小学的数学行程问题及问题详解.docx

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小学的数学行程问题及问题详解

　1.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？

（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

2.如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

3.甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

4.小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

　　解：

画示意图如下.

5.小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：

小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

　　解：

画一张示意图：

6.一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.

行程问题

（一）（基础篇）

行程问题的基础知识以及重要知识点★提到行程问题就不得不说3个行程问题中一定会用到的数——s,t,v

  s——路程

  t——时间

  v——速度

这3个数之间的关系就是：

路程=速度X时间 ——s=vt

同时可以得出另外两个关系：

速度=路程÷时间——v=s/t

时间=路程÷速度——t=s/v

我们来看几个例子：

例1，一个人以5米/秒的速度跑了20秒，那么他跑了多远？

5米/秒是这个人的速度v，20秒是他一共跑的时间t，求他跑的距离也就是路程s，我们就可以直接利用这3个数量的关系s=vt来计算出路程：

  s=vt=5x20=100（米）。

例2，从A地到B地的直线距离是100米，有一个人从A地到B地去，每秒走2米，那么他需要多久可以到达B地？

首先100米是路程s，每秒走2米就是速度v（2米/秒），要求的就是需要用的时间t

所以我们就可以利用t=s/v来计算出时间：

  t=s/v=100÷2=50（秒）

例3，小明从家上学的路程是500米，他只用了10分钟就走到了学校，那么他走路的速度是多少？

这道题目里给出的500米是上学的路程s，10分钟是上学去需要的时间t，求的是走这段路的速度v，我们就可以利用这3个数量的关系v=s/t得出：

  v=s/t=500÷10=50（米/分）

  以上是学习行程问题必须要懂的基本知识。

———————————————————————

  在上面的内容中所提到的行程问题都是速度不变的情况，那么如果在走的过程中速度发生了改变，那么我们就不能再用s=vt来解决了。

  变速的过程中一个重要的知识点就是——平均速度

  平均速度=总路程÷总时间

  平均速度的计算方法和平均数不同，我们不可以将各个不同的速度加在一起取平均值。

例4，某货车往返于相距60千米的AB两地之间，从A地到B地时速度是6千米/小时，从B地返回时，速度是12千米/小时，那么货车往返的平均速度是多少？

  首先我们先算出往返的总路程就是60X2=120（千米）

  然后算出往返的总时间，去时的是是60÷6=10（小时），回来的时间是60÷12=5（小时），那么总共用时是10+5=15（小时）

  这时再计算平均速度=总路程÷总时间=120÷15=8（千米/小时）

 【将两个速度加起来求平均（6+12）÷2=9（千米/小时）是错误的。

】

  在上一道题目中，如果将AB两地之间的距离改成120千米，那么平均速度变成了多少呢？

  我们来实际操作一下：

  总路程=120X2=240（千米）

  总时间=120÷6+120÷12=20+10=30（小时）

  所以平均速度=总路程÷总时间=240÷30=8（千米/小时）

  我们发现，在这个过程中路程变成了2倍，但是平均速度没有变化，同学们试下将总路程改成其他数字，再计算一次平均速度。

  结论：

往返运动中，平均速度不受总路程影响，之跟往返的速度有关。

  于是这道题目可以改成：

例5，某货车往返于AB两地之间，从A地到B地时速度是6千米/小时，从B地返回时，速度是12千米/小时，那么货车往返的平均速度是多少？

  题目中并没有给我们AB之间的路程，并且我们又知道AB之间的距离不影响往返的平均速度的计算，所以我们可以选择自己设一个距离。

比如我们设AB之间的距离是60千米，那么计算的时候就跟例4一样，得到平均速度是8千米/小时。

我们还可以不设一个具体的数，设AB之间的路程是“1”。

  解：

设AB之间的路程是“1”。

      则货车往返的总路程就是1X2=2

      往返的总时间是1÷6+1÷12=1/4

      于是往返的平均速度就是2÷1/4=8（千米/小时）

                    答：

火车往返于AB之间的平均速度是8千米/小时。

————————————————————————

    小结：

 行程问题的基础，重点是懂得行程问题中三个量的关系、以及理解平均速度的概念。

行程问题

（二）（知识篇）

本贴主要针对行程问题中最常用的相遇与追及问题进行讲解

★相遇问题

  学了一个人的行程问题之后我们就可以开始说一下两个人的相遇问题.（当然也包括两辆车,飞机之类）,第一种形式就是相遇问题,相遇问题的主要公式就是:

路程=时间X速度和    ----------s=t（v1+v2）

例1,甲乙二人分别从AB两地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,经过20秒后两人相遇,那么AB两地的距离是多少?

  解:

这是相遇问题中最简单的例子,首先我们先分别考虑甲乙二人,甲的速度是5米/秒,他走了20秒,所以他走的距离是5X20=100米.乙的速度是4米/秒,他走了20秒所以一共走了4X20=80米.

    两人从AB两地相遇,所以他们一共走的路程就是AB,所以AB之间的路程就是100+80=180米.

