初二数学上册几何知识点归纳与整理.docx
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初二数学上册几何知识点归纳与整理
【三角形】
题型一、与三角形有关的边
知识梳理：
1、三角形的三边关系：
两边之差<第三边<两边之和
2、三角形的稳定性
例1：
下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.1,2,3
B.2,2,4
C.2,3,4
D.2,4,8
例2：
如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边长度的取值范围是
例3：
如图，△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE⊥BC于
E,BC=6,△ABC的面积是12，则DE的长是（）
A．1B．2C．3D．4
例4：
下列图形中，具有稳定性的是（）
A.
B.
C.
D.
课堂练习：
1.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）
A．3、4、5B．4、4、6C．4、5、6D．5、5、10
2.已知三角形的三边长分别是3、x、9，则x-5+x-13=；
3.已知AD、CE分别是∆ABC的高线和中线，且BC=AD=2，则S∆ACE=.
4.王师傅用4根木条钉成一个四边形，若要使这个木架不变形，则至少还要再钉上木条
（）A．0根B．1根C．2根D．3根
题型二、与三角形有关的角
知识梳理
1、三角形的内角：
三角形的内角和为180°；在直角三角形中，两个锐角互余
2、三角形的外角
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补.
外角个数：
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．
例1：
若一个三角形三个内角度数的比为1:
2:
3，那么这个三角形是（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
例2：
如图3,在ABC中，点D是BC延长线上的一点，若∠A=80︒,∠B=30︒，则∠ACD
的度数是;
课堂练习：
1.∆ABC在中，∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5，则∠C等于（）
A.45
B．60
C．75
D．90
2.如图AB//DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A=20︒，则∠CEF等于（）
A.110︒
B.100︒
C.80︒
D.70︒
3.已知，如图AB//CD,∠A=95︒，∠C=65︒，∠1：
∠2=3:
4，求∠B的度数。
题型三、多边形及其内角和
知识梳理
1、多边形及其内角和
n（n-3）
①n边形的对角线2
条对角线；
②n边形的内角和为（n－2）×180°；
③多边形的外角和为360°
例1：
七边形的内角和为（）
A.0︒
B.
00︒
C.
60︒
D.
0︒
例2：
多边形的外角和为（）
A.7200
B.5400
C.3600
D.1800
例3：
若一个多边形截去一个角后，形成的新的多边形的内角和为720︒，那么原来这个多边形的边数为.
例4：
小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620︒，则这个多加的外角的度数为.；这个多边形的边数为.
课堂练习：
1.n边形的每个外角都为36︒，则边数n为（）
A．9B．10C．11D．12
2.一正多边形的内角和为540︒，则这个正多边形的边数为;
3.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图8所示，则∠AOB=
4.一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为.
5..如图所示，根据图中的对话回答问题．
问题：
（1）王强是在求几边形的内角和?
（2）少加的那个内角为多少度?
【全等三角形】
题型一、全等三角形定义和性质
知识梳理：
1、全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形对应边相等、对应角相等
例1：
下列说法正确的是（）
A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等
练习：
1、下列命题中正确的是（）
①全等三角形对应边相等②三个角对应相等的两个三角形全等
③三边对应相等的两个三角形全等④有两边对应相等的两个三角形全等
A.4个B.3个C.2个D.1个
2、若命题“有两边分别相等，且的两个三角形全等”是假命题，则以下选项填入横线正确的是（）A.两边的夹角相等B.周长相等C.其中相等的一边上的中线也相等D.面积相等
3、如右图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）
A．72︒
B．60︒
C．58︒
D．50︒
题型二、全等三角形判定
知识梳理
定义：
1.三边分别相等的两个三角形是全等三角形（可以简写成“边边边”或“SSS”）
2.两边和他们的夹角分别相等的两个三角形是全等三角形（可以简写成“边角边”或“SAS”）
3.两角和他们的夹边分别相等的三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）
4.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）
例1：
如图，要测量河岸相对两点A,B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点
C，D,使BC=CD,过D作DE⊥BF,且A、C、E三点在一直线上，若测得DE=30米，即AB=
米，判定方法是
练习：
1、如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的根据是（）
A.SSSB.SASC.AASD.ASA
2、用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）
A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等
例3：
如图，已知∠DAC=∠BAC，
（1）若根据SAS判定△ABC≅△ADC,则需要添加的一个条件是．
（2）若根据ASA判定△ABC≅△ADC,则需要添加的一个条件是．
（3）
若根据AAS判定△ABC≅△ADC,则需要添加的一个条件是．
练习：
1.在ABC与A'B'C'中①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A'C',④∠A=∠A',
⑤∠B=∠B',⑥∠C=∠C'
则下列条件组不能保证ABC≅A'B'C'的是（）
A、①②③B、①②⑤C、②④⑤D、①③⑤
2.如右图是5⨯5的正方形网格，以点D,E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
例4、如图，点E，F在线段BC上，AB=DC，BF=CE，∠B=∠C。
求证：
AF=DE
练习：
1、如图，AB＝AC，AD＝AE.求证：
∠B＝∠C.
