一元二次方程总复习.docx
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一元二次方程总复习
基础复习一元二次方程
一、中考要求：
1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
2．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
3．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数人并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
4．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．
二、中考卷研究
（一）中考对知识点的考查：
2011年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:
序号
所考知识点
比率
1
一元二次方程的解法
4%
2
一元二次方程的应用
4~7%
（二）中考热点：
本章多考查一元二次方程的解法及应用，另外本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力．根据已知方程编写实际问题的应用题也是中考热点．
三、中考命题趋势及复习对策
本章中方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，题型有填空、选择、解答．中考对数学思想方法的考查一方程的应用将进一步提高，对方程的应用将会加大力度，一大批具有较强的时代气息、格调清新、设计自然，紧密联系日常实际生活的应用题将会不断涌现．
针对中考命题趋势，在复习时应掌握解方程的方法，还应在方程的实际应用上多下功夫，加大力度，多观察日常生活中的实际问题
考点1：
一元二次方程的解法
一、考点讲解：
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：
ax2＋bx+c=0（a≠0）。
注意：
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
2．一元二次方程的解法：
⑴直接开平方法：
对形如（x+m）2=n（n≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
⑵配方法：
用配方法解一元二次方程：
ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为（x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n≤0，则原方程无解．
⑶公式法：
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是
（b2－4ac≥0）。
步骤：
①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
⑷因式分解法：
用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：
若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：
①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
因式分解的方法：
提公因式、公式法、十字相乘法。
3．一元二次方程的注意事项：
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（m2－4）x2+2mx+1=0中，当m=±2时就是一元一次方程了．
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。
⑷注意：
解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：
开平方法→因式分解法→公式法．
4．一元二次方程解的情况
⑴b2－4ac≥0
方程有两个不相等的实数根；
⑵b2－4ac=0
方程有两个相等的实数根；
⑶b2－4ac≤0
方程没有实数根。
解题小诀窍：
当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
5．根与系数的关系:
韦达定理
对于方程ax2＋bx+c=0（a≠0）来说，x1+x2=
—
，x1●x2=
。
利用韦达定理可以求一些代数式的值，如
。
解题小诀窍：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
二、经典考题剖析：
【考题1－1】下列方程是关于x的一元二次方程的是（）
A．ax2＋bx+c=0B.k2x＋5k+6=0
C.3x2＋2x+
=0D.（k2＋3）x2＋2x+1=0
答案：
D。
【考题1－2】解方程：
x2＋2x－3=0
解：
x2＋2x－3=0，（x－1）（x+3）=0，即x－l=0或x+3=0．所以x1=1，x2=－3．
【考题1－3】已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值．
解：
设方程的另一根是x，那么，
+（－5）=－
×〔－5〕，所以k=23.
答：
方程的另一根是
，k的值是23．点拨：
利用根与系数的关系来解．
三、针对性训练：
（分钟）（答案：
）
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
2、若
A．
B、2C、±2D、±
3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A.x2-2x-99=0化为（x-1）2=100B.x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C.2t2-7t-4=0化为
D.3y2-4y-2=0化为
4、关于x的一元二次方程
的一个根为x=0，则m的值为（）
A．m=3或m=－1B．m=－3或m=1
C．m=－1D．m=－3
5、若x1，x2是方程x2－5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）
A.1B.5C.－5D.6
6、若x1，x2是方程x2－3x－1=0的两个根，则
的值为（）
A.3B.－3C.
D－
7、若x1，x2是方程x2－6x+k－1=0的两个根，且
，则k的值为（）
A.8B.－7C.6D.5
8、若关于x的方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A.k＞－1B.k＞－1且k≠0
C.k＜1D.k＜1且k≠0
9、已知一元二次方程x2+2x－8=0的一根是2，则另一个根是______________.
10、若关于x的方程－x2+（2k+1）x+2－k2=0有实数根，则k的取值范围是_______
11、解方程：
（1）
;
（2）3
;
（3）3（4x2－9）－（2x－3）=0;（4）x2－6x+8=0
12、关于x的方程kx2+（k+2）x+
=0有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？
若存在求出k的值；不存在说明理由。
考点2：
一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴与几何图形有关的应用：
如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵有关增长率的应用：
此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a（1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。
注意：
所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶经济利润问题：
总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷动点问题：
此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：
在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
C
二、经典考题剖析：
【考题1】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
解：
设与墙相接的两边长都为
米，则另一边长
为
米，
依题意得
，
∴
又∵当
时，
当
时，
＞15
∴
不合题意，舍去．∴
答：
花圃的长为13米，宽为10米．
【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）
A.9﹪B.10﹪C.11﹪D.12﹪
解：
设年增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=－2.1．因为增长率不为负，所以x=0.1。
故选D。
【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：
设每千克水果应涨价x元，依题意，得（500－20x）（10+x）=6000．整理，得x2－15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：
每千克应涨价5元．．
点拨：
①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况．
【考题4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？
（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？
解：
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4，
则由题意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x,
由
BP·BQ=4，得
（5－x）·2x=4，
解得，x1=1，x2=4．
当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。
故x=1
（2）由BP
+BQ
=5
得（5－x）
+（2x）
=5
解得x1=0（不合题意），x2=2．
所以2秒后，PQ的长度等于5。
三、针对性训练：
（分钟）（答案：
）
1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？
2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：
如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？
4．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
5．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△ABQ的面积等于8cm2?
