河北省衡水中学高三上学期一调考试(数学理).doc

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2011—2012学年度上学期一调考试

高三年级理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题真值相同的命题为 （）

A．若一个数是负数，则它的平方是正数B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

C．若一个数的平方是正数，则它是负数D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数

2．若非空集合S{1,2,3,4,5}，且若a∈S，则必有6－a∈S，则所有满足上述条件的集合S共有（）

A．6个B．7个 C．8个 D．9个

3.f（x）是定义域为R的增函数，且值域为R＋，则下列函数中为减函数的是（）

A．f（x）+f（－x） B．f（x）－f（－x） C．f（x）·f（－x） D．

4.函数f（x）=x2+ax－3a－9对任意x∈R恒有f（x）≥0，则f

（1）＝（）

A．6 B．5 C．4 D．3

5.关于x的方程ax=-x2+2x+a（a>0,且a≠1）的解的个数是（）

A．1 B．2 C．0 D．视a的值而定

6．设lg2x－lgx2－2＝0的两根是a、b，则logab+logba的值是（）

A．－4 B．－2 C．1 D．3

7.当x∈（－2，－1）时，不等式（x+1）2

A．[2,+∞） B．（1,2] C．（1,2） D．（0,1）

8.对于函数则下列正确的是（）

A．该函数的值域是[－1，1]B．当且仅当时，该函数取得最大值1

C．当且仅当

D．该函数是以π为最小正周期的周期函数

9.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（则△ABC的

形状是（）

A．直角三角形　　　B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形

10.若的值的范围是（）

A． B． C． D．[0，1]

（第11题）

11.如图所示的曲线是函数的大致图象，

则等于（）

A． B．C． D．

12.已知二次函数的导函数为，，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为（　　）A.2B.C.3D.

第Ⅱ卷（主观题共90分）

二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）

13.把一个函数图像按向量平移后，得到的图象的表达式为，

则原函数的解析式为．

14.已知函数的零点，且，，，则.

15.设函数（a≠0），若，x0>0，则x0=．

16.已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

将解答过程写在答题纸上）

17．（本小题满分10分）设a、b∈Z，E＝{（x,y）|（x－a）2＋3b≤6y}，点（2，1）∈E，但（1，0）E，（3，2）E。

求a、b的值。

18.（本小题满分12分）已知为锐角，求的值。

19.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/小时）是车流密度x（单位：

辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：

当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

20.（本小题满分12分）已知向量

⑴;

⑵若

21.（本小题满分12分）设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x>0时，0

（1）求证：

f（0）=1，且当x<0时，有f（x）>1；

（2）判断f（x）在R上的单调性；

⑶设集合A＝{（x,y）|f（x2）f（y2）>f

（1）}，集合B＝{（x,y）|f（ax－y+2）=1,a∈R}，若A∩B＝，求a的取值范围。

22.（本小题满分12分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

（1）求证：

为关于的方程的两根；

（2）设，求函数的表达式；

（3）在

（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．

2011—2012学年度上学期一调考试

高三理科数学试题答案

一、选择题:

CBDCBABCBBCA

二、填空题:

13.14.315.16.

三、解答题

17.解：

∵点（2,1）∈E，∴（2－a）2+3b≤6 ①

∵点（1,0）E，∴（1－a）2+3b>0 ②

∵点（3,2）E，∴（3－a）2+3b>12 ③……………………………………………………3分

由①②得6－（2－a）2>－（1－a）2，解得a>－；类似地由①③得a<－。

∴－

∵a∈Z，∴,…………………………………………………………………………6分

由①②③得，又b∈Z，∴。

……………………………………………9分

综上所述，…………………………………………………………………………10分

18.解：

，

又，∴tan。

……………………6分

为锐角∴sin，………………………………………………8分

∴．………………12分

19.解：

（1）由题意：

当0≤x≤20时，v（x）＝60；当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b.

再由已知得解得………………………………4分

故函数v（x）的表达式为

……………………………………………………………6分

（2）依题意并由

（1）可得

………………………………………8分

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分

当20≤x≤200时，f（x）＝x（200－x）≤2＝.……………10分

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f（x）在区间[20,200]上取得最大值.……………11分

综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值≈3333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

………12分

20.解：

⑴

………………………………………5分

⑵

①当时，当县仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾；……7分

②当时，取得最小值，由已知得

；………………………………………………………………9分

③当时，取得最小值，由已知得

解得，这与相矛盾，………………………………………………11分

综上所述，为所求.………………………………………………12分

21.解：

⑴f（m+n）=f（m）f（n），令m=1,n=0，则f

（1）=f

（1）f（0），且由x>0时，00，∴f（0）=f（x）f（－x），∴f（x）＝>1。

……………4分

⑵设x10，∴0

……………8分

⑶∵f（x2）f（y2）>f

（1），∴f（x2+y2）>f

（1），由f（x）单调性知x2+y2<1，又f（ax－y+2）=1=f（0），

∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴，∴a2+1≤4，从而。

……12分

22.解：

（1）由题意可知：

∵，……………………………2分

∴切线的方程为：

，

又切线过点，有，

即，①　

同理，由切线也过点，得．②

由①、②，可得是方程（*）的两根……………………………4分

（2）由（*）知.

，

∴．……………………………8分

（3）易知在区间上为增函数，

，

则．……………………10分

即，即，

所以，由于为正整数，所以.

又当时，存在，满足条件，所以的最大值为.…………………………………………………………12分