江苏省高考数学理科密卷4.docx
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江苏省高考数学理科密卷4
高考数学密卷（4）理
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设复数满足（为虚数单位），则复数．
2．已知集合，，则共有个子集．
3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为．
4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个
小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组
数据的频数为25，则样本容量为．
5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为
（第7题）
，则双曲线的方程为．
6．函数的定义域为．
7．若函数的部分图象如图所示，
则的值为．
8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为．
9．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，
三棱锥的体积为，则．
10．设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则．
11．已知数列中，，，．若是等比数列，则．
12．已知，，若，则的最小值为．
13．在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为．若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的
最大值为．
14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．
15．已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值．
16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，交
于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且．
O
（1）求证：
平面；
（2）求证：
．
17．如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形．其中为圆的直径，,,在圆上，，,在上，且
．
（1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式；
（2）多边形面积的最大值．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知分别为椭圆（）的左、右
焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．
若，求直线的斜率．
19．已知函数，其中，e是自然对数的底数．
（1）若，求函数的单调增区间；
（2）若函数为上的单调增函数，求的值；
（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：
．
20．已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合
记为．
（1）若数列通项公式为，求证：
；
（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；
（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在
无穷多项依次成等差数列？
若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．
高考模拟试卷（4）
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．
A．[选修41：
几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
若DA=DC，
求证：
AB=2BC．
B．[选修42：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量．
（1）求矩阵的另一个特征值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
C．[选修44：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线被曲线所截得的弦长．
D．[选修45：
不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．
22．（本小题满分10分）
某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别
为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；
（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学
期望．
23．（本小题满分10分）
在各项均不相同的数列，，，…，中，任取,且项变动位
置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）设，求证：
．
高考模拟试卷（4）参考答案
数学Ⅰ
一、填空题：
1．【解析】．
2．【解析】由条件得，所以的子集有个．
3．【解析】由题意可知．
4．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．
5．【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为
6．【解析】由已知得，，所以
7．4【解析】由图知函数的周期为，所以．
8．【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为．
9．【解析】因为，，
所以．
10．【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以．
11．3049【解析】，所以
，所以．
12．【解析】因为，，，所以．
令，，，则，
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
13．【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为．
14．【解析】，题意即为在上恒成立，即．由于，且，则．
当时，恒成立，符合；
当时，，所以在上单调递增，不符合；
当时，，所以在上单调递减，
此时，
即．
令（），不等式即为，
由于，所以在上单调递增，
而当时，，所以恒成立．
综上所述，的取值范围是．
15．解：
（1），，
……2分
，……4分
所以函数的最小正周期为．……6分
（2），，且，
，……8分
，
，……10分
，……12分
，
．……14分
16．证明：
（1）如图，连接，
因为，，
所，………2分
又，
所以，…………4分
又平面，平面，
所以平面.………6分
（2）在平面内过作于，
因为侧面底面，平面平面，
平面，所以平面，…………………8分
又平面，所以，…………………10分
因为是锐角三角形，所以与不重合，
即和是平面内的两条相交直线，
又，所以平面，…………………12分
又平面，所以．…………………14分
17．解：
连接，
，，，
，，………2分
（1）在中，，，
，，
，………4分
，．………8分
（2）令，，
则，且，………10分
，，………12分
当，即时，，
即多边形面积的最大值为平方米．………14分
18．解：
（1）因为椭圆经过点和点，
所以……2分
解得，所以椭圆的方程为．……6分
（2）解法一：
由
（1）可得，
设直线的斜率为，则直线的方程为．
由方程组消去，整理得，
解得或，所以点坐标为．……8分
由知，点在的中垂线上，
又在直线上，所以点坐标为．……10分
所以，．
若，则．……14分
解得，所以，即直线的斜率．……16分
解法二：
由
（1）可得，
设（），则①，……8分
直线，
由知，点在的中垂线上，
又在直线上，所以点坐标为．……10分
所以，，
若，则，
所以②，……12分
由①②可得，即，
所以或（舍），．
所以，即直线的斜率．……16分
19．解：
（1）当a=0时，，，
令，得，所以的单调增区间为．……3分
（2），因为函数为上的单调增函数，
所以0在上恒成立．……5分
当时，，0显然成立；
当时，恒成立，则恒成立，此时；
当时，恒成立，则恒成立，此时．
综上，．……8分
（3）不妨设，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，，，……10分
在上单调递减，所以要证，即证，
即证，又因为，所以即证（*）．12分
记，，
，所以在上恒成立，
所以函数在上为增函数，
又因为，，所以，
即，（*）式得证．所以，命题成立．……16分
20．解:
（1）因为，所以，……2分
所以，
所以，即．……4分
（2）设的公差为，
因为，所以（*），
特别的当时，，即，……6分
由（*）得，
整理得，
因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，
又，所以，……8分
于是，即，
所以，即，
所以，
因此的取值范围是．……10分
（3）由得，所以，即，
所以，从而有，
又，所以，即，
又，，
所以有，所以，……12分
假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，
不妨设该等差数列的第项为（为常数），
则存在，，使得，
即，……14分
设，
则，即，
于是当时，，
从而有：
当时，即，
于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，
因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．……16分
数学Ⅱ（附加题）
21．A．证明：
连接OD
因为DC为切线且点D为切点，所以
因为OA=OD
所以
又因为AD=DC
所以
故
所以BC=OD=R
从而AB=2BC……………10分
B．解：
（1）由条件得，，
，解得………2分
因为矩阵，
所以特征多项式为
，………4分
令，解得．
所以矩阵的另一个特征值为．………5分
（2）因为，………7分
所以．………10分
C．解：
把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：
，即，………2分
曲线表示的是圆心，半径为的圆．………4分
直线的参数方程为参数化为普通方程
为，………6分
圆心到直线的距离为，………8分
直线被曲线所截得的弦长为．………10分
（说明：
也可以用直线参数方程的几何意义去完成）
D．证明：
由柯西不等式可知
所以，
当且仅当时取等号．………10分
22．解：
（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为．…3分
（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．………4分
；；
．………6分
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
………8分
数学期望． ………10分
23．解：
（1）．………2分
（2）．………4分
（3）证明：
，，
，
．………10分
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