电磁场理论习题及答案8.docx
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电磁场理论习题及答案8
习题
7.11将下面用复数形式表示的场矢量变换为瞬时值，或做相反的变换
EexE0
EexjE0ejkz
EexE0costkzey2E0sintkz
解：
Ex,y,z,tReexE0ejxejtexE0costx
j2kzjt
Ex,y,z,tReexE0e2ejt
exE0costkz
x02
Ex,y,z,tReexE0eey2E0e
jtkz2
Ex,y,z,texey2jE0ejkz
7.21将下列场矢量的复数形式写成瞬时值形式
jkzz
1EezE0sinkxxsinkyyejkzz
2Eexj2E0sincoskxcosejkzsin
解：
1由式7.1.2，可得瞬时值形式为
EReezE0sinkxxsinkyyejkzzejtezE0sinkxxsinkyycostkzz
2瞬时值形式为
j
EReex2E0sincoskxcosejkzsine2
ejt
ex2E0sin
coskxcos
costkzsin
2z
ex2E0sincoskxcossintkzsin
7.32一根半径为a，出长度为L的实心金属材料，载有均匀分布沿z方向流动
的恒定电流I。
试证明：
流入金属导体的总功率为I2R，这里的R为金属导体的电阻
解：
恒定电流要产生恒定磁场。
对于静态电磁场，坡印廷矢量为
SSdSVJEdV
即经过闭合面S流入体积V内的功率损耗。
由题中所给的条件知
JeI
Jez2
a
2
JEJJ1I2a2
SSdSVJEdV1I2a2L
SVa2
I2La2
式中，
I2R
RL2，是金属导体的电阻。
a2
7.43
已知无界理想媒质90,0,0中，正弦均匀平面电磁波的频率
jkzj
f108Hz，电场强度为Eex4ejkzey3e3V/m
试求：
1均匀平面电磁波的相速度vp、波长、相移常数k和波阻抗；
2电场强度和磁场强度的瞬时表达式；
3与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
k2rad/mvp
j1jkzjkzj3
2HEey4ejkzex3e3A/m
电场强度和磁场强度的瞬时值为
EtReEejt
ex4cos2108t2zey3cos2108t2zV/m
HtReHejt
3
复坡印廷矢量为
52
ezW/m2
z16
坡印廷矢量的时间平均值为
SavReSez5W/m2
16与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率为
5
PavSSavdSW
avSav16
4已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为
Ez,t202sin6108zaxV/m
求：
1频率f、波长、相速vp及相位常数；2电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；3能流密度矢量瞬时值及平均值。
解：
题设的均匀平面波是沿正z轴方向传播的，根据已知条件可得：
6108rad/s，有效值Ex20V/m，因此
8
f3108Hz
2
18
vpC310m/s
00
6108vp63110082rad/m
2221m
2
取Ez,tIm2Exzejtax，即以对时间t正弦变化为基准，则按E、H、a三者符合右手定则关系，有
120
Hyz1azExz20ej2zay1ej2zayy0zx120y6y
Hyz,tIm2Hyzejt2sin6108t2zayA/m
6
Sz,tEz,tHz,t
228
202sin26108t2zaz
显然，后者比较简便。
5根据以下电场表示式说明它们所表征的波的极化形式
EzexjEmejkzeyjEmejkz
2Ez,texEmsintkzeyEmcostkz
3EzexEmejkzeyjEmejkz
4Ez,texEmsintkzeyEmcostkz40
解：
Ex分量和Ey分量的初相位都是90，即Ex和Ey同相。
故Ez表征一个线极化波，传播方向为z轴方向。
Ex和Ey的振幅相等，相位差为90，故Ez,t表征一个圆极化波。
因
ExEmsintkzEmcostkz，可见Ex的相位滞后于Ey90，而波的
2
传播方向为z轴方向，故Ez,t表征一个左旋圆极化波。
Ex和Ey的振幅相等，Ex的相位超前于Ey90，而波的传播方向为z轴方向，故Ez,t表征一个右旋圆极化波。
