初三先修一元二次方程.docx

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初三先修一元二次方程

老师寄语：

什么人每天靠运气赚钱？

认识一元二次方程

一、学习目标：

1．一元二次方程的概念：

强调三个特征：

①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.

一元二次方程的一般形式：

__________，在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．

2.几种不同的表示形式：

①ax2+bx+c=0（a≠0,b≠0,c≠0）

②___________（a≠0,b≠0,c=0）

③____________（a≠0,b=0,c≠0）

④___________（a≠0,b=0,c=0）

课堂小结：

1

一分钟记忆

1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为_______________________的形式．其中________是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。

2．一元二次方程必须化为一般形式___________________________后，才能找它的项及系数。

三、反馈检测：

1、下列叙述正确的是（）

A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程

B.方程4x2+3x=6不含有常数项

C.（2－x）2=0是一元二次方程

D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0

2、把方程（3x+2）2＝4（x-3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

3、关于x的方程（k2－1）x2＋2（k－1）x＋2k＋2＝0,当k=______时，是一元二次方程．,当k=_______时，是一元一次方程．

4、当m=_________时，方程

是关于x的一元二次方程。

5、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3x2=5x-1

（2）（x+2）（x-1）=6

（3）4-7x2=0

6、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

（1）x2-y=1

（2）1/x2-3=2

（3）2x+x2=3（4）3x-1=0

（5）（5x+2）（3x-7）=15x2（k为常数）

（6）ax2+bx+c=0（7）

§2.1.2认识一元二次方程

一：

1、什么叫一元二次方程？

它的一般形式是什么？

2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

（1）2x2―x＋1＝0

（2）―x2＋1＝0（3）x2―x＝0（4）―

x2＝0

（5）（8-2x）（5-2x）=18

P46花边问题中方程的一般形式：

________________________你能求出x吗？

（1）x可能小于0吗？

说说你的理由；______________________________

（2）x可能大于4吗？

可能大于2.5吗？

为什么？

1

______________________________________________________________

（3）完成下表

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2x2―13x＋11

（4）你知道地毯花边的宽x（m）是多少吗？

还有其他求解方法吗？

与同伴交流。

自主学习：

通过估算求近似解的方法：

先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。

例题1：

P31梯子问题

梯子底端滑动的距离x（m）满足（x＋6）2＋72＝102

一般形式：

______________________

（1）你认为底端也滑动了1米吗？

为什么？

（2）底端滑动的距离可能是2m吗？

可能是3m吗？

（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？

x的整数部分是几？

（4）填表计算：

x

1

1.5

2

x2＋12x―15

进一步计算

x

x2＋12x―15

十分位是几？

照此思路可以估算出x的百分位和千分位

三、1、一元二次方程

有两个解为1和-1，则有

_______，且有

________.

2、若关于x的方程

有一个根为-1，则m=_____________.

用配方法求解一元二次方程

一：

配方：

填上适当的数，使下列等式成立：

（1）x2＋12x＋_____＝（x＋6）2

（2）x2―4x＋______＝（x―____）2

（3）x2＋8x＋______＝（x＋_____）2

从上可知：

常数项配上______________________________.

自主学习：

1

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）x2＝9

（2）（x＋2）2＝16

（3）（x+1）2－144=0（4）

（2x+1）2=3

阅读书P53-54,

解方程：

x2＋12x－15＝0（配方法）

解：

移项，得：

________________

配方，得：

__________________.（两边同时加上__________的平方）

即：

_____________________

开平方，得：

_____________________

即：

______________________

所以：

_________________________

注意：

用配方法解一元二次方程的基本思路：

将方程转化为_____________的形式，它的一边是一个_________，另一边是一个常数。

当_________时，两边___________便可求出它的根；当_____________时，原方程无解.

三、反馈检测：

1．一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）

A.（x－1）2=m2+1B.（x－1）2=m－1

C.（x－1）2=1－mD.（x－1）2=m+1

2．用配方法解方程:

3、1）若x2+4=0，则此方程解的情况是____________.

2）若2x2－7=0，则此方程的解的情况是__________.

