电磁场理论习题课.docx
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电磁场理论习题课
电磁场理论习题课
第二章、宏观电磁现象的基本规律
2.3、半径为R0的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q。
当球以角速度?
绕某一直径（z轴）旋转时，求其表面上的面电流密度。
解：
面电荷密度为
?
s?
Q24?
R0
?
R0面电流密度为
js?
?
s?
v?
?
s?
R0sin?
?
Q4?
R02?
R0sin?
?
Q?
sin?
4?
R0
?
?
?
Js0。
已知导线的直径为d，导线中2.4、均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流Js?
e电流为I0，求Js0。
解：
每根导线的体电流密度为
j?
I04I0?
（d/2）2?
?
d2
由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为
js?
jd?
4I0?
d
因此，等效面电流密度为
?
4I0?
?
js?
e?
d
2.6、两个带电量分别为q0和2q0的点电荷相距为d，另有一带电量为q0的点电荷位于其间，为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。
当中间的点电荷带电量为?
q0时，结果又如何？
解：
设实验电荷q0离2q0为x，那么离q0为d?
x。
由库仑定律，实验电荷受2q0的排斥力为
F1?
14?
?
2q0x2
实验电荷受q0的排斥力为
F2?
1q04?
?
（d?
x）21q0
要使实验电荷保持平衡，F1?
F2，那么
14?
?
2q0x2?
4?
?
（d?
x）2
即得到
1
x?
22?
1d?
0.585d
如果实验电荷为?
q0，那么平衡位置仍然为
x?
22?
1d?
0.585d
只是这时实验电荷与q0和2q0不是排斥力，而是吸引力。
2.9、半径为R0的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为?
s0，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为R0的半球内，再求球心处的电场强度。
解：
面电荷密度产生的电场强度为
?
?
E（r）?
14?
?
0?
?
?
（r?
r?
）?
s0dS?
?
?
S?
|r?
r?
|3?
根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z方向。
2由于dS?
?
R0sin?
?
d?
?
d?
?
，那么
?
?
?
s0?
zE（r）?
?
e4?
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d?
?
?
0?
/2sin2?
?
d?
?
?
s04?
0
如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为
?
?
Q32?
R0?
/32?
R0?
s032?
R02?
3?
s0R0
/3把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为dr?
的球壳产生的电场强度为
?
?
?
zdE（r）?
?
e?
4?
0dr?
那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为
?
?
?
zE（r）?
?
e?
z?
?
e?
z?
?
e?
4?
0?
0R0dr?
?
4?
03?
s04?
0R0
2.11、求下列情况下，空间任一处的电场强度
（1）相距为d的两个无限大导电平板。
均匀分布着面电荷，密度分别为?
?
s0；
（2）无限长的两个同轴圆柱面，均匀分布着面电荷。
半径分别为a和b（b?
a），单位长度的
内柱电荷为?
l，外柱电荷为?
?
l；（3）半径分别为R1和R2（R1?
R2）的两个同心球面，带有均匀分布的面电荷，总量分别为
q0（内球面）和?
q0（外球面）。
解：
（1）首先根据电场强度特点构造一个圆柱，柱面侧面电场强度与其法向方向垂直，上端面法向方向与电场强度平行。
然后利用高斯定理
2
?
S可以得到
?
?
D?
dS?
Q
D?
S?
?
s0S
因此
?
?
s0?
xE?
e?
dabR2R1
（1）
（2）（3）
（2）在半径为a和b之间构成圆柱，长度为l，那么圆柱上下端电场强度通量为零，测量通量为
?
S利用高斯定理
?
?
E?
dS?
2?
rl
2?
rlEr?
?
ll/?
因此
Er?
?
l2?
?
r
如果构成圆柱的半径r?
b，那么
Er?
0
因此
?
0r?
b?
?
E?
?
?
l
?
eb?
r?
a?
?
?
2?
?
r
（3）在半径为R1和R2之间构成球，，那么球面电场强度通量为
?
S由高斯定理
?
?
2E?
dS?
4?
rEr
4?
rEr?
q0/?
2因此
E?
1q04?
?
r2
因此空间电场强度为
?
0r?
R1?
?
E?
?
1q0
?
eR?
r?
R12?
2r?
4?
?
r
3
2.14、如图所示，两个半径分别为a和b（b?
a）的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为?