4Ex和Ey的振幅相等，但Ex的初相位是90，Ey的初相位是40，且传播方向为z轴方向，故Ez,t表征一个左旋椭圆极化波。
5在某种无界导电媒质中传播的均匀平面波的电场表示式为
Ezex4e0.2zej0.2zey4e0.2zej0.2zej/2
试说明波的极化状态。
解：
由给定的电场强度表示式看出，这是在良导体中沿z轴方向传播的均匀平面波。
两个电场分量的振幅相等，即Ex0Ey04V/m；而Ex的初相位x0，Ey的初相位y2，即Ex的相位滞后于Ey90。
由于波的传播方向是z轴方向，故题给的Ez表征一个右旋圆极化波。
下面将此结果用图形表示出来，先写出电场瞬时表示式为
Exz,tReExzejtRe4e0.2zej0.2zejt
4e0.2zcost0.2z
j
Eyz,tReEyzejtRe4e0.2zej0.2zej2ejt
4e0.2zcost0.2z/2
在z0平面上，有
Ex0,t4cost
Ey0,t4cost4sint
据此可知，合成电场矢量E0,texEx0,teyEy0,t端点随时间以角频率顺时针旋转变化，如图1所示。
注意到波的传播方向是z轴方向（垂直于纸面向里），因此失端旋转方向与波的传播方向两者正好构成右手螺旋关系，故Ez表征一个右旋圆极化波。
图1沿z方向传播的右旋圆极化波
6铜的电导率5.8107S/m，其电容率0，磁导率0。
分别计算频
率f150Hz,f2106Hz,f31010Hz的情况下，电磁波在铜中的穿透深度。
解：
由良导体的条件100推知：
铜作为良导体的频率范围是
16
f1016Hz
2000
可见对任何波段的无线电波，铜都是良导体。
三种频率下的穿透深度分别为
1当f150Hz时：
10.0661
10.00935m9.35mm
f10f1
这表明在工频50Hz下，铜的趋肤效应尚不明显。
2
当f2106Hz时：
3
当f31010Hz时：
这表明在cm波段，铜的趋肤效应极为严重。
3微波炉利用磁控管输出的2.45GHz的微波炉加热食品。
在该频率上，牛排的
等效复介电常数400,tane0.3
1求微波传入牛排的趋肤深度，在牛排内8mm处的微波场强是表面处的百分之几；
2微波炉中盛牛排的盘子是用发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数和损耗角正切分别为1.030,tane0.3104。
说明为何用微波加热时牛排被烧熟而盘子并没有被烧毁。
解：
1根据牛排的损耗角正切知，牛排为不良导体，得
可见，微波加热与其他加热方法相比的一个优点是，微波能直接对食品的内部进
行加热。
同时，微波场分布在三维空间中，所以加热得均匀而且快。
2发泡聚苯乙烯是低耗介质，所以其趋肤深度为
22.451090.31041.03
3
1.28103m
可见其趋肤深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗很小，因此称这种材料对微波是“透明”的。
它所消耗的热极小，因而盘子不会被烧掉。
7.103海水的电磁参数为r80,r1,4S/m，频率为3kHz和30MHz的电磁波在海平面处刚好在海平面下侧的海水中的电场强度为1V/m。
求：
1电场强度衰减为1V/m处的深度，应选择哪个频率进行潜水艇的水下通信；
2
频率3kHz的电磁波从海平面下侧向海水中传播的平均功率流密度。
解：
1f3kHz时，因为3
2310380
的电磁波呈显为良导体，故
2310341074
20.218
l1lnE01ln10613.863.3mE
波呈显为不良导体，故
13.8l0.64m5
显然，选高频30MHz的电磁波衰减较大，应采用低频3kHz的电磁波。
在具体的
工程应用中，具体低频电磁波频率的选择还要全面考虑其它因素
2平均功率流密度为
SavP21E02
242
4E02404.2184.6W/m2
7.117在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内传输波的波长是自由空间波长的16，且分界面上为驻波电场的最小点。
求介质的相对磁导率和相对介电常数。
解：
因为驻波比
S1
由此解出
1
由于界面上是驻波电场的最小点，故21。
而反射系数
rr36
1
rr36得
联立求解式r1
9
r2
r18
7.128均匀平面波从空气中垂直投射到导电媒质界面上，由测量知，距界面lmax7.5cm处电场最大，Emax5V/m，距界面lmin20cm处为相邻的电场最小点，Emin1V/m。