3）若5x2=0，则方程解为_________

4、由上题总结方程ax2+c=0（a≠0）的解的情况是：

当ac＞0时__________________；当ac=0时__________________；

当ac＜0时__________________.

5、关于x的方程（x+m）2=n,下列说

法正确的是（）

A.有两个解x=±

B.两个解x=±

－m

C.当n≥0时，有两个解x=±

D.当n≤0时，方程无实根

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把一元二次方程化成________；

（2）两边同除以________________，使___________________化为1；

（3）移项，方程的一边为_____________________，另一边为________

（4）配方：

方程两边同时加上_________________，化为_________的形式；

（5）当_________时，两边开平方便可求出它的根；当__________时，原方程无解

3、用配方法解下列方程：

（1）x2＋4x＋3＝0

（2）x2-4x+12=0

自主学习：

1

例题：

解方程：

3x2＋8x―3＝0

解：

两边都除以____，得：

移项，得：

配方，得：

（方程两边都加上________________的平方）开平方，得：

所以:

三、反馈检测：

1、用配方法解下列方程时，配方错误的是（）．

A．

，化为

B．

，化为

C．

，化为

D．

，化为

2、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：

h＝15t―5t2

小球何时能达到10m高？

用公式法求解一元二次方程

用配方法解方程：

（1）2x2+3=7x

（2）3x2+2x+1=0

用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

自主学习

1、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，它的根是x＝

注意：

当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。

2、公式法：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。

利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

例：

解方程：

2x2＋7x＝4

（2）x2-

x+2=0（3）2x2-5x+4=0

用公式法解一元二次方程的步骤：

1）化成一般形式；

2）确定a,b,c的数值；

3）求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；

4）若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根，

若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。

课堂小结

三、反馈检测：

一分钟记忆：

根的判别式：

______________

1）当b2－4ac____0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

2）当b2－4ac_____0时，一元二次方程有两个相等的实数根；

3）当b2－4ac______0时，一元二次方程无实数根。

1、下列一元二次方程中，有实根的方程是（）

（1）x2-x+1=0

（2）x2-2x+3=0

（3）x2+x-1=0（4）x2+4=0

2、用公式法解方程：

（1）2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0

（5）16x2+8x=3（6）2x2-9x+8=0

用公式法求解一元二次方程

1、求1）x2=n（n>0）的解，2）（x+m）2=n（n>0）的解

2、配方：

（1）x2―3x＋_______＝（x―____）2

（2）x2―5x＋_______＝（x―____）2

3、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

4、用配方法解下列一元二次方程：

（1）3x2―1＝2x

（2）

自主学习：

例：

小明：

我的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度相等。

如图所示：

（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？

（2）求出一元二次方程的解？

（3）这两个解都合要求吗？

为什么？

2、小亮：

我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。

你能帮小亮求出图中的x吗？

（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？

（2）估算一元二次方程的解是什么？

（∏取3）

（3）符合条件的解是多少？

3、你还有其他设计方案吗？

请设计出来与同伴交流。

课堂小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。

2、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解

用因

式分解法求解一元二次方程

1.5x2=4x2.x（x-2）=x-23.x2-4=0,（x+1）2-25=0

总结

（1）在一元二次方程的一边

为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。

（2）分解因式时

，用公式法提公式因式法。

一元二次方程的根与系数的关系

教学过程：

一、创设情境

1．请说出解一元二次方程的四种解法.

2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

（1）x2－2x＝0；

（2）x2＋3x－4＝0；

（3）x2－5x＋6＝0.

方程

让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以证明.

二、探究归纳

方程

x2－2x＝0

0

2

2

0

x2＋3x－4＝0

1

-4

-3

-4

x2－5x＋6＝0

2

3

5

6

可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于

常数项.

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出

它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？

与上面发现的现象是否一致.

（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）

探索过程

结论：

两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的.

三、实践应用

例1已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值.

解法一：

因为关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，所以有

解法二：

由

，

方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，

可得

例2写出下列方程的两根和与两根积：

课堂练习

1.写出下列方程的两根和与两根积：

2.已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.

3.已知关于x的方程x2－2x＋m2+m－2＝0的一个根是2，求方程的另一个根和m的值.

4.写出下列

方程的两根和与两根积：

5.已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值.