0。
两球面的球心相距为
d，且d?
a。
试求空腔内的电场。
解：
我们把空腔看成是由电荷密度分别为?
0和?
?
0，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为?
0、半径为b的圆柱产生的场和电荷密度为?
?
0、半径为a的圆柱叠加。
由高斯定理，大圆柱产生的电场为
?
Eb?
Q4?
?
2rbbrbraad?
b?
r?
0?
4?
rb
小圆柱产生的电场为
?
Ea?
Q23?
rb?
a?
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r?
0?
3?
ra
因此合成场为
?
?
0?
?
0?
?
0?
Ea?
rb?
ra?
d
3?
3?
3?
?
2.16、求半径为a、长度为L的圆柱面轴线上的磁感应强度B。
柱面
?
?
?
?
Js0。
?
zJs0；
（2）Js?
e上的面电流密度为：
（1）Js?
e?
解：
（1）由比-沙定律，我们首先求出长度为L的线电流产生的磁感应强度为
?
?
I0B?
4?
?
?
?
dl?
?
（r?
r?
）?
?
3|r?
r?
|?
LL因此
B?
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?
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?
2dz?
（z?
z?
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22cos?
]30L[（z?
z?
）?
?
dz?
（z?
z?
）[（z?
z?
）?
?
222
?
?
0I4?
?
?
0]3如果把圆柱面划分为很多细线，那么在轴线的磁感应强度B?
0。
（2）由比-沙定律，我们首先求出圆环细电流线在轴线上产生的磁感应强度为
?
?
I0B?
4?
?
?
?
dl?
?
（r?
r?
）?
?
3|r?
r?
|?
?
L
4
第三章、静电场及其边值问题的解法习题
3.1、对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度。
（1）?
（x,y,z）?
Ax2?
Bx?
C
（2）?
（x,y,z）?
Axyz
（3）?
（?
?
z）?
A?
2sin?
?
B?
z（4）?
（r,?
?
）?
Ar2sin?
cos?
解：
已知空间的电位分布，由E?
?
?
?
和?
2?
?
?
?
/?
0可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
?
x
（1）E?
?
?
?
?
?
（2Ax?
B）e2?
?
?
?
0?
?
?
?
2A?
0
?
x?
xze?
y?
xye?
z）
（2）E?
?
?
?
?
?
A（yze?
?
?
?
0?
?
?
0
?
?
?
A?
cos?
e?
?
?
B?
e?
z]（3）E?
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?
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?
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[（2A?
sin?
?
Bz）eBzBz2?
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0?
?
?
?
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0（4Asin?
?
2?
?
Asin?
）?
?
?
0（3Asin?
?
?
）
?
r?
Arcos?
cos?
e?
?
?
Arsin?
e?
?
）（4）E?
?
?
?
?
?
（2Arsin?
cos?
e?
?
?
?
0?
?
?
?
?
0（6Asin?
cos?
?
2Acos2?
cos?
sin?
?
Acos?
sin?
）
3.5、如图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为?
s0的面电荷，试求球心处的电位。
解：
上顶面在球心产生的电位为
?
1?
R2R1d1?
s02?
0（d1?
R1?
d1）?
22?
s02?
0（R?
d1）
d2下顶面在球心产生的电位为
?
2?
?
s02?
0（d2?
R2?
d2）?
22?
s02?
01（R?
d2）
2R2侧面在球心产生的电位为
?
3?
4?
?
0?
S?
s0R?
?
s0S4?
?
0R
式中S?
4?
R2?
2?
R（R?
d1）?
2?
R（R?
d2）?
2?
R（d1?
d2）。
因此球心总电位为
?
?
?
1?
?
2?
?
3?
?
s0?
0R
3.10、位于x?
0和x?
d处的两个无限大导电平板间充满了?
?
?
0（1?
x/d）的体电荷。
若将x?
0处的导电平板接触，而将x?
d处的导电平板加上电压U0，试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。
解：
由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x有关，因此空间电位分布也只与x有关。
由泊松方程可以利用直接积分法求出电位分布。
一维泊松方程为
5
d?
dx22?
?
?
0?
0（1?
xd）
其通解为
?
（x）?
?
?
06?
0dx?
3?
02?
0x2?
C1x?
C2
由?
（0）?
0?
C2?
0而由?
（d）?
U0?
C1?
因此板间电位分布为
?
（x）?
?
U0d?
2?
