有理数.docx

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有理数

第1章有理数

一、知识框架

2、知识概念

（一）正负数

1．正数：

大于0的数。

2．负数：

小于0的数。

3．0即不是正数也不是负数。

4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

（二）有理数

1．有理数：

凡能写成

形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.

（1）有理数：

由整数和分数组成的数。

包括：

正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。

如：

π）

（2）整数：

正整数、0、负整数，统称整数。

（3）分数：

正分数、负分数。

注意：

0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；

有理数的分类:

①

②

注意：

有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

自然数0和正整数；a＞0a是正数；a＜0a是负数；

a≥0a是正数或0a是非负数；a≤0a是负数或0a是非正数.

2．数轴：

用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.

（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

）

3．相反数：

（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数还是0；

（2）注意：

a-b+c的相反数是-（a-b+c）=-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

（3）相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.

（4）相反数的商为-1.

（5）相反数的绝对值相等

4.绝对值：

（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。

注意：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。

（2）绝对值可表示为：

或

；

（3）

；

；

（4）|a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；

5.有理数比大小：

（1）正数永远比0大，负数永远比0小；

（2）正数大于一切负数；

（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；

（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

6.倒数：

乘积为1的两个数互为倒数；

注意：

0没有倒数；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.

等于本身的数汇总：

相反数等于本身的数：

0

倒数等于本身的数：

1，-1

绝对值等于本身的数：

正数和0

平方等于本身的数：

0,1

立方等于本身的数：

0,1，-1.

7.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）互为相反数的两个数相加得0。

一个数与0相加，仍得这个数.

8．有理数加法的运算律：

先定符号，再算绝对值

（1）加法的交换律：

a+b=b+a；两个数相加，交换加数的位置，和不变。

（2）加法的结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）.三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

9．有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

10.有理数乘法法则：

（先定积的符号，再定积的大小）

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数与0相乘都得0；乘积是1的两个数互为倒数。

（3）几个因式都不为0，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

11.有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：

ab=ba；

（2）乘法的结合律：

（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：

a（b+c）=ab+ac.（简便运算）

12．有理数除法法则：

除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：

零不能做除数，

.

（1）先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。

（2）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（3）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。

13．有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

14．乘方的定义：

（1）求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

写作an　。

（乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫指数）　

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；

（4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（5）据规律

底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.

（6）同底数幂相乘，底不变，指数相加。

（7）同底数幂相除，底不变，指数相减。

15．科学记数法：

把一个大于10的数记成a×10n的形式，（其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，n是正整数，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1,整数位数=10的指数+1

16.近似数的精确位：

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.

17.有效数字：

从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

18.有理数混合运算法则：

（1）先乘方，再乘除，最后加减。

注意：

不省过程，不跳步骤。

（2）同级运算，从左到右进行。

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

19.特殊值法：

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。

第二章整式的加减

1．单项式：

表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。

2．单项式的系数与次数：

单项式中的数字因数，叫这个单项式的系数（要包括前面的符号）；

一个单项式中，所有字母指数的和，叫这个单项式的次数（只与字母有关）。

3．多项式：

几个单项式的和叫多项式。

4．多项式的项数与次数：

多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，

每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；

5．整式：

单项式与多项式的统称叫整式。

（整式是代数式，但是代数式不一定是整式）。

6．同类项：

多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（与系数无关，与字母的排列顺序无关）。

7．合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项

合并同类项法则：

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.

8．去（添）括号法则：

去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.

（1）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

（2）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。

（3）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

9．整式的加减：

一找：

（标记）；

二“+”（务必用+号开始合并）

三合：

（合并）

10.多项式的升幂和降幂排列：

把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按这个字母的升幂排列。

把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来，叫做按这个字母的降幂排列。

第三章一元一次方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

1．等式：

用“=”号连接而成的式子叫等式.

2．等式的性质：

等式性质1：

等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c

等式性质2：

等式两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等.

如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，（c‡0），那么a∕c=b∕c

3．方程：

先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式叫方程。

（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）.