2、已知，BE⊥CD,BE=DE,BC=DA
求证DF⊥BC
全等三角形判定综合
例1已知，如图6，在三角形ABC中，AC=BC，AC⊥BC，∠A=45︒，
M是AC一点，连接BM，作CE⊥BM于点E，延长CE，交AB于D。
（1）求证∠ACD=∠CBM；
（2）若M是AC的中点,求证∠CMB=∠AMD。
练习：
1、如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，
AB=DB,EB=CB,M,N分别是AE,CD的中点.
（1）BM与BN的关系为.
（2）证明你的结论
2、如图：
在∆ABC中，BE,CF分别是AC,AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD,AG.
求证：
（1）AD=AG；
（2）AD与AG的位置关系如何？
并说明理由。
题型三、角平分线的性质与判定
知识梳理
1、角平分线性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等
2、角平分线性质定理的逆定理：
到角两边距离相等的点在角的角平分线上。
（一）角平分线与垂直平分线尺规作图
例1AC、AB是两条笔直的交叉公路，M,N是两个实习点的同学参加劳动，现欲建一个茶水供应站，使得此茶水供应站到公路两边的距离相等，且离M,N两个实习点的距离也相等，试画出茶水供应站的位置。
课堂练习
1、如图，在∆ABC中，点D在AB上，且BD=BC，求作∠ABC的平分线BE，交AC于E点，连接DE，并证明：
CE=DE.（尺规作图，保留作图痕迹）
（二）角平分线性质
例1.如图4，∠B=∠C=90︒，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S
∆CDE
=2S
3
∆ABE，则
S∆DEC:
S∆ADE
=.
例2.如图，AD是∆ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF//AC,ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF给出下列四个结论：
①DE=DF，②DB=DC，③AD⊥BC，④AC=3BF，其中正确的结论共有（）个
A.4B.3C.2D.1
课堂练习
1、如图，在∆ABC中，点D在边BC上，若∠BAD=∠CAD，AB=6，AC=3，S∆ABD=3，则
S∆ACD=
2、如图，已知△ABC周长为24，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于
D,OD=2,球三角形ABC的面积。
3、如图，AD是∠CAB的平分线，P是AD上一点，PE⊥AC于E，PE=6，若点E
在射线AB上，则下列结论正确的是（）
A.PE=6
B.
PE>6
C.
PE不大于6D.PE不小于6
（三）角平分线判定
例1、如图，在∆ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE//AB，
∠PFD=∠C，点D到PE和PF的距离相等。
求证：
点D到AB和AC的距离相等。
课堂练习
1、在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC
交AD于点E，连结EC，求证：
CE平分∠ACB
2、如图，AB=AC,AD⊥BC，点P在AD上，PE⊥AB,PF⊥AC，垂足分别为E,F，求证：
PE=PF.
【轴对称】
题型一：
轴对称
（一）轴对称图形判断
知识梳理
轴对称图形定义：
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
典型例题1：
下列四个标志中，是轴对称图形的是（）
A.B．C．D．
A类练习：
下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中，其中是轴对称图形的是（）
A.B.C.D.
（二）轴对称图形的性质
典型例题1：
如图，∆ABC和∆A'B'C'关于直线l对称，若∠A=50︒，∠C'=30︒，则∠B
的度数（）
A．100B．80︒C．50︒D．20︒
A类题
1.如下图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150︒，
∠B=40︒，则∠BCD的度数是（）
A．130°B．150°C．40°D．65度
（三）垂直平分线
知识梳理
垂直平分线的定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
判定：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
1、垂直平分线的性质
典型例题1：
如图，已知在∆ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，
DE交AC于D，若∆DBC的周长为16，则BC=.
典型例题2：
如图，在∆ABC中，∠B=55，∠C=30，分别以点A和点C为圆心，大于
1AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）
2
A.65
B.60
C.55
D.45
A类题
1.如图，在∆ABC中，AB=
若∆DBC的周长为35cm，则BC的长为（）
AC=
20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，
A.17.5cm
B.
15cm
C.
10cm
D.
7.5cm
2.如图，∠C=90︒，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠B=40︒，则∠CAD=（）
A.40︒B.20︒C.10︒D.15︒
B类题
1.如图，在Rt∆ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD:
∠BAD=1:
7，则∠BAC的度数为（）
A.70︒B.48︒C.45︒D.60︒
2.如图，∠BAC=130︒，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A50°B75°C80°D105°
2、垂直平分线的判定
典型例题1：
如图，点D在∆ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上.
A.ABB.ACC.BCD.不能确定
典型例题2：
如图，∆ABC中，AB=AC，∠PBA=∠PCA，AP的延长线交BC于E，求证：
AE垂直平分BC.
A类题
1.如图，在∆ABC中，边AB、BC的垂直平分线MN、DE相交于点P,点P是否也在边AC的垂直平分线上？
请说明理由.
2.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BC=FE，求证：
点G在线段FC的垂直平分线上。
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．求证：
AC垂直平分
BD.