0d3?
0
?
06?
0dx?
3?
02?
0x2?
（U0d?
2?
0d3?
0）x
板间电场强度为
?
?
0?
0U02?
0d2?
xE?
?
?
?
?
[x?
x?
（?
）]e2?
0d?
0d3?
0从该式可以求出电场强度为零的位置为
?
?
4ac?
?
0?
0x?
?
b?
b2?
?
0?
220?
4?
02?
0d（U0d?
2?
0d3?
0）2a?
0?
0d2?
0d3?
0
?
?
d?
d1?
2?
0?
0d（U0d?
）由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为
x?
?
d?
d1?
2?
0?
0d（U0d?
2?
0d3?
0）
3.11、两块无限大导电平板间分别以两种不同的介质?
1和?
2。
当两极板之间外加电压U0时，试求电容器中电位和电场的分布以及极板上的面电荷密度。
?
1S?
1?
22dSd?
22Sd
解：
设介质1和介质2的电位分别为
?
1?
C1x?
C2?
2?
D1x?
D2
根据电位在介质界面的边界条件可得
?
?
Cx?
D
根据?
x?
0?
0和?
x?
2d?
U0，则
6
?
?
?
根据E?
?
?
?
，可以得到
U02dx
?
U0?
xE?
?
e2d对导体表面
?
n?
D?
?
e?
n?
E?
s?
e?
?
对x?
0平板上e?
n?
e?
x，则面电荷密度分别为
?
sU0?
?
?
S?
y?
2S1?
2d?
?
U0?
?
?
0?
y?
S22d?
?
U0?
?
12dS?
y?
2S?
?
U0?
?
0?
y?
S22d?
?
n?
?
e?
x，则面电荷密度分别为对x?
0平板上e?
s
3.12、试求真空中下列圆柱对称的体电荷所产生得电位和电场。
（1）?
（?
）?
?
0a/?
?
?
a
（2）?
（?
）?
?
0a?
?
?
a（3）?
（?
）?
?
0?
/a?
?
a解：
在圆柱坐标系下电位满足泊松方程
?
1?
?
?
?
?
1?
2?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
?
2?
?
z由于电位和电场的对称性，即?
与?
和z无关，则
?
2?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
因此，可以利用直接积分法求解问题。
（1）?
（?
）?
?
0a/?
?
?
a
?
?
?
?
0a?
0?
?
C1ln?
?
C2
?
0，则
根据自然边界条件，?
?
?
?
?
有限，?
?
?
0?
0a?
?
?
?
1?
?
?
0?
?
?
?
Cln?
?
C12?
2在?
?
a上
?
?
1?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
12?
?
?
?
?
?
可得到关系式
7
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0a?
0?
0a?
0a?
C1lna?
C2?
C11a
由此可见
C1?
?
C2?
?
0a2?
0?
0（lna?
1）?
0a2
3.13、如图所示，半径为a的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为?
l，其一半埋于介电常数为?
的介质中，一半露于在空气中，试求各处的电位和电场强度。
解：
根据题意，空间中电位分布与?
和z无关，则可以利用直接积分法得到
?
1?
A1ln?
?
A2?
中?
2?
B1ln?
?
B2?
0中?
l?
0?
a
根据不同介质分界面电位的连续性可知A1?
B1和A2?
B2，则
?
?
A1ln?
?
A2若设无限长导体圆柱上电位为0，也即?
（a）?
0，则
?
?
A1ln?
a
由高斯定律，首先构成一个长度为l，半径为?
的圆柱，则
?
A1（?
01?
?
?
1?
）?
?
?
l?
?
ll
因此
A1?
?
?
l?
（?
0?
?
）?
l
因此电位为
?
?
?
（?
0?
?
）lna?
根据电位与电场的关系可以求出
?
E?
?
?
?
?
?
l?
（?
0?
?
）?
?
?
e
3.14、对同轴电容器，其中部分填充了介质?
，其余为空气。
当外加电压U0时，求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。
?
0ab?
?
8
解：
根据题意，电容器中电位分布与?
和z无关，则可以利用直接积分法得到
?
1?
A1ln?
?
A2?
中?
2?
B1ln?
?
B2?
0中
根据介质界面的边界条件可知A1?
B1和A2?
B2，则
?
?
A1ln?
?
A2
由?
?
?
a?
0和?
?
?
b?
U0可得到
?
