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因式分解

一．分组分解练习

2.

3.

4．1-a2+2ab-b2=5．1-a2-b2-2ab=

6．x2+2xy+y2-1=7．x2-2xy+y2-1=

8．x2-2xy+y2-z2=9.

=

10.

=11.

=

12．x2-4y2+x+2y=13.

14.

15．ax-a+bx-b=

16．a2-b2-a+b=17．4a2-b2+2a-b=

二．十字相乘法:

1.x2+2x-15=　　2.x2-6x+8=3.2x2-7x-15=

4.2x2-5x-3=5.5x2-21x+18=6.6x2-13x+6=　

7.x4-3x2-4=8.3x4+6x2-9=9.x2-2xy-35y2=

10.a2-5ab-24b2=11.5x2+4xy-28y2=

三．综合训练

1.

2.9972–9

3.

4.若

是完全平方式，求

的值。

5.已知

求

的值。

6.已知x+2y=

x-y=

求x2+xy-2y2的值。

7.已知a+b=2,求

的值。

8.已知：

a=10000，b=9999，求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值。

9.若

，求

的最小值．

10.已知

求

的值。

11.已知a,b,c是△ABC的三条边长,当b2+2ab=c2+2ac时,试判断△ABC属于哪一类三角形

12.求证：

对于任何自然数n，

的值都能被6整除．

13.若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。

探索△ABC的形状，并说明理由。

14.分解因式：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）.

15.分解因式4x2-4xy+y2+6x-3y-10.

16.有两个孩子的年龄分别为x、y岁，已知x

+xy=99,试求这两个孩子的年龄.

人教新课标版初中八上

15.4因式分解能力提高题

一、综合题（每小题8分，共16分）

1．解方程组

并求7m（m+2n）2-2（m+2n）3的值．

2．证明：

无论a，b取何值时，a2b2-2ab+2均为正值．

二、应用题（8分）

3．退休职工老李投资到乡下办养猪场，共建了成猪和仔猪两个正方形猪场．已知成猪场的面积比仔猪场的面积大80平方米，两个猪场围墙总长为160米，则成猪场的面积是多少？

三、创新题（8分）

4．证明：

无论x，y取何值时，x2+y2都大于或等于2xy，并且只有当x=y时，x2+y2才等于2xy．

四、中考题（每小题6分，共12分）

（一）中考真题再现

5．（2007·上海）分解因式：

2a2-2ab_______________．

（二）中考命题探究

6．已知x-2y=2，x+2y=6，则x2-4y2+2x-4y的值是_______________．

五、附加题（20分）

7．已知实数m，n，k满足m-n=8，mn+k2=-16．计算m+n+k的值．

参考答案

一、1．分析：

先将原多项式用提取公因式方法进行分解因式，找出因式与方程组中两个方程的关系即可．

解：

7m（m+2n）2-2（m+2n）3

=（m+2n）2[7m-2（m+2n）]

=（m+2n）2[5m-4n]．

当m+2n=4，5m-4n=7时，

原式=42×7=112．

点拨：

这一类型题就是把这个多项式因式分解，一般情况下它的因式中一定含有已知条件中（如本题中m+2n、5m-4n的项）出现代数式的项（或通过条件变形得到的式子）．这样就可以把已知数据代入．

2．分析：

由条件可以看出若把2拆成1+1，则原式中可出现符合完全平方公式的结构特征的式子，可用完全平方公式将其因式分解．

证明：

原式=a2b2-2ab+1+1

=（ab）2-2ab+12+1

=（ab-1）2+1．

∵（ab-1）2≥0，故（ab-1）2+1≥1．

所以a2b2-2ab+2为正值．

点拨：

判定一个多项式大于0（或小于0）只需将它化成k

p2的形式．

①

②

二、3．分析：

设成猪场边长为a米，仔猪场边长为b米，则它的周长分别为4a，4b，就是4a+4b=160（米），它们的面积分别为a2，b2，有a2-b2=80，由此可求a，b的值，问题可解．