    我们还可以使用相遇问题的公式直接来解决这个问题：

      s=t（v1+v2）=20X（5+4）=180（米）

    这个公式的意义就是,将相遇过程中的两人速度看做一个整体,因为他们所走的时间是相同的,所以总的相遇过程里可以把两个人的速度和当成一个速度来利用s=vt计算.

    这个公式还有几个变形:

          t=s/（v1+v2）

          v1+v2=s/t      

          （在这个公式中,当我们知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度）

例2,甲乙二人分别从相距180米的AB两地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,过了多久两人相遇?

      这道题目中给了两人的速度,还有路程,要求时间,我们可以利用第2条公式计算出时间:

        t=s/（v1+v2）=180÷（4+5）=20（秒）

例3,甲乙二人分别从相距180米的AB两地相向而行,经过20秒后两人相遇,甲的速度是5米/秒,那么乙的速度是多少?

      题目中给了路程和时间,因此我们可以计算出速度和:

        v1+v2=s/t=180÷20=9米/秒

        然后利用速度和减去其中一个人的速度求出另一人的速度:

        9-5=4米/秒

    注意:

相遇问题不单是两个人相向行走最后相遇的问题,只要两人的前进方向是相反的,都叫做相遇问题.

例4,甲乙两人同时从某地出发,甲以每秒5米的速度向东走,乙用每秒4米的速度向西走,那么20秒之后两人相距多远?

  这道题目中两人并没有相遇的过程,但是他们的行进方向是相反的,因此这个问题也属于相遇问题,依然适用公式:

      s=t（v1+v2）=20X（5+4）=180（米）

例5，甲乙二人在距离200米的AB两地，向对方所在的地方走去，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，那么10秒后两人的距离是多远？

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2009-10-2011:

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题目中给了我们时间和两个人的速度，因此我们可以求出两人在10秒内一共走了多远：

      s=t（v1+v2）=10X（5+4）=90（米）

      两人原本距离是200米，经过10秒后缩短了90米，所以这时两人的距离是200-90=110（米）

—————————————————————————------★追及问题

  追及问题就是两人同向而行，一个人从后面追上另一人的过程，它的公式是：

    路程=时间X速度差----s=t（v1-v2）

  变形公式：

t=s/（v1-v2）； v1-v2=s/t（在这个公式中,当我们知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度）

    实际上在相遇问题与追及问题中，唯一的区别就是两人的速度不再是求和而是求差，两人的行进方向不再是相向，而是同向。

例6，甲乙二人沿着一条公路跑步，甲以5米/秒的速度追赶前方30米处以2米/秒的速度跑步的乙，他需要多少时间可以追上乙？

    解：

这道题给了我们两人的距离，和速度，这样我们可以求出总路程和速度差，所以时间就是

    t=s/（v1-v2）=30÷（5-2）=10（秒）

注意:

只要两个人的行进方向是相同的，都是追及问题。

例7，甲乙两人同时同向从同地出发，甲的速度是5米/秒，乙的速度是2米/秒，那么过了10秒后，两人的距离是多少？

这道题中并没有一个人追上另一个人的过程，但是两人的前进方向相同，因此也属于追及问题，依然可以使用公式：

    s=t（v1-v2）=10X（5-2）=30（米）

    小结：

 行程问题中的相遇与追及，重点是理解“反向=相遇”“同向=追及”这2个概念，以及相遇、追及问题的公式。

更多的拓展知识将在下一讲里继续讨论。

行程问题（三）（提高篇1）

本贴主要针对行程问题中错车问题（火车过桥）问题进行讲解

★错车问题

例1，两列火车在两条平行的铁轨上相向行驶，它们的长度分别是40米和50米，速度分别是3米/秒和6米/秒，那么两车从车头相遇到车尾离开一共用了多久？

看这道例题之前我们先要弄明白一件事，两车从车头相遇到车尾离（错车）到底是一个什么样的过程。

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2009-10-2813:

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如图我们看到两车长度分别是l1和l2他们车头相遇的时候车头之间的距离是0，当他们车尾离开的瞬间，他们的车头之间的距离刚好是两车的总长度，因此在错车的过程中，两车的车头一共拉开了l1+l2的距离，根据上一讲的知识，这是一个相遇问题，所以两车走的路程和是l1+l2 。

我们知道两车一共走的路程，又知道分别的速度，那么时间就是（40+50）÷（3+6）=10（秒）

从这里我们可以得出一个结论，两车相向行驶时的错车问题公式：

两车长度和÷两车速度和=错车时间------（l1+l2）÷（v1+v2）=t

  我们来解读一下这个公式，它跟我们上一讲的相遇问题公式：

路程÷速度和=时间（s÷（v1+v[sub]2[/sub）=t），是完全一样的，只不过这里的路程就是两车的长度和，因此求其他的量的过程也跟上一讲一样，这里不再重复，只给出相应公式：