A?
U0/ln（b/a）?
A2?
?
A1lna?
?
1?
U?
Alnb?
AA?
?
Ulna/ln（b/a）120?
0?
2因此电容器内电位分布为
?
?
U0ln（?
/a）ln（b/a）?
E?
?
a?
?
?
b
?
利用E?
?
?
?
可得到电场为
U0ln（b/a）?
1利用?
s?
?
n?
D可以计算出电容器内面电荷密度分布为?
e?
?
?
e?
s?
?
0U0?
?
ln（b/a）?
?
?
U0?
?
?
ln（b/a）1?
?
?
?
b1?
?
?
?
b
那么单位长度总电荷为
Q?
（2?
?
?
）?
0U0ln（b/a）?
?
?
U0U0111?
?
?
?
[（2?
?
?
）?
0?
?
?
]bln（b/a）bln（b/a）b11?
[（2?
?
?
）?
0?
?
?
]
ln（b/a）b因此电容为
C?
QU0?
3.15、试求真空中下列球对称电荷分布所产生的电位和电场：
（2）?
（r）?
?
0（a?
r?
b）（3）?
（r）?
?
0a/r（r?
a）
解：
由电荷密度分布可知，电位分布也是对称的，因此可以利用直接积分法求出电位。
（2）由于电荷密度分布区域是在a?
r?
b，那么利用直接积分法可以得到r?
a、a?
r?
b和r?
b区域内电位分布为
?
1?
A1r?
A2?
2?
?
?
3?
?
06?
0r2?
B1r?
B2
C1r?
C2利用?
1（r?
0）为有限的自然边界条件可以得到A1?
0；利用?
3（r?
?
）?
0可以得到C2?
0。
因此不同区域解的形式为
9
?
1?
A2?
2?
?
?
3?
?
06?
0r2?
B1r?
B2
C1r由r?
a的边界条件
?
1r?
a?
?
2?
r?
ad?
1drr?
ad?
2drr?
a
和r?
b的边界条件
?
2r?
b?
?
3?
r?
bd?
2drr?
bd?
3drr?
b
可以得到联立方程求解出四个待定常数。
（3）由于电荷密度分布区域是在r?
a，利用直接积分法可以得到r?
a和r?
a区域的电位分布分别为
?
1?
?
?
2?
?
02?
0r?
A1r?
A2由自然边界条件可以确定A1?
0和B2?
B2r?
0，则上式变成
B1
?
1?
?
?
2?
?
02?
0rr?
A2B1
由于空间是真空条件，那么r?
a的边界条件为
?
1r?
a?
?
2?
r?
ad?
1drr?
ad?
2drr?
a
因此
B1?
A2?
?
02?
0a2?
0?
0
a因此空间电位分布为
?
1?
?
?
02?
0r?
?
0?
0ar?
a?
2?
?
0a22?
0r
r?
a电场分别为
10
?
?
?
0?
（?
0）?
0，?
（?
l）?
U0?
（a,z）?
02由分离变量法，并根据边界条件可得
?
?
?
?
[AnJ0（kz?
）?
BnN0（kz?
）][Cnshkzz?
Dnchkzz]
n?
1?
由于?
?
0，?
为有限的，那么Bn?
0，则上式变成
?
?
?
[Cnshkzz?
Dnchkzz]J0（kz?
）
n?
1?
由低面的边界条件可得
?
?
?
CnJ0（kz?
）shkzz
n?
1由侧面的边界条件，可得
J0（kza）?
0?
kza?
?
0n?
kz?
?
0na
式中?
0n为零阶Bessel函数第n个零点值。
因此
?
?
?
?
n?
1CnJ0（?
0n?
a）sh?
0nza
利用顶面的边界条件可得
?
?
n?
1CnJ0（?
0n?
a）sh?
0nla?
U0
两边同乘J0（?
0m?
a?
）?
，并对（0,a）积分，那么
?
n?
1Cnsh?
0nla?
0aJ0（?
0n?
a）J0（?
0m?
a）?
d?
?
?
0aU0J0（?
0m?
a）?
d?
式中
?
0J0（
a?
0n?
a）J0（?
0m?
a?
0m?
n?
）?
d?
?
?
12
?
a[J（?
）]m?
n00m?
?
2
3.25、横截面为扇形空间，场沿轴线方向不变。
已知?
?
?
?
b?
?
0?