解：

设两个猪场边长分别为a米，b米，则由题意可列方程组

③

④

整理得

将③代入④得1-b=2，⑤

将③⑤重新组成方程组得

解这个方程组得a=21，b=19．

所以成猪场的面积为a2=212=441（平方米）．

答：

成猪场的面积为441平方米．

点拨：

本题只要设出未知数，方程组很容易列关键在于解方程组，因为方程②是个二次方程，目前我们还不能解，若将其左边因式分解（按平方差公式）将出现因式a+b，将其用40代换可求a-b，则把二次方程化为一次方程，这样可重新组成一个二元一次方程组．

三、4．分析：

由题意可知题中所涉及的代数式x2+y2，2xy正好是符合完全平方公式中的结构特征，故可用完全平方公式进行证明．

证明：

∵（x-y）2≥0，

∴x2+y2-2xy≥0．

∴x2+y2≥2xy．

并且仅当x=y时，（x-y）2=0即x2+y2-2xy=0，也就是x2+y2=2xy．

点拨：

利用乘方（偶次方）可判断一个可化为偶次方的数（式子）的符号，进一步可比较其中展开式中的一些式子的大小．

四、

（一）5．2a（a-b）　分析：

2a2-2ab只有两项，可以考虑两种方法，提公因式法和平方差公式，观察可知只能用提公因式法进行分解，原式=2a（a-b）．

点拨：

考查多项式的因式分解和提公因式法，题目设置注重基础，同时考查了考生思维的严密性和认真程度．

（二）6．16　分析：

将原式分解因式再代入求值，原式=（x+2y）·（x-2y）+2（x-2y）=（x-2y）（x+2y+2），当x-2y=2，x+2y=6时，原式=2×（6+2）=16．

点拨：

本题最好不要根据条件将x，y值求出来，再代入求多项式的值，这样计算量太大了，还容易出错．所以做题要讲究方法，若方法得当会达到事半功倍的效果，方法不当会造成事倍功半的效果．

五、7．分析：

从表面上看本题无从下手，但是如果把这两个式子作恰当处理，再综合到一起，或许会出现一些意想不到的效果，我们共同来试一下吧！

解：

∵m-n=8，

∴（m-n）2=64．①

又∵mn+k2=-16，

∴4（mn+k2）=-64．②

①+②得m2+n2+2mn+4k2=0．

∴（m+n）2+4k2=0．

故有m+n=0，k=0．

所以m+n+k=0．

点拨：

本题所采取的思路是通过两个已知的等式构造出一个平方和为0的式子，这样几个平方项的底数均得0，这样可以直接得出m，n，k的关系，从而使问题获解．

因式分解的常见变形技巧

在因式分解学习过程中，除要掌握教材上介绍的三种基本方法：

提公因式，公式法，分组分解法外，还常常要进行一些灵活的变换。

下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。

掌握了这些变换方法后，这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。

需要说明的是，要想熟练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。

技巧一符号变换

有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。

体验题1（m+n）（x-y）+（m-n）（y-x）

指点迷津y-x=-（x-y）

体验过程原式=（m+n）（x-y）-（m-n）（x-y）

=（x-y）（m+n-m+n）

=2n（x-y）

小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题1分解因式：

-a2-2ab-b2

技巧二系数变换

有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。

体验题2分解因式4x2-12xy+9y2

体验过程原式=（2x）2-2（2x）（3y）+（3y）2

=（2x-3y）2

小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题2分解因式

技巧三指数变换

有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。

体验题3分解因式x4-y4

指点迷津把x2看成（x2）2,把y4看成（y2）2,然后用平方差公式。

体验过程原式=（x2）2-（y2）2

=（x2+y2）（x2-y2）

=（x2+y2）（x+y）（x-y）

小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。

实践题3分解因式a4-2a4b4+b4

技巧四展开变换

有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。

然后再分组。

体验题4a（a+2）+b（b+2）+2ab

指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：

a2+2a+b2+2b+2ab。

然后分组。

体验过程原式=a2+2a+b2+2b+2ab

=（a+b）2+2（a+b）

=（a+b）（a+b+2）

小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。

实践题4x（x-1）-y（y-1）

技巧五拆项变换

有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。

这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。

体验题5分解因式3a3-4a+1

指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。

三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。

所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。

体验过程原式=3a3-3a-a+1

=3a（a2-1）+1-a

=3a（a+1）（a-1）-（a-1）

=（a-1）[3a（a+1）-1]

