河南中考数学试卷及答案(word解析版).doc
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2013年河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷
数学
注意事项：
1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
1~8
9~15
16
17
18
19
20
21
22
23
参考公式：
二次函数图像的顶点坐标为
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内。
1、－2的相反数是【】
（A）2（B）（C）（D）
【解析】根据相反数的定义可知：
－2的相反数为2
【答案】A
2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】
【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。
结合定义可知，答案是D
【答案】D
3、方程的解是【】
（A）（B）（C）（D）
【解析】由题可知：
或者，可以得到：
【答案】D
4、在一次体育测试中，小芳所在小组8个人的成绩分别是：
46，47，48，48，49，49，49，50.则这8个人体育成绩的中位数是【】
（A）47（B）48（C）48.5（D）49
【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。
本题的8个数据已经按照从小到大的顺序排列了，其中间的两个数是48和49，它们的平均数是48.5。
因此中位数是48.5
【答案】C
5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。
那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】
（A）1（B）4（C）5（D）6
【解析】将正方形重新还原后可知：
“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。
【答案】B
6、不等式组的最小整数解为【】
（A）－1（B）0（C）1（D）2
【解析】不等式组的解集为，其中整数有0,1,2。
最小的是0
【答案】B
7、如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】
（A）（B）∥
（C）AD∥BC（D）
【解析】由垂径定理可知：
（A）一定正确。
由题可知：
，又因为，所以∥，即（B）一定正确。
因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。
【答案】C
8、在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是【】
（A）（B）（C）（D）
【解析】二次函数的开口向下，所以在对称轴的左侧随的增大而增大，二次函数的对称轴是，所以，
【答案】A
二、填空题（每小题3分，共21分）
9、计算：
【解析】原式=
【答案】1
10、将一副直角三角板和如图放置（其中），使点落在边上，且，则的度数为
【解析】有图形可知：
。
因为，
所以,∴
【答案】15
11、化简：
【解析】原式=
【答案】
12、已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是㎝
【解析】有扇形的弧长公式可得：
弧长
【答案】
13、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1，－2，3，4。
把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是
【解析】任意抽取两张，数字之积一共有2，－3，－4，－6，－8，12六种情况，其中积为负数的有－3，－4，－6，－8四种情况，所以概率为，即
【答案】
14、如图，抛物线的顶点为与轴交于点，若平移该抛物线使其顶点沿直线移动到点，点的对应点为，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为
【解析】阴影部分可认为是一个平行四边形，
过作,则
∴阴影部分的面积为
【答案】12
15、如图，矩形中，,点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当△为直角三角形时，的长为
【解析】
①当时，由题可知：
即：
在同一直线上，落在对角线上，此时，设，则，，在中，解得
②当时，即落在上，，此时在中，
斜边大于直角边，因此这种情况不成立。
③当时，即落在上，此时四边形是正方形，所以
【答案】
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16、（8分）先化简，再求值：
，其中
【解答】原式
当时，原式=
17、从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。
某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表
组别
观点
频数（人数）
A
大气气压低，空气不流动
80
B
地面灰尘大，空气湿度低
C
汽车尾气排放
D
工厂造成的污染
120
E
其他
60
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：
，，扇形统计图中组所占的百分比为%。
（2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？
【解析】
（1）由A组的频数和A组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数：
∴，
组所占百分比是
（2）由题可知：
D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为
∴（万人）
（3）持C组“观点”的概率为
【答案】
（1）40；100；15%
（2）30万人（3）
18、（9分）如图，在等边三角形中，,射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为
（1）连接，当经过边的中点时，求证：
证明：
∵
∴
∵是边的中点
∴
又∵
∴
（2）填空：
①当为s时，四边形是菱形；
②当为s时，以为顶点的四边形是直角梯形。
【解析】①∵当四边形是菱形时，∴
由题意可知：
，∴
②若四边形是直角梯形，此时
过作于M，，可以得到，
即，∴，
此时，重合，不符合题意，舍去。
若四边形若四边形是直角梯形，此时，
∵△ABC是等边三角形，F是BC中点，
∴，得到
经检验，符合题意。
【答案】①②
19、（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角。
求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度.
（结果精确到0.1米，参考数据：
）
【解答】
在Rt△BAE中，，BE=162米
∴（米）
在Rt△DEC中，，DE=176.6米
∴（米）
∴（米）
即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米
20、（9分）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为。
双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接。
（1）求的值及点的坐标；
（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式
【解答】
（1）在矩形中，
∵B点坐标为，∴边中点的坐标为（1,3）
又∵双曲线的图像经过点
∴，∴
∵点在上，∴点的横坐标为2.
又∵经过点,
∴点纵坐标为，∴点纵坐标为
（2）由
（1）得，,
∵△FBC∽△DEB，∴，即。
∴，∴，即点的坐标为
设直线的解析式为，而直线经过
∴，解得
∴直线的解析式为
21、（10分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：
A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售。
设购买个A品牌的计算器需要元，购买个B品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式‘
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？
请说明理由。
【解答】
（1）设品牌计算机的单价为元，品牌计算机的单价为元，则由题意可知：
即，两种品牌计算机的单价为30元，32元
（2）由题意可知：
，即
当时，
当时，，即
（3）当购买数量超过5个时，。
①当时，
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买品牌的计算机更合算
②当时，
即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。
③当时，
即当购买数量超过30个时，购买品牌的计算机更合算
22、（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中.
（1）操作发现
如图2，固定，使绕点旋转。
当点恰好落在边上时，填空：
①线段与的位置关系是；
②设的面积为，的面积为。
则与的数量关系是。
【解析】①由旋转可知：
AC=DC，
∵，∴
∴△ADC是等边三角形，∴,又∵
∴∥
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。
由①可知：
△ADC是等边三角形,∥，∴DN=CF,DN=EM
∴CF=EM
∵，∴,又∵
∴
∵∴=
（2）猜想论证
当绕点旋转到图3所示的位置时，小明猜想
（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中边上的高，请你证明小明的猜想。
【证明】∵
又∵
又∵
∴△ANC≌△DMC
∴AN=DM
又∵CE=CB,∴
（3）拓展探究
已知，点是其角平分线上一点，，交于点（如图4），若在射线上存在点，使,请直接写出相应的的长
【解析】如图所示，作∥交于点,作交于点。
按照
（1）
（2）求解的方法可以计算出
23、（11分）如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。
点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
请说明理由。
（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标
【解答】
（1）∵直线经过点,∴
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的解析式为
（2）∵点的横坐标为且在抛物线上
∴
∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形
①当时，
∴，解得：
即当或时，四边形是平行四边形
②当时，
，解得：
（舍去）
即当时，四边形是平行四边形
（3）如图，当点在上方且时，
作,则
△PMF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵∴
解得：
，（舍去）∴。
同理可以求得：
另外一点为
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