两车长度和=两车速度和×错车时间-------（l1+l2）=（v1+v2）×t两车速度和=两车长度和÷错车时间-------（v1+v2）=（l1+l2）÷t

例2、甲乙两车在两条平行铁轨上相向行驶，他们的长度分别是40米和50米，甲车的速度是3米/秒，两车从车头相遇到车尾离开一共用了10秒，那么乙车的速度是多少？

解：

我们知道了两车的长度和是90米，时间是10秒，那么速度和就可以用公式：

（v1+v2）=（l1+l2）÷t=（40+50）÷10=9（米/秒）有了速度和，我们要求其中一个速度：

9-3=6（米/秒）

    即可求出乙车的速度是6米/秒。

★火车过桥问题

    火车过桥问题其实就是错车问题的一个特例，我们只需要把桥想象成一列火车，桥是不会动的，所以它的速度是0，于是公式就变成了

    （火车长+桥长）÷车速=时间  --------（l1+l2）÷v1=t  -（因为v2=0）

我们来做一下例题：

例3、一列100米长的火车过一座150米长的桥，火车的速度是25米/秒，它过桥需要多少时间？

  解：

（火车长+桥长）÷车速=时间

      （l1+l2）÷v1

      =（100+150）÷25=10（秒）  

  同时我们根据速度×时间=路程  （vt=s）的关系可以得出另外几个公式：

车速=（火车长+桥长）÷时间---------v1=（l1+l2）÷t

火车长+桥长=车速×时间---------l1+l2=v1×t

例4、一列长100米的火车过一座桥，火车的速度是25米/秒，它过桥一共用了10秒，那么桥的长度是多少？

  解：

  l1+l2=v1×t

    =25×10=250（米）

      那么桥长就是：

      250-100=150（米）

    到这里我们所学的内容都是相向行驶时的错车问题，当其中一辆车的速度是0（变为桥）的时候，它就是一个火车过桥问题的公式。

  事实上错车问题的公式就是相遇问题的公式，只不过它的路程就是两车的长度和。

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★追车问题

例5，两列火车在两条平行的铁轨上同向行驶乙车在前，甲车在后。

两车的长度分别是甲车80米乙车50米，甲车的速度是35米/秒，乙车的速度是25米/秒，那么甲车从追上甲车到完全超过乙车需要多少时间？

我们仍然是先弄清楚这个从追上到超过的过程是一个什么过程。

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2009-10-2813:

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我们发现刚开始追上的时候，甲车的车头与乙车的车尾是在一起的，距离是0，而当甲车完全超过乙车的时候，他的车头与乙车的车尾已经拉开了l1+l2的距离，也就是说，在这个过程甲车比乙车多走了l1+l2的路程，那么根据上一讲的内容我们知道这是一个追及问题。

这道题目中有两车的长度和两车的速度求时间，因此我们得出这个过程的公式

两车长度和÷两车速度差=追车时间------（l1+l2）÷（v1-v2）=t

  那么这道题目就可以：

    （l1+l2）÷（v1-v2）

    =（80+50）÷（35-25）

    =130÷10=13（秒）同样我们还可以得到2个变形公式：

 两车长度和=两车速度差×追车时间----（l1+l2）=（v1-v2）×t

 两车速度差=两车长度和÷追车时间---（v1-v2）=（l1+l2）÷t

    与错车问题相同，追车问题的公式事实上就是追及问题的公式，只不过路程变成了两车的长度和，其他都是完全一样的。

    如果是一个人追车的问题，或者车超过人的问题时，我们只需要将其中一个人看做是长度是0的车就可以了。

　　解：

（1）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是

　　500÷1.25-180=220（米/分）.

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是

　　500÷（220-180）＝12.5（分）.

　　220×12.5÷500＝5.5（圈）.

答：

（1）小张的速度是220米/分；

（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.

　　解：

第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是

　　80×3＝240（米）.

　　240-60=180（米）.

　　180×2＝360（米）.

　　答：

这个圆的周长是360米.

　　解：

画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是

　　40×3÷60＝2（小时）.

　　从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了

　　6×2-2＝10（千米）.小王已走了6＋2=8（千米）.

　　因此，他们的速度分别是

　　小张10÷2＝5（千米/小时），

　　小王8÷2=4（千米/小时）.

　　答：

小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.

　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

　　3.5×3＝10.5（千米）.

　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

　　10.5-2＝8.5（千米）.

　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

　　3.5×7＝24.5（千米），

　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

　　就知道第四次相遇处，离乙村

　　8.5-7.5=1（千米）.

　　答：

第四次相遇地点离乙村1千米.

　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于

　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是

　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.

　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要

　　130÷2=65（分钟）.

　　从乙地到甲地需要的时间是

　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分.

　　答：

小李从乙地到甲地需要3小时15分.

　　解：

1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

　　第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.

　　为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此

　　顺水速度∶逆水速度=5∶3.

　　由于两者速度差是8千米.立即可得出

　　A至B距离是12＋3=15（千米）.

　　答：

A至B两地距离是15千米.