=（a-1）（3a2+3a-1）

另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。

原式=3a3-4a+4-3

=3（a3-1）-4（a-1）

=3（a-1）（a2+a+1）-4（a-1）

=（a-1）（3a2+3a+3-4）

=（a-1）（3a2+3a-1）

小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。

缺二次项。

通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。

实践题5分解因式3a3+5a2-2

技巧六添项变换

有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。

既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。

然后再考虑用其它的方法。

体验题6分解因式x2+4x-12

指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。

与完全平方式很象。

因此考虑将其配成完全平方式再说。

体验过程原式=x2+4x+4-4-12

=（x+2）2-16

=（x+2）2-42

=（x+2+4）（x+2-4）

=（x+6）（x-2）

小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。

实践题6分解因式x2-6x+8

实践题7分解因式a4+4

技巧七换元变换

有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。

然后再考虑用公式法或者其它方法。

体验题7分解因式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1

指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。

看能否把某些部分作为整体考虑。

体验过程（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1

=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1*

令x2+5x=m.

上式变形为（m+4）（m+6）+1

m2+10m+24+1

=（m+5）2

=（x2+5x+5）2

*式也可以这样变形，令x2+5x+4=m

原式可变为：

m（m+2）+1

=m2+2m+1

=（m+1）2

=（x2+5x+5）2

小结换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。

如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项x2+5x.，换元法实际上是用的整体的观点来看问题。

实践题8分解因式x（x+2）（x+3）（x+5）+9

实践题答案

实践题1分解因式：

-a2-2ab-b2

实践详解各项提出符号，可用平方和公式.

原式=-a2-2ab-b2

=-（a2+2ab+b2）

=-（a+b）2

实践题2分解因式

实践详解原式=（

）2+2.

+（

）2

=（

+

）2

实践题3分解因式a4-2a4b4+b4

指点迷津把a4看成（a2）2，b4=（b2）2

实践详解原式=（a2-b2）2

=（a+b）2（a-b）2

实践题4x（x-1）-y（y-1）

指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：

x2-x-y2+y。

然后重新分组。

实践详解原式=x2-x-y2+y

=（x2-y2）-（x-y）

=（x+y）（x-y）-（x-y）

=（x-y）（x+y-1）

实践题5分解因式3a3+5a2-2

指点迷津三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a2后。

下一步没法进行了。

所以我们将5a2拆成3a2+2a2,化为3a3+3a2+2a2-2.

实践详解原式=3a3+3a2+2a2-2

=3a2（a+1）+2（a2-1）

=3a2（a+1）+2（a+1）（a-1）

=（a+1）（3a2+2a-2）

实践题6分解因式x2-6x+8

实践详解原式=x2-6x+9-9+8

=（x-3）2-1

=（x-3）2-12

=（x-3+1）（x-3-1）

=（x-2）（x-4）

实践题7分解因式a4+4

原式=a4+4a2+4-4a2

=（a2+2）2-4a2

=（a2+2+2a）（a2+2-2a）

=（a2+2a+2）（a2-2a+2）

实践题8分解因式x（x+2）（x+3）（x+5）+9

指点迷津将x（x+5）结合在一起，将（x+2）（x+3）结合在一起..

实践详解原式=[x（x+5）][（x+2）（x+3）]+9

=（x2+5x）（x2+5x+6）+9

令x2+5x=m

上式可变形为

m（m+6）+9

=m2+6m+9

=（m+3）2

=（x2+5x+3）2

因式分解的解题方法与技巧

（2）

4.对称式的因式分解

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.

例7分解因式x4+（x+y）4+y4

分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=（x+y）2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:

先将其用xy,x+y表示,再行分解.

