现在人文科学中有大量的问题，如社会学、经济学等等，当它们被准确地表述的时候，经常会有微分方程。

一种具体的问题能够变成一个微分方程，很多个问题能够变成一种一阶常微分方程问题的解取决于我们对一阶微分方程的研究。

1.2研究的目的及意义

在现实生活中，许多更繁杂的运动阶段经常是要间接地得出它们的函数，可是极易组建变量跟它们的微分及导数中间的联系。

一阶微分方程能够被使用在对物质运动的瞬时规律进行表述。

一阶常微分方程的使用实际问题是由于一阶常微分方程理论是用数学方法解决实际问题的有力工具。

它是与实际应用密切相关的基础学科，其自身也在不断的发展中。

微分方程在实践中有许多应用，在许多科学领域中起着重要的作用。

例如，自动控制，各种电子设备的设计，轨迹的计算，飞机稳定性和导弹飞行稳定性的研究，化学反应稳定性的研究等等。

所有的这些问题都可以化成常微分的问题来解决。

在实际应用过程中，我们可以直接使用数学，物理，化学，生物学等学科中很多自然现象所满足的规律，直接建立一个常微分方程模型。

如放射性物质放射性规律。

2一阶段常微分方程建模

在数学建模的阶段里，数学模型的组建是个重点的工作。

只能在组建了模型，别的工作才可以进行。

常微分方程已经发展了三百多年，它的基本理论和方法不断的在发展，可以提供足够的方法用于分析和寻找方程的解或数值解。

常微分方程模型对实际应用非常重要，它具有很强的通用性、有效性和丰富的数学内涵。

本章首先介绍了常微分方程建模的定义，之后举了多个数学建模里使用的常微分方程。

在当中我们能够更加体验到常微分方程的办法跟基础的理论被使用在现实的问题里的有效性。

2.1常微分方程建模概述及建模方法

2.1.1常微分方程建模概述

针对实际的社会里的改变，大家常常注意的是速度、加速度以及位置伴随着时间的改变而改变的规律。

当中的规律经常能够使用常微分方程组及方程作为表述的方式。

微分方程里的方程是跟宏观相反的微观，就是瞬时的联系。

微分方程组建模型能够用于更多的区域。

它可以用来建立物理力学中RLC电路模型、数学摆模型，社会学的人口模型，生物学的传染病模型、两生物种群生态模型，气象学Lorenz方程等。

此中的离散模型适用于差分方程建模，连续模型适用于偏微分方程和常微分方程建模。

在本章中，大家会在数学建模的过程里使用常微分方程基本的方法理论【6】。

2.1.2常微分方程建模主要几种方法

在考察相对多样的东西发生改变的阶段里，经常是要间接的才可以有变量之间的函数关系，可是能够看到问题里的某些变量跟当中的导数的联系，来组建方程。

微分方程的概念是只要包括没有解出的函数的导数跟当中的自变量的方程，而常微分方程就是当中的自变量仅有一种的微分方程。

由解得未知函数中解析式的答案，依据解得的数值，或在考究常微分方程渐近性的基础上，来得知事物的改变状况。

当中常见的列出常微分方程的办法有几个：

（1）依据现实的状况获得的或者隐藏的要求来组建常微分方程模型

这个需要我们既要细心又要耐心地解析问题，找到给出的或者隐藏的等量关系，之后组建一种常微分方程模型。

像天文学跟气象的现实问题上，大部分人常常会算到等角轨线，即在给出的角度的已知的曲线或者曲线族不平行的情况下的一条曲线。

就是，在曲线或者曲线族跟等角轨线两者的切线在不平行的情况下形成给出的角度。

运用这些条件，能够写出一种常微分方程。

之后，使用问题里隐藏的等角轨线跟它相交，就是相等的相交的地方的数值的条件，来组建一种有关等角轨线的柯西问题【7】。

（2）使用知道的基础的公式或者基础的定理定律组建常微分方程模型

这个办法最重要的是依据每种科目里的知道的定律跟定理组建的，像弹性形变的胡克定律，傅里叶热传热定律和力学中的牛顿第二运动定律，万有引力定律，还有流体力学里的托里拆里定律、阿基米德原理，放射性问题里的衰变率，电学里的基尔霍夫定律,还有生物学、人口问题里的增长率等。