求电磁波的频率，导电媒质的Zc，以及反射系数R。
解：
因为电场波节点距波腹点为/4，因此
4
lminlmax420cm7.5cm50cm
R10.67
1
所示反射系数的相位
由于zmaxlmax2，所以n0，得
由RZc2Z1得
Zc2Z1
1Rj67
Zc21RZ190ej67
1R
7.13圆极化平面波EiE0excosiezsinijE0eye1ii
7.14
由空气中入射到
r2,r1介质的界面上，如图2所示，求反射波及折射波。
可求得
k12，
k222k0rrk1222
i4
将入射波分解为平行极化与垂直极化
sint
sini120.5,t30
i22t
cost10.520.8663
2
R//tan150.2680.072
tan753.73
Rsinit0.2590.268
sinit0.966
T2cosisint20.50.732
sinit0.966
反射波与折射波电场为
E//tT//excostezsintejk2xsintzcost
0.75823ex12eze
图2圆极化平面波
j212x23z2
7.157一角频率为的均匀平面波由空气向理想导体斜入射，入射角为i，电场矢量和入射面垂直，求：
1边界面上的感应电流密度；
2波在空气中的平均坡印廷矢量。
设此时
naz
HiaxkixazkizE0ejkixxjkizz
1
H1HiHrz0
z0
2E0cosijkixsini
01ieii
空气中合成波的磁场为
H1HiHr
在z0处，
2E0kizjkixx
axe
x1
2E0kicosijkixsini
axeiia
2E0cosijkixsiniE0cosijkixsini
JSz0azaxeiiayeii
Szx1y60
1
2Sav12ReE1H1得
2E02sini2
Savax0isin2kizcosi
1
可见对理想导体的斜入射，在z方向为驻波分布，没有能量传播，因此此处平均坡印廷矢量是沿x方向，即沿x方向为行波。
7.16
an为单位矢量传播的平面波可写
9求证在无界理想介质内沿任意方向成EEmejanrt。
等相位面
x
图3题7.15图
证明：
如图3所示，Em为一常矢量。
所给平面波的等相位面方程为
anrcosnt
在直角坐标系中
anrexcos0eycos0ezcos0exxeyyezz
xcos0ycos0zcos0
EEejanrtEejxcos0ycos0zcos0t
2E
Emj2ej
t2t2
Emejxcos0ycos0zcos0t2Ej2E
式中
可见，EEmejanrt满足波动方程
2EE20
t2
所以它可表示沿任意方向an传播的均匀平面波。
7.179一个在空气中沿ey方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示为：
Hex4106cos107tyA/m
x4
1求和在t3ms时，Hz0的位置；
2写出E的瞬时表达式。
在t3ms3103s时，欲使Hz0，则要求
73
1073103y
3042c
解得y899992.5以及y899992.5n，60m。
2f
令n29999，代入上式，得
y22.5m
或y22.5n2,n0,1,2,
ex1.508103cos107tyx30
7.1810均匀平面波的磁场强度H的振幅为31A/m，以相位常数30rad/m
在空气中沿ez方向传播，当t0和z0时，若H取向为ey，试写出H,E的表
达式，并求出频率和波长。
解：
以余弦为基准，直接写出
1
HeycostzA/m
1
ex120costzV/m
因30rad/m，故
22
300.21m
8
310451081.43109Hz
15
3
Eex40cos90108t30zV/m
7.1910在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm，当该波进入到某无损耗媒
质时，其波长变为8cm，且已知此时的E50V/m,H0.1A/m，求平面波的频
率及无损耗媒质的r,r。
在无损耗的媒质中的波长为
v2
8102m
故波速为
m/s
288
vf8102251082108
而无损耗媒质的本征阻抗为
50
05.01500
联解以下两式
12108
得r1.99
得
r1.13
7.2011设边界平面两边均为理想介质，参数分别为r19、r24，
1r2r1。
均匀平面波从理想介质1中垂直入射到边界面，其电场振幅为
