高考数学 专题14 不等式选讲热点难点突破 文doc.docx

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高考数学专题14不等式选讲热点难点突破文doc

2019年高考数学专题14不等式选讲热点难点突破文

1．若f（x）＝logx，R＝f，S＝f，T＝f，a，b为正实数，则R，S，T的大小关系为（　　）

A．T≥R≥SB．R≥T≥S

C．S≥T≥RD．T≥S≥R

答案　A

2．已知函数f（x）＝|x－4|＋|x＋5|.

（1）试求使等式f（x）＝|2x＋1|成立的x的取值范围；

（2）若关于x的不等式f（x）

解　

（1）f（x）＝|x－4|＋|x－5|＝

又|2x＋1|＝

所以若f（x）＝|2x＋1|，

则x的取值范围是（－∞，－5]∪[4，＋∞）．

（2）因为f（x）＝|x－4|＋|x＋5|≥|（x－4）－（x＋5）|＝9，

所以若关于x的不等式f（x）f（x）min＝9，即a的取值范围是（9，＋∞）．

3．已知函数f（x）＝|x＋2|－|x－1|.

（1）试求f（x）的值域；

（2）设g（x）＝（a>0），若任意s∈（0，＋∞），任意t∈（－∞，＋∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．

解　

（1）函数可化为

f（x）＝

∴f（x）∈[－3，3]．

（2）若x>0，则g（x）＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g（x）min＝2－3，

又由

（1）知f（x）max＝3.

若∀s∈（0，＋∞），∀t∈（－∞，＋∞），恒有g（s）≥f（t）成立，则有g（x）min≥f（x）max，∴2－3≥3，

∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞）．

4．设不等式|x－2|>1的解集与关于x的不等式x2－ax＋b>0的解集相同．

（1）求a，b的值；

（2）求函数f（x）＝a＋b的最大值，以及取得最大值时x的值．

5．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）>2的解集；

（2）∀x∈R，使f（x）≥t2－t，求实数t的取值范围．

解　

（1）f（x）＝

当x<－时，－x－3>2⇒x<－5，

∴x<－5.

当－≤x<2时，3x－1>2⇒x>1，

∴1

当x≥2时，x＋3>2⇒x>－1，

∴x≥2.

综上所述，不等式f（x）>2的解集为

{x|x>1或x<－5}．

（2）易得f（x）min＝－，

若∀x∈R都有f（x）≥t2－t恒成立，

则只需f（x）min＝－≥t2－，

解得≤t≤5.

6．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）>2的解集；

（2）∀x∈R，使f（x）≥t2－t，求实数t的取值范围．

7．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜－1或a＞3B．a＜0或a＞3

C．－1＜a＜3D．－1≤a≤3

解析　|x－1|＋|x－3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之和，故它的最小值为2，

∵原不等式解集为∅，∴a2－2a－1＜2.即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.故选C.

答案　C

8．设f（x）＝x2－bx＋c，不等式f（x）<0的解集是（－1，3），若f（7＋|t|）>f（1＋t2），则实数t的取值范围是________．

答案　（－3，3）

9．已知函数f（x）＝|x－4|＋|x＋5|.

（1）试求使等式f（x）＝|2x＋1|成立的x的取值范围；

（2）若关于x的不等式f（x）

解　

（1）f（x）＝|x－4|＋|x＋5|＝

又|2x＋1|＝

所以若f（x）＝|2x＋1|，则x的取值范围是（－∞，－5]∪[4，＋∞）．

（2）因为f（x）＝|x－4|＋|x＋5|≥|（x－4）－（x＋5）|＝9，

∴f（x）min＝9.

所以若关于x的不等式f（x）f（x）min＝9，即a的取值范围是（9，＋∞）．

10．已知函数f（x）＝|x＋2|－|x－1|.

（1）试求f（x）的值域；

（2）设g（x）＝（a>0），若任意s∈（0，＋∞），任意t∈（－∞，＋∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．

11．设函数f（x）＝|2x－1|－|x＋2|.

（1）求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．

解　

（1）f（x）＝

所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞）．

（2）只要f（x）max＜t2－3t，

由

（1）知f（x）max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.

12．设函数f（x）＝|x＋|＋|x－a|（a>0）．

（1）证明：

f（x）≥2；

（2）若f（3）<5，求a的取值范围．

13．已知函数f（x）＝|x－a|，其中a>1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

解　

（1）当a＝2时，f（x）＋|x－4|＝

当x≤2时，由f（x）≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2

当x≥4时，由f（x）≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；

所以f（x）≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x），

则h（x）＝

由|h（x）|≤2，

解得≤x≤.

又已知|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.

14．已知函数f（x）＝k－|x－3|，k∈R，且f（x＋3）≥0的解集为[－1，1]．

（1）求k的值；

（2）若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.

求证：

a＋2b＋3c≥9.

15．已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

解：

（1）当a＝－3时，

不等式f（x）≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.①

若x≤2时，由①式，得5－2x≥3，∴x≤1.

若2

若x≥3时，由①式，得2x－5≥3，∴x≥4.[Z&X&X&K]

综上可知，f（x）≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．

（2）原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，②

当1≤x≤2时，②式化为4－x－（2－x）≥|x＋a|，

解之得－2－a≤x≤2－a.

由条件，[1，2]是f（x）≤|x－4|的解集的子集，

∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0.

故满足条件的实数a的取值范围是[－3，0]．

16．已知正实数a，b满足：

a2＋b2＝2.

（1）求＋的最小值m；

（2）设函数f（x）＝|x－t|＋（t≠0），对于

（1）中求得的实数m是否存在实数x，使得f（x）＝成立，说明理由．

17．已知函数f（x）＝|x|＋|x－1|.

（1）若f（x）≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；

（2）在

（1）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：

a＋b≥2ab.

（1）解：

∵f（x）＝|x|＋|x－1|≥|x－（x－1）|＝1，

当且仅当0≤x≤1时，取等号，

∴f（x）＝|x|＋|x－1|的最小值为1.

要使f（x）≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤1，

∴0≤m≤2，则m的最大值M＝2.

（2）证明：

由

（1）知，a2＋b2＝2，

由a2＋b2≥2ab，知ab≤1，①

又a＋b≥2，则（a＋b）≤2ab，

由①知，≤1，

故a＋b≥2ab.

18．已知函数f（x）＝|x＋1|.

（1）求不等式f（x）<|2x＋1|－1的解集M；

（2）设a，b∈M，证明：

f（ab）>f（a）－f（－b）．

（1）解：

①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得x<－1；