?
?
?
?
?
0，?
?
?
a?
?
U0，
?
U0，试求此扇形区域内的电位分布。
解：
定解问题
?
2?
?
0?
?
?
?
0?
?
a?
?
?
?
?
?
0?
?
b
?
U0?
?
U0?
由于问题解与z无关，则kz2?
0，则
G（?
）?
C1sink?
?
?
D1cosk?
?
16
F（?
）?
A1?
k?
?
B1?
?
k?
问题的通解为
?
（?
?
）?
（A1?
k?
?
B1?
?
k?
）（C1sink?
?
?
D1cosk?
?
）
由?
?
?
0?
0，D1?
0，则
?
（?
?
）?
（A1?
k?
?
B1?
?
k?
）sink?
?
由?
?
?
?
?
0导出sink?
?
?
0，因此k?
?
?
n?
?
n?
，n?
1,2,?
。
?
Bn?
?
n?
?
（?
?
）?
?
n?
1（An?
?
?
）sinn?
?
?
由?
?
?
a?
?
U0和?
?
?
b?
U0分别得到下列
?
n?
?
（Anan?
1?
?
?
Bna?
Bnb?
n?
?
）sinn?
?
?
n?
?
?
?
U0n?
?
（Anbn?
1?
?
n?
?
U0?
）sin?
利用正弦函数的正交性可以得到系数An和Bn。
3.33、内半径为R的球壳内有一个点电荷q0，距球心为d，球壳的厚度为?
R。
试求下列情况下，空间各处的电位分布：
（1）球壳接地；
（2）球壳接电位?
0；（3）球壳带电荷Q0。
解：
（1）接地情况的像电荷大小及位置分别为
q?
?
?
Rq0/dd?
?
R2?
RRdq0q’
/d
第四章习题解
4.1、电导率为?
的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为R，其表面的电位为?
0cos?
，试计算表面上各点的电流密度。
解：
在球坐标系下利用及
?
r?
?
?
e?
?
1?
?
1?
?
?
?
?
?
?
e?
e?
rr?
?
rsin?
?
?
?
?
J?
?
E?
?
?
?
?
17
由于表面电位为?
0cos?
，那么表面电场为
?
Es?
?
?
?
r?
R?
?
?
e?
0Rsin?
于是表面各点电流密度为
?
?
Js?
e?
?
0Rsin?
4.2、如图所示平板电容器。
板间填充两种不同的导电煤质，其厚度分别为d1和d2。
若在两的自由电荷和束缚电荷的面密度。
解：
理想电容器?
1?
?
2?
0，满足的定解问题为
?
2?
?
0?
x?
0?
?
极板上加上恒定的电压V0，求板间的电位?
、电场强度E、电流密度J及各分界面上
d1x?
d1?
d2d2?
2?
2?
2?
0?
?
?
2?
V0?
?
1?
xx?
d1
?
1?
1x?
d1x?
d1?
1?
?
2?
?
2?
x0x?
d1?
1?
1V0x由直接积分法可以得到电位的通解为
?
1?
Ax?
Bx?
d1?
2?
Cx?
Dd1?
x?
d2
由?
式为
x?
0?
0和?
x?
d1?
d2?
V0可以确定出B?
0及D?
V0?
C（d1?
d2），则上式电位的表达
?
1?
Axx?
d1?
2?
Cx?
V0?
C（d1?
d2）d1?
x?
d2
利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出
A?
C?
?
2V0?
2d1?
?
1d2
?
1V0?
2d1?
?
1d2因此电位分布为
?
2V0?
?
?
?
1?
d?
?
dxx?
d1?
2112?
?
1V0（?
2?
?
1）d1V0?
?
?
x?
d1?
x?
d22?
?
2d1?
?
1d2?
2d1?
?
1d2?
?
2?
?
?
E?
?
eV1x?
?
1d2?
?
2d10?
?
?
?
1?
E?
?
e?
xV02?
?
d?
?
d1221?
?
1?
2?
?
?
D?
?
eV1x?
?
1d2?
?
2d10?
?
?
?
1?
2?
D?
?
e?
xV02?
?
d?
?
d1221?
?
?
?
?
D?
ds?
E?
ds?
1?
2SQSSC?
?
?
?
?
?
?
?
V?
d?
?
d1221E?
dlE?
dl?
?
?
C?