解∵x4+y4

=（x+y）4-4x3y-6x2y2-4xy2

=（x+y）4-4xy（x+y）2+2x2y2.

∴原式=（x+y）4-4xy（x+y）2+2x2y2+（x+y）4

    =2（x+y）4-4xy（x+y）2+2x2y2

    =2[（x+y）4-2xy（x+y）2+（xy）2]

    =2[（x+y）2-xy]2-2（x2+y2+xy）2,

例8分解因式a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）.

此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2（a-b）+a2（b-c）+b2（c-a）,,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f（x）、f（a）如对一元多项式3x2-5x-2可记作f（x）=3x2-5x-2,f（a）即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f

（1）=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f

（2）=3×22-5×2-2=0.

因式定理 如果x=a时多项式f（x）的值为零,即f（a）=0,则f（x）能被x-a整除（即含有x-a之因式）.

如多项式f（x）=3x2-5x-2,当x=2时,f

（2）=0,即f（x）含有x-2的因式,事实上f（x）=3x2-5x-2=（3x+1）（x-2）.

证明设f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

若f（a）=0,则

f（x）=f（x）-f（a）

 =（anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0）

=（anan+an-1an-1+…+a1a+a0）

=an（xn-an）+an-1（xn-1-an-1）+…+a1（x-a）,

由于（x-a）|（xn-an）,（x-a）|（xn-1-an-1）,…,（x-a）|（x-a）,

∴（x-a）|f（x）,

对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.

现在我们用因式定理来解例8.

解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f（a）=a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）,易知当a=b和a=c时，都有f（a）=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）=k（a-b）（b-c）（c-a）,其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

∴a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）

=-（a-b）（b-c）（c-a）.

例9分解因式a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）.

分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=k（a-b）（b-c）（c-a）（a+b+c）（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以

原式=-（a-b）（b-c）（c-a）（a+b+c）.

因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.

例10（1985年武汉市初中数学竞赛题）证明：

2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.

证明 以f（x）记多项式.

+15-

∴2x+3是f（x）的因式.

例11分解因式x3-19x-30.

分析 这里常数项是30,如果多项式f（x）=x3-19x-30有x-a这种形式的因式,那么a一定是30的因数,这是因为f（a）=a3-19a-30=0即a3-19a=30.

∵a|（a3-19a）,      ∴a|30

解30的因数为±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.

∵f

（1）=-48,f（-1）=-12,f

（2）=-60,f（-2）=0,f（3）=-60,f（-3）=0,f（5）=0.（这里已有f（-2）、f（-3）、f（5）等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.）

∴x3-19x-30=k（x+2）（x+3）（x-5）,

∴x3的系数为1，∴k=1,

故  x3-19x-30=（x+2）（x+3）（x-5）.

练习：

1.分解因式（x+y）3-x3-y3+3xy.

2.分解因式（ab+bc+ca）（a+b+c）-abc.

3.（1986年五城市联赛试题）若a为自然数，则a4-3a2+9是质数，还是合数？

给出你的证明.

4.（1985年北京市初中数学竞赛题）若a为自然数，证明：

10|（a1985-a1949）.

参考答案：

1．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．

2．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．

3．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．

再讨论：

ａ＝１或２时，知为质数，ａ＞２为合数.

4．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．当ａ的个位数字分别为0～9时,上式右端总含有因数2和5,

∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）

 初二奥数辅导因式分解

（一）

 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 

　　1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　　（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

　　（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

　　（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　例1 分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

　　（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

　　（4）a7-a5b2+a2b5-b7．

　　解 

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

　　　　　　　=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

　　　　　　　=-2xn-1yn（x2n-y2）2 

　　　　　　　=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

　　　　　 =（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

　　（3）原式=（a2-2ab+b2）+（-2bc+2ca）+c2

　　　　　＝（a-b）2+2c（a-b）+c2

　　　　　=（a-b+c）2．

　　本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下：

　　原式=a2+（-b）2+c2+2（-b）c+2ca+2a（-b）

　　　　=（a-b+c）2