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2。
解：
依题意，得：
（6-x）·2x=8
解这个方程得：
x1=2，x2=4
即经过2s，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；经过4s，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处。
故本小题有两解。
（2）设经过x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm,点Q移动到CA上，且命名CQ=（2x-8）cm，过Q作QD⊥CB于D。
∵△CQD∽△CAB，
∴
，即QD=
。
依题意，得：
（14-x）·
=12.6，
解这个方程得：
x1=7，x2=11
经过7s，点P在BC距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使S△PCQ=12.6cm2
经过11s，点P在BC距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，∵14＞0,点Q已超出CA范围，此解不存在。
故本题只有一解。
【回顾1】钟老师出示了小黑板上的题目（如图1－2－2）后，小敏回答：
“方程有一根为1”，小聪回答：
“方程有一根为2”．则你认为（）
A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确
C．两人回答都正确D．两人回答都不正确
【回顾2】解一元二次方程x2－x－12=0，结果正确的是（）
A．x1=－4，x2=3B．x1=4，x2=－3C．x1=－4，x2=－3D．x1=4，x2=3
【回顾3】方程
解是（）
A．x1=1B．x1=0，x2=－3
C．x1=1，x2=3D．x1=1，x2=－3
【回顾4】若t是一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=（2a+b）2的关系是（）
A．Δ=MB．Δ＞M
C．Δ＜MD．大小关系不能确定
【回顾5】方程
的根是（）
A．0B．1C．0，－1D．0，1
【回顾6】已知一元二次方程x2－2x－7=0的两个根为x1，x2，则x1+x12的值为（）
A．－2B．2C．－7D．7
【回顾7】已知x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则
的值是（）
A、3B、－3C、
D、1
【回顾8】用换元法解方程（x2＋x）2＋（x2＋x）＝6时，如果设x2＋x＝y，那么原方程可变形为（）
A、y2＋y－6＝0B、y2－y－6＝0
C、y2－y＋6＝0D、y2＋y＋6＝0
【回顾9】方程x2－5x=0的根是（）
A．0B．0，5C．5，5D．5
【回顾10】若关于x的方程x2＋2x＋k=0有实数根，则（）
A．k＜1，B．k≤1C．k≤－1D．k≥－1
【回顾11】如果一元二次方程x2－4x＋2＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2等于（）
A.4B.－4C.2D.－2
【回顾12】用换元法解方程（x2－x）－
＝6时，设
＝y，那么原方程可化为（）
A.y2＋y－6＝0B.y2＋y＋6＝0
C.y2－y－6＝0D.y2－y＋6＝0
【回顾13】设x1，x2是方程2x2+3x-2=0的两个根，则x1+x2的值是（）
A．-3B．3C．－
D．
【回顾14】方程x3-x=0的解是（）
A．0，1B．1，-1
C．0，-1D．0，1，－1
【回顾15】用换元法解方程
__
【回顾16】两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________
【回顾17】方程x2－x=0的解是______________
【回顾18】等腰△ABC中，BC=8，
AB、BC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，则m的值是________.
【回顾19】关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是_______________.
【回顾20】解方程
【回顾21】解方程：
x3－2x2－3x＝0.
【回顾22】解方程组：
【回顾23】解方程：
2（x－1）2+5（x－l）+2=0．
【回顾24】解方程：
x2－2x－2=0
【回顾25】解方程：
x2+5x+3=0
【回顾26】已知关于x的一元二次方程
的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
【回顾27】已知关于x的一元二次方程
的一个根为0，求k的值．
【回顾28】要到玻璃店配一块面积为1.21m2的正方形玻璃，那么该玻璃边长为______
【回顾29】如图1－2－3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米．
（80分60分钟）（257）
一、基础经典题（44分）
（一）选择题（每题4分，共28分）
【备考1】如果在－1是方程x2+mx－1=0的一个根，那么m的值为（）
A．－2B．－3C．1D．2
【备考2】方程
的解是（）
A．
【备考3】若n是方程
的根，n≠0，则m+n等于（）
A．－7B．6C．1D．－1
【备考4】关于x的方程
的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）
A．m＝0，n＝0B．m＝0，n≠0
C．m≠0，n=0D．m≠0，n≠0
【备考5】以5－2
和5+2
为根的一元二次方程
是（）
A．
B．
C．
D．
【备考6】已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，
那么x12+x22的值是（）
A．1B．5C．7D、
【备考7】关于x的方程
有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（）
A．2B．－1C．0D．l
（二）填空题（每题4分，共16分）
【备考8】已知一元二次方程x2＋3x+1=0的两个根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值等于_______.
【备考9】已知一个一元二次方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_______.
【备考10】如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x－3=0的根，则□ABCD的周长是_______
【备考11】关于x的方程
的一次项系数是－3，则k=_______
【备考12】关于x的方程
是一元二次方程，则a=__________.
三、实际应用题（9分）
【备考13】2003年2月27日《广州日报》报道：
2002年底广州自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4．65％，尚未达到国家A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2009年底自然保护区覆盖率达到8％以上，若要达到最低目标8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？
（结果保留三位有效数字）．
四、渗透新课标理念题（每题10分，共20分）
【备考14】（阅读理解题）阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．已知：
m是关于x的方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．
解：
把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2=1，所以m=l，把=l代入原方程检验可知：
m=1符合题意，答：
m的值是1．
【备考15】（阅读理解题）阅读材料，解答问题：
为解方程
，我们可以将x2－l看作一个整体，然后设x2－l=y，那么原方程可化为y2－5y＋4=0①，解得y1=1，y2=4．当y1=l时，x2－l=1．所以x2=2．所以x=±
；当y=4时，x2－1=4．所以x2=5．所以x=±
故原方程的解为x1=
，x2=－
，x3=
，x4=
；上述解题
过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．请利用以上知识解方程：
x4－x2－6＝0．
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