（3）利用导数的定义建立微分方程模型

要是函数

能够可微，那

便能够看做是在这个点上的瞬时变化率。

在很多建模应用问题中都有把导数解释为瞬时变化率。

如在人口模型问题研究中，马尔萨斯的假设中出现的“净相对增长率”（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比），在放射问题中出现的自发现象“衰变”等。

在这些阶段，特别要关注到研究对象会产生或者产生了什么改变，这种种的改变的规律也许可以用微分方程来表现出来。

像在人口模型中,在人口自然增长的过程中，我们假设净相对增长率是常数，记此常数为

在

到

这段时间内人口数量为

，则我们可以建立微分方程模型

求解该模型,我们解得

其中

是任意常数,它是由初始条件确定的。

如设初值条件为

时，

，代入上式可得

这样我们就可以预测人口的增长。

（4）利用微元法建立常微分方程模型

这个办法主要的是找寻微元之间的联系，在我们述说现实的对象的一些特征伴随时间或者空间的改变而改变的阶段，能够用函数的相关定律来组建模型。

经常在一个现实的问题里有着特殊条件的变量

对应下面的要求：

跟某个自变量的变化区间

产生联系；

针对区间

的可加性；一些的量

。

我们便能够使用微元法来组建对象的动态模型,它的对应的方法是依据问题的现实状况，选择一种自变量

，同时明确变化的区间是

；于区间

里随意选择一个随意小的区间写作

，求得在这种区间的部分量

的近似数值。

把

近似的代表为一种连续函数于

的数值

跟

乘积，就是

，写作

叫做

等式的双边的同时积分便解得需要的量

。

这个办法经常被使用在很多的区域里。

像于空间解析几何里可以使用微元法解得平面图形的面积、旋转体体积代数方面的近似值的求解、旋转曲面的面积、曲线的弧长还有流体混合问题物理方面解得压力、静力矩、重心、变力做功。

【11】

（5）模拟近似

在针对规律并不明白的又具有复杂的现实的问题里，常微分方程模型的组建经常用模拟近似的办法。

这种模型通常是就问题进行简单的假设，把需要考究的问题进行详细的解析。

这种阶段经常是近似，所以运用这种办法组建常微分方程模型之后，需要解析当中解得的结果的相关特征，可以把成果跟现实的对象进行比较，检查组建的模型能不能适合现实的状况。

在检查后，得出最后的结果。

有需要的时候，能够修正假设跟模型。

2.1.3应用常微分方程建模的注意事项

（1）在现实的问题里有了“提升”“降低”“变化”“改变”等的状况的时候，或许跟导数相关，这种时候要对现实的问题有详细的解析，形成简单的假设，写出对应的常微分方程模型。