B类题
1.已知∆ABC的周长是l，BC=l-2AB,则下列直线一定为∆ABC的对称轴的是（）
A.∆ABC的边AB的垂直平分线B.∠ACB的平分线所在的直线
C.∆ABC的边BC上的中线所在的直线D.∆ABC的边AC上的高所在直线
2.在三角形ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC,求证：
AD垂直平分EF。
题型二：
轴对称作图
知识梳理：
图形轴对称的性质：
1、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；画轴对称图形：
依据轴对称图形的性质画图。
关于坐标轴和原点对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
（一）画轴对称图形
典型例题1：
如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，3）,C（4，0）.
（1）在图中作出△ABC中关于y轴的对称图形△A1B1C1;
（2）在y轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小，并直接写出点P的坐标。
（保留作图痕迹，不必写作法）
典型例题2：
如图，在平面直角坐标系XOY中，A（1,2）,B（3,1）,C（-2,-1），在图中
作出∆ABC关于直线x=1的对称图形∆AB1C11，并写出A1,B1,C1的坐标。
A类练习
1.如图7，请把△ABC与△A'B'C'图形补充完整，使得它们关于直线l对称（保留作图痕迹）
B类练习
1.如图，∆AOB的顶点O在直线l上，
（1）画出关于直线l成轴对称的图像∆COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在
（1）的条件下，连结AD，如果∠ABD=2∠ADB，试说明DA平分∠CDB.
2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系．
3.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图
（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）求图
（一）中四边形ABCD的面积；
（2）在图
（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△FEG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
（二）作垂直平分线
典型例题1：
如图，在∆ABC中，∠C=90︒，∠BAC=60︒．
（1）若点D为BC上一点，且D到点A与到点B的距离相等，尺规作图，求作点D（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在
（1）的条件下，且DB=8cm，求CD的长．
A类题：
1.如图有三点A,B,C，请在图中确定一点P，使其到
A,B,C的距离相等。
2.如图，某地有两所大学和两条交叉的公路。
图中点M,N表示大学，
OA,OB表示公路。
现在计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？
请在图中画出你的设计.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
3如图，在∆ABC中，∠C=60︒，∠A=40︒。
尺规作图：
作AB的垂直平分线，交
AC于点D，交AB于点E.连接BD并证明BD平分∠CBA.（保留作图痕迹，不要求写作法）
（三）关于坐标轴对称的点坐标
典型例题1：
点P（-3，2）关于x轴对称点的坐标是;关于y轴对称点的坐标是;关于原点对称点的坐标是;
典型例题2：
在平面直角坐标系中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为2）对称的点的坐标为（）
A.（-a，5）B.（a，-5）C.（-a+2，5）D.（-a+4，5）
A类练习：
1.点M（a,-5）与点N（-2,b）关于y轴对称，则ab=.
2.如图，在3⨯3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）
A.点B.B点C.C点D.D点
B类练习
1.已知A（2m+1,m-3）,关于y轴的对称点在第四象限,则m的取值范围为
2.如图，已知∆ABC关于y=1直线对称，点C到AB的距离为2，AB的长为6，则点A，点B的坐标分别为
．
如图，点O是原点，AB//x轴，点M在线段AB上，且OM=2b，点E是线段AO的中点.若点B和点E关于直线OM对称，点B的坐标是（0,a），则点A的坐标是.（结果用a,b表示）.
题型三、等腰三角形
知识梳理
定义：
有两边相等的三角形是等腰三角形
性质1：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
（一）等腰三角形的性质
1.等腰三角形边角关系
典型例题1：
已知等腰三角形两个内角的和为100︒，则顶角的度数是;
典型例题2：
一个等腰三角形的一边长为5cm，周长为20cm，求其它两边的长分别为
；
A类题
1.若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为；
2.等腰三角形的一个内角为50︒，则它的顶角是（）
A.50︒B.80︒C.20︒或80︒
B类题
D.50︒或80︒
1.如图，在△ABC中，∠B=∠ACB=50︒，P是边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）
A.5︒
B.
85︒
C.
50︒
D.40︒
2.如图，∠EAF=15︒,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于（）
A．90︒
B．75︒
C．70︒
D．60︒
3.如图，在三角形△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于（）
A.∠EDB
B.
∠BED
C.
2∠ABF
D.
1∠AFB
2
4.如图所示，D为BC上一点，且AB=AC=BD，则图中∠1与∠2的关系是（）
A．∠1=2∠2B．∠1+∠2=180︒
C．∠1+3∠2=180︒D．3∠1-∠2=180︒
2.等腰三角形三线合一
典型例题1：
已知：
∆ABC中AB=AC，则下列直线一定为∆ABC的对称轴的是（）
A.∆ABC的边AB的垂直平分线B.∠ACB的平分线所在的直线
C.∆ABC的边BC上的中线所在的直线D.∆ABC的边AC上的高所在的直线
A类题
1.∆ABC中，AB=AC，D为BC中
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