0.1V/m，角频率为3108rad/s。
求理想介质1中的驻波比，入射波、反射波、折射波的表示式及其平均能流密度。
x
图4垂直入射到两种理想介质交界面
解：
取如图4所示的坐标系
传播常数：
k1113rad/m，k2222rad/m
波阻抗：
1111230125.7，2221220188.5
反射系数：
r210.2
21
折射系数：
2
t221.2
21
驻波比：
入射波：
反射波：
折射波：
1
1.5
1r
j3z0.1j3z
Ei0.e1j3zexVm/，Hiej3zeyA/m
125.7
62
Savi39.8106ezW/m2
Er0.0e2j3zexVm/，Hr0.02ej3zeyA/m
rxr125.7y
62Savr1.6106ezW/m2
Et0.1e2j2zexVm/，Ht0.12ej2zeyA/m
188.5
62
Savt38.2106ezW/m2
7.219垂直放置在球面坐标原点的某电流元所产生的远区场为：
Ee100sincostrV/mr
He0.265sincostrA/mr
试求穿过r1000m的半球壳的平均功率。
解：
用复数表示电场和磁场，则有
100jrEesiner
0.265jr
Hesine
r
平均坡印廷矢量为
SavRe12EHav2
Re1100sinejree0.265sinejr
2rr
er13.25sin
r
穿过半球壳的平均功率为
PavSavdSSavr2sindd
S
3
13.25sin3d
0
13
13.25coscos
30
55.5W
7.2212对于一个在简单媒质中传播的时谐均匀平面波，其电场强度E和磁场强度H分别为ERE0ejkR,HRH0ejkR。
试证明：
均匀平面波在无源区域的4个麦克斯韦方程可化简为下列形式：
kEH
kHE
kE0
kH0证明：
利用复数形式的麦克斯韦方程以及“”算子的相关规则，对所给的场量进行运算。
EE0ejkRejkRE0
ejkRjkRE0jkE0ejkR
jkE
由麦克斯韦方程
EjH
得jkEjH
H
同理
kHE
又
EE0ejkRejkRE0
jkR
jkE0ejkRjkE又由麦克斯韦方程
E0
得kE0
同理
7.2312在真空中沿z方向传播的均匀平面波的电场为EE0ejkz，式中E0ERjEI，且ER2EIA为实常数。
设矢量ER沿x方向，EI的方向与x轴的夹角为60。
试求E和H的瞬时表达式，并讨论该平面波的极化。
解：
根据题中所给条件，E0在直角坐标系中可表示为
E0ERjEI
将EI分解为ex和ey两个分量
则E0exERexjEIcos60eyjEIsin60exERjEIcos60eyjEIsin60
j90
ey0.43Aej90
exAjAeyj3Aex1.03Aej14.04
44
故Er,tRe0Ejekzej
ex1.03Acostkz14.04ey0.43Acostkz
相伴的磁场
ey2.73103Acostkz14.04
H1ezEr,tex1.15103Acostkz
0zx2
这是一个椭圆极化波。
7.2412一个线极化平面波从自由空间入射到r4,r1的介质分界面上，如果
入射波的电场与入射面的夹角为45，试求：
1入射角i为何值时，反射波中只有垂直极化波；
2此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几。
解：
1若入射角等于布儒斯特角时，则平行分量将发生全透射，反射波中只有
垂直极化波分量。
2以布儒斯特角入射时，折射角为
这时只有入射波中的垂直极化分量发生反射，反射系数为
cosi2rcotscosb
cosir2ctoscosb
由于入射波电场与入射面夹角为45，则入射波中的垂直极化分量为2Ei0。
因2
参考书目：
1电磁场理论基础牛中奇朱满座卢智远卢宏敏编电子工业
出版社
2电磁场与微波技术任伟赵家升编电子工业出版社
3电磁场理论马海武王丽黎赵仙红编北京邮电大学出版社
4电磁场与微波技术马冰然编华南理工大学出版社
5电磁场与电磁波杨显清赵家升王园编国防工业出版社
6电磁场与电磁波王增和王培章卢春兰编电子工业出版社
7电磁场与电磁波冯林杨显清王园编机械工业出版社
8电磁场与波冯恩信编西安交通大学出版社
9电磁场与电磁波谢处方饶克谨编高等教育出版社
10电磁场与电磁波焦其祥主编科学出版社
11电磁场与微波工程基础毛钧杰刘荧朱建清编电子工业
12
赵家升主编西北
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