（2）现实的问题经常有详细的时间或者是具体的位置等资料。

有了这些资料便能够拟定出解的初始条件，这方便确定解中包含的待定系数。

（3）解得方程的结果后，需要解析得到的解，检验得到的解，检查结果跟现实的结论是不是一样。

由于组建常微分方程模型的阶段里，只是作出简化假设的,通常会略掉某些问题的相关的不重要的条件，因此获得的模型是近似的。

要是获得的解跟现实的问题并不适合，就要持续修订假设和模型，一直到适合现实的问题才结束。

2.2一阶线性常微分方程模型

因为，本文以典打假问题为案例进行分析，其符合运用一阶微分方程解决实际生活问题的要求，即将数学学习最终应用于生活中去。

在中国社会主义市场经济的成长过程里，许多的假冒伪劣产品商品随之增多，现在已是妨碍社会进步及经济成长的一种非常严重的难题了。

产生的、售卖的假冒伪劣产品商品极其威胁损害消费者利益，危害社会主义市场经济秩序，应该受到刑法处罚。

我们的国家正处于向市场经济过渡的时期，假冒伪劣商品泛滥，极其逼迫国家经济建设及人民大众的生命财产的安全性。

每个制造、售卖伪造劣质的商品范围广，手段奸诈，造成十分不可原谅的结果。

所以，在促进社会发展的同时，要保障知识产权，严格严厉打击制假售假的活动和行为。

假冒伪劣商品存在的原因复杂，这些犯罪的主要原因是以性价比低廉的产品冒充性价比高的产品，从而获取高额的利润。

其他原因包括地方保护主义、执法困难、法制不健全、社会监管体制的不完善、信用体系的缺失等等。

接下来，我们将从生产假冒伪劣商品过程出发，建立其常微分方程模型。

并提供针对打假的一些方案。

模型假设

①假设时间

，

是

时间的假冒伪劣产品数量的单件，同时

是

的连续函数；

②设一个区域的制售假冒伪劣产品的人数变化不大，那么于单位时间里制造出的假冒伪劣产品的数量是常数,写作

；

③设于单位时间里替保障平常的社会经济的秩序打击的假冒伪劣产品的数量是常数

；

④设于单位时间里由于工商部门、政府进行的各个打假行动所打击掉的假冒伪劣产品的数量跟

时间的假冒伪劣产品的数量有着正相关的关系，当中

是打假力度的系数，他跟打假所用的费用相关联，普遍来说，打假的界限越大，所需要的费用便愈多，打假的力度的系数愈大；

⑤设时间

时,假冒伪劣产品的数量是

，由于如今的市场经济的状况里，生产跟售卖假冒伪劣产品的违法犯罪行为一定不会消失。

组建模型

根据微观模式的守恒原理:

净变化率=输入率-输出率

我们考虑在

或

，时间间隔内,有:

令

，则

等式两边同时除以

得

令

于是建立了下述打假模型：

其中

模型求解

初值问题是一阶常系数线性非齐次常微分方程的柯西问题,能够使用常数变易法或者初等因子就是双边都乘以

来求出解，即有

即得

，显然

模型检验

从结果能够的出伴随时间的变化，假冒伪劣产品的数量能够在恰当的调整到“任何数量”就是以打假的方式来管理假冒伪劣产品的数目。

可是因为实际的生活里制造、售卖假冒伪劣产品的成本小且风险系数低，同时缺少社会监督，形成监管的力度不够，造成地方政府的有力的监督力度不足受害企业打假的成本太高，地方保护主义助长不正之风，助长违法犯罪行为，政府难以打击来源，于处罚制假售假的情况里，对应的法律缺少、执行难度大、处罚条例不够具体等问题的现象，无法将假冒伪劣商品全部消灭掉。

社会上仍然有制造、售卖假冒伪劣产品的机会，这种状况便无法永远消失。

如今在这种模型的结果上，我们将重点讨论如何减少假冒伪劣商品的数量。

方法1:

减少

。

1减少

，减少假冒伪劣商品的数量，即打击假冒伪劣产品生产的来源，如设备、工厂、假货生产销售部门和人员。

增加打击假冒伪劣行为的投资，增强打击假冒伪劣活动的行动，尽量利用法律条规，严格打击制假售假违法犯罪的行为。

对违反刑法的重大案件，应当及时移送司法机关处理。

极力鼓动每个领域的积极性，增大打假管理的行动，来保护大多数的消费者跟经营者的有关利益。

2增加

，增加打假数量，加大监察力度于打假执法上，使卫生防疫、技术监督、工商行政管理等政府单位增大联同治理管理的力度，固定性的专门管理市场商品，准确处理假冒伪劣商品。

绝不允许地方保护。

坚持长期斗争，打击假冒伪劣的犯罪行为，增强执法力度，坚定不移地解决有法不依、执法不严、违法不究、以罚代刑等现象。

切实维护好市场的经济秩序。

方法2：

增加

增加防伪强度系数，一定要消除每个不良的要素，增加质量的宣传范围跟深度。

政府单位进行打假行动，增强消费者的商品安全自我保护、依照法律获得合法权益的思想意识及辨别假冒伪劣产品的眼光。

使用媒体来揭发假冒伪劣产品的种类及相关的经营方、生产方，让消费者监视他们，没法继续犯罪。

一定要利用举报、投诉网络平台作用，接受消费者的举报、投诉，对消费者举报的线索，要及时核实查处。

所以，产生假冒伪劣产品的因素并不是单一的，而是多样的，是经济问题跟社会问题共同产生的结果与反映。

打击假冒伪劣产品不仅是长期性的任务又是艰难的任务。

政府跟相关职能单位必须要有打长期战的准备，使用社会各个领域的力量，来保障大多数消费者及经营者的相关利益，维持市场公平竞争的秩序，使经济可持续健康地增长。

模型应用：

1

时,令

。

假冒伪劣产品跟于单位时间里在维持一定的社会经济秩序而打掉的假冒伪劣产品的数量一样的情况下，社会上现有的假冒伪劣产品的数目会是将近于零；

②当

，

时。

即如果政府、工商部门对造假产生的假冒伪劣商品放任不管,消费者并不进行举报，那么社会上现存的假冒伪劣产品一定会到处都是；

③我国市场经济正在高速发展。

随着经济的发展，生产假冒伪劣商品渐渐增加，一直到经济增加至某些时期，制造假冒伪劣产品的行为便会渐渐缩小。

3小结

进入二十世纪以来，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。

我们可以通过建立了数学模型来解决实际难题。

他表现出现实的难题里所出现的内部的规律跟定量的联系。

数学模型作为一个模型，一定要知道难题的现实状况、表明建模的目标、找到问题的实质、忽略次要因、作出合理的简化假设，在实际上表现出现实的问题的数量的规律。

能够使用全部的数学用具来组建数学模型，使用于各种实际问题中。

本文运用常微分方程为数学工具来建立数学模型。

牛顿和莱布尼茨是人类科学史上的一个划时代的发现，随着微分方程的产生和发展，常微分方程也随之而生。

自其诞生之日起，就在每个科目了使用的范围很广，尤其是成为力学的有力推助气，于天体力学领域发挥了巨大的作用。

因为解得微分方程，我们证实了地球围绕太阳的轨迹为椭圆形。

经过科学的证明得到了行星运动的规律，海王星就是利用数学预测而非有计划的观测发现的行星，天文学家使用天王星轨迹的摄动推出海王星的存在跟所在的地理位置。

同时常微分方程还有着更大的活力。

在快速成长的科技及快速进步的社会里，常微分方程的使用范围也在持续的增大跟加深。

分析作为三百年来数学学科里第一位的分支，同时微分方程是分析最重要的一部分，是它的中心。

这可以说是初等微积分的天然的后继课，是认知物理学里的一门极其主要的数学，同时在它衍生出的具有深度的问题里，它是高等分析中绝大多数的理论与思想的基础。

这个科目的适用范围在持续的增大及新型的思想理论生长点在持续的出现。

该文章就打假问题来组建数学模型，使用一阶微分方程的办法来解得现实问题里的结果，解析了这种结果对打假行为的影响，同时提出了某些有效的解决方法。

该文章的所有的解析仅是微分方程许多使用方向当中的一个，在现代科技的快速成长里，对于在微分方程的基础上组建数学模型的发展前途应该持有乐观的态度。

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Applicationoffirstorderdifferentialequationinpracticalproblems

[Abstract]Itisknownthatallmatterinnaturemovesandevolvesaccordingtoitsownlaws.Althoughthewayofmovementisdifferent,thelawofmovementofdifferentmatterisinspaceandtime.Mattervariesgreatly,butonethingthatyoucanrecognizeisthesamenumberofvariations.Inviewofsomecertainmovementandtheevolutionstagecarriesonthequantitative,thequalitativeresearch,mustmakethemattermovementandtheevolutionstagecorrelationessentialelementtohaveamathematicalform,thisisthemathematicsmodellingstage,Itisthestagethatchangesaccordingtothelaw.FromthetwosidesofmotionandevolutionTherelationshipbetweentheconstraintsandinteractionsofthesedifferentvariablescanbeseenonthesurface.Thispapermainlystudiestheapplicationoffirstorderlineardifferential.Onthebasisoftheexistinglineardifferentialequationmodel,thispaperimprovesthesolvingequationoftheproblemoffightingforgery,andestablishesamodeltomakeitmoreclosetotheactualsituation.

[Keywords]Model;firstorderdifferentialequation;Anti-counterfeitingproblem