4．方程的解：

求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：

“方程的解就能代入”。

5．移项：

把等式一边的某项变号后移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1（移项变号）.

6．一元一次方程：

方程里只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

7．一元一次方程的标准形式：

ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

8．一元一次方程解法的一般步骤：

（1）化简方程----------分数基本性质

（2）去分母----------同乘（不漏乘）最简公分母

（3）去括号----------注意符号变化

（4）移项----------把等式一边的某项变号后移到另一边。

变号（留下靠前）

（5）合并同类项--------合并后符号www.xkb1.com

（6）系数化为1---------除前面

（7）（检验方程的解）

9．列一元一次方程解应用题：

（1）读题分析法:

…………多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：

“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.

（2）画图分析法:

…………多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

10．列方程解应用题的常用公式：

（1）行程问题：

路程（距离）=速度·时间

；

（2）工程问题：

工作量=工作效率·工作时间

；

工程问题常用等量关系：

先做的+后做的=完成量www.xkb1.com

（3）船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题：

 船在顺水中航行的速度（顺流速度）=船在静水中航行的速度（静水速度）+水流速度

 船在逆水中航行的速度（逆流速度）=船在静水中航行的速度（静水速度）-水流速度

飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度 

飞机在逆风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度

顺水逆水问题常用等量关系：

顺水路程=逆水路程

（4）商品利润问题：

售价=定价

（售价=定价·折·

），

；

利润问题常用等量关系：

利润=售价-成本（进价）

（5）周长、面积、体积问题：

C圆=2πR，S圆=πR2，

C长方形=2（a+b），S长方形=ab，V长方体=abc，

C正方形=4a，S正方形=a2，V正方体=a3，

S环形=π（R2-r2）,V圆柱=πR2h，V圆锥=

πR2h.

（6）比率问题：

部分=全体·比率

；

（7）分配问题、配套问题

第四章图形初步认识

（1）多姿多彩的图形

几何图形：

把从实物中抽象出来的各种图形，它们都是几何图形。

立体图形：

棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

1、几何图形

平面图形：

三角形、四边形、圆、多边形等.

主视图---------从正面看

2、几何体的三视图左视图---------从左边看

俯视图---------从上面看

（1）会判断简单物体（棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

3、立体图形的平面展开图

立体图形：

有些几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形是立体图形。

平面图形：

有些几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形是平面图形。

展开图：

有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.

4、几何图形的组成：

点、线、面、体

点：

线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.

线：

面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.

面：

包围着体的是面，分为平面和曲面.

体：

几何体也简称体.

①图形是由点，线，面构成的。

②线与线相交得点，面与面相交得线。

③点动成线，线动成面，面动成体。

（二）直线、射线、线段

（1）线段：

线段有两个端点。

（2）射线：

将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。

（3）直线：

将线段的两端无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

名称

直线

射线

线段

图形

a

B

A

a

A

B

a

B

A

端点个数

无

一个

两个

表示法

直线a

直线AB（BA）

射线a

射线AB

线段a

线段AB（BA）

作法叙述

作直线a

作直线AB；

作射线a

作射线AB

作线段a；

作线段AB；

连接AB

延长

向两端无限延长

向一端无限延长

不可延长

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：

两点确定一条直线.

相交：

两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交。

交点：

两条直线相交有一个公共点，这个公共点叫交点。

3、画一条线段等于已知线段：

（1）度量法

（2）用尺规作图法

4、线段的长短比较方法

（1）度量法

（2）叠合法（3）圆规截取法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

中点：

M点把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。

（把一条线段平均分成两条相等线段的点）

图形：

AMB

符号：

若点M是线段AB的中点，则AM=BM=

AB，AB=2AM=2BM.

6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短.两点之间，线段最短.

7、两点的距离

连接两点的线段的长度叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）.

8、点与直线的位置关系

（1）点在直线上（或者直线经过点）

（2）点在直线外（或者直线不经过点）.