C只有理想电容器才能定义电容，非理想电容器的两个极板上的电荷量不相等，电容只能
18
近似地按理想电容器定义。
根据静电比拟法
?
?
?
E?
0?
?
?
D?
0?
?
D?
?
E?
E1t?
E2tD1n?
D2n?
?
?
J?
?
E?
0?
?
J?
0?
?
?
EE1t?
E2tJ1n?
J2n?
?
E?
E?
?
D?
J?
?
?
?
?
?
于是对恒定电场
?
2V0?
?
?
?
1?
d?
?
dxx?
d1?
2112?
?
1V0（?
2?
?
1）d1V0?
?
?
x?
d1?
x?
d22?
?
d?
?
d?
d?
?
d21122112?
?
2?
?
?
E?
?
eV1x?
?
1d2?
?
2d10?
?
?
?
1?
E?
?
e?
xV02?
?
d?
?
d1221?
?
1?
2?
?
?
D?
?
eV1x?
?
1d2?
?
2d10?
?
?
?
1?
2?
D?
?
e?
xV02?
?
d?
?
d1221?
此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导G，有
?
?
?
?
J?
dS?
E?
ds?
1?
2SISSG?
?
——S是极板的面积?
?
?
?
?
?
V?
d?
?
d1221E?
dlE?
dl?
?
?
C?
C静电比拟法——由于源外的恒定电场与无源区的静电场中的电位满足同样的拉普拉斯方程，
?
?
当它们的边界条件也一致时，只要求出一种解，利用对偶性（J和D，?
和?
，G和C）就
可以得到另一种形式的解。
即
?
?
?
?
?
?
?
D?
JC?
G?
?
?
E?
E
4.3、对矩形导体的电导率为?
，求导电片上的电位分布以及导电片中各处的电流密度。
解：
根据题意，列入定解问题为
?
2?
?
0?
?
x?
0?
0?
?
0x?
a?
U0sin?
0?
y2b
y?
0?
?
?
ny?
b
?
（x,y）?
（A1?
A2x）（B1?
B2y）?
（C1sh|ky|x?
C2ch|ky|x）（D1sinkyy?
D2coskyy）
由?
y?
0?
0?
B1?
0和D2?
0，则
?
（x,y）?
（A1?
A2x）y?
（C1sh|ky|x?
C2ch|ky|x）sinkyy
由
?
?
?
y?
0?
A1?
0和A2?
0及coskyb?
0，因此ky?
y?
b（2n?
1）?
b,n?
1,2,?
。
因此
19
?
?
（x,y）?
?
n?
1[Cnsh（2n?
1）?
xb?
Dnch（2n?
1）?
xby]sin（2n?
1）?
yb
由?
y?
0?
0?
Dn?
0，则
?
?
（x,y）?
?
n?
1Cnsh（2n?
1）?
xbsin（2n?
1）?
yb
?
?
0d?
?
0dn由?
?
?
y?
?
U0sinx?
a?
y2b可以得到
sin（2n?
1）?
yb?
U0sin?
?
U0sin?
y2b?
n?
1Cnsh（2n?
1）?
ab?
y2b
?
?
0x利用比较系数法可以得到n?
3/4，Cn?
U0sh?
a2b，因此，导电片上电位分布为
?
x2b?
（x,y）?
U0sh?
ashsin?
y2b
2b?
?
?
利用E?
?
?
?
和J?
?
E即可以计算出导电片上各处电流密度分布。
?
?
z的恒定电流。
今沿z轴方向4.4、在电导率为?
的无限大导电煤质中流有电流密度J?
J0e挖一半径为a的无线长圆柱，求空间各处的电位?
、电场强度E和电流密度J。
解：
在圆柱坐标系下，均匀电流密度J产生的电位为?
电位?
（?
?
）的定解问题为
?
2?
?
0
?
?
?
?
?
?
?
?
J0?
?
cos?
，因此存在空腔的煤质中
?
0
（1）
?
?
a?
?
?
?
?
J0?
?
cos?
（2）
根据分离变量法可以得到问题的通解为
?
?
（?
?
）?
A0?
B0ln?
?
?
[?
n（Ansinn?
n?
1?
Bncosn?
）?
?
?
n（Cnsinn?
?
Dncosn?
）]
根据条件
（2）可设
?
（?
?
）?
（A?
?
B?
?
1）cos?
?
?
a
由条件
（1）
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