七年级上册数学《一元一次方程》知识点整理.docx
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七年级上册数学《一元一次方程》知识点整理
一元一次方程知识要点解析
一、一元一次方程构成要素：
1、是等式；
2、含有未知数，且只能是一个；
3、未知数的次数有且为“1”（一次整式），且次数不为“0”；
二、一元一次方程的基本形式：
ax=b
三、一元方程的解：
使方程中等号左右两边相等的未知数的值
四、解方程的理论依据：
等式的基本性质：
性质
（1）：
等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等．
用式子形式表示为：
如果a＝b，那么a±c=b±c；
性质
（2）：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
用式子形式表示为：
如果a=b那么a×c＝b×c，a÷c＝b÷c（c≠0）；
五、解一元一次方程的基本步骤：
变形步骤
具体方法
变形根据
注意事项
去分母
方程两边都乘以各个分母的最小公倍数
等式性质2
1．不能漏乘不含分母的项；
2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律、去括号法则
1．分配律应满足分配到每一项
2．注意符号，特别是去掉括号
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边
等式性质1
1．移项要变号；
2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边
合并同
类项
把方程中的同类项分别合并，化成“
”的形式（
）
合并同类项法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变
未知数的系数化成“1”
方程两边同除以未知数的系数
，得
等式性质2
分子、分母不能颠倒
注意：
我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要善于认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，随机应变（灵活打乱步骤）解方程，能达到事半功倍的效果。
对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
解一元一次方程常用的技巧有：
1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行
2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母
3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数
4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形
六、实际问题与一元一次方程
1、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：
1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系.（审题，寻找等量关系）
2）根据数量关系与解题需要设出未知数，建立方程；
3）解方程；
4）检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．并作答
2、用一元一次方程解决实际问题的典型类型
1）数字问题：
①：
数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c则这个三位数表示为：
，
（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）
②：
用一个字母表示连续的自然数、奇数、偶数等规律数
2）和、差、倍、分问题：
关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，哪个量比哪个量……”
3）工程问题：
工作总量＝工作效率×工作时间，注意产品配套问题；
4）行程问题：
路程＝速度×时间
5）利润问题：
商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价
商品售价=商品成本价×（1+利润率）
6）利息问题：
①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的单位时间数叫做期数，利息与本金的比叫做利率．利息的20%付利息税．②利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率（20%）．
7）几何问题：
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式，注意等积变形；
8）优化方案问题
9）浓度问题：
溶液×浓度=溶质
10）盈亏问题：
关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量
11）年龄问题：
抓住人与人的岁数是同时增长的
12）增长率问题：
原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量
七、、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
1）建模思想：
通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立方程的思想
2）方程思想：
用方程解决实际问题的思想就是方程思想.
3）化归思想：
解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
4）数形结合思想：
在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.
5）分类思想：
在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.
一元一次方程
一、本节学习指导
本节我们要掌握一元一次方程的解法，需要多做一些练习题，本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、一元一次方程
（1）、含有未知数的等式是方程。
（2）、只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
（3）、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
（4）、列方程解决实际问题的步骤：
①设未知数；②找等量关系列方程。
（5）、求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
（6）、求方程的解的过程，叫做解方程。
2、等式的性质
（1）、用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。
（2）、等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c=b±c.
（3）、等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。
如果a=b，那么ac=bc;
如果a=b且c≠0，那么
.
（4）、运用等式的性质时要注意三点：
①等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算；
②等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；
③等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母。
2、解一元一次方程——合并同类项与移项
（1）、合并同类项的依据：
乘法分配律。
合并同类项的作用：
是一种恒等变形，起到“化简”的作用，它使方程变得简单，更接近x=a（a是常数）的形式。
（2）、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（3）.移项依据：
等式的性质1.移项的作用：
通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a（a是常数）的形式。
3、解一元一次方程——去括号与去分母
（1）、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分母。
（2）、顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。
（3）、工作总量=工作效率×工作时间。
（4）、工作量=人均效率×人数×时间。
4、实际问题与一元一次方程
（1）、售价指商品卖出去时的的实际售价。
（2）、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。
进价指商品的买入价，也称成本价。
（3）、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。
它与售价不同，它指的是原价。
（4）、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。
（5）、盈亏问题：
利润=售价－成本；售价=进价+利润；售价=进价+进价×利润率；
（6）、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。
（7）、应用：
行程问题：
路程=时间×速度； 工程问题：
工作总量=工作效率×时间；
储蓄利润问题：
利息=本金×利率×时间；本息和=本金+利息。
三、经验之谈：
解一元一次方程过程中，在去括号、去分母时要格外细心。
去分母时等式两边都要乘以公倍数。
第一节一次函数基本概念
1、方程：
含的等式叫做方程.
2、方程的解：
使方程的等号左右两边相等的，就是方程的解。
3、解方程：
求的过程叫做解方程。
4、一元一次方程
只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
5、▲等式的基本性质
·等式的性质1：
等式的两边同时加（或减）（），结果仍相等。
即：
如果a=b，那么a±c=b。
·等式的性质2：
等式的两边同时乘，或除以数，结果仍相等。
即：
如果a=b，那么ac=bc；或如果a=b（），那么a/c=b/c
6、△分数的基本的性质
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：
=
=
（其中m≠0）
求解：
－
=1.6
1、若（a－1）x|a|＋3＝－6是关于x的一元一次方程，则a＝＿＿；x＝＿＿＿。
2、当x=＿＿＿时，单项式5a2x+1b2与8ax+3b2是同类项。
3、若
，则x+y=___________
1.若
。
2.若
是同类项，则m=，n=。
3.若
的和为0，则m-n+3p=。
4.代数式x+6与3（x+2）的值互为相反数，则x的值为。
5.若
与
互为倒数，则x=。
6.方程
，去分母可变形为＿＿＿＿＿＿。
7.代数式5m＋
与5（m－
）的值互为相反数，则m的值等于＿＿＿＿＿＿。
8.如果x=5是方程ax+5=10－4a的解，那么a=＿＿＿＿＿＿
9.方程
的解是
_______．
10当x=时，代数式
与代数式
的值相等．
11.代数式
与
互为相反数，则
．
第二节一元一次函数的解法
【解一元一次方程的一般步骤
步骤
名称
方法
依据
注意事项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号
4
合并同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
1、整式的加减；
2、有理数的加法法则
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1
在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6
检根
x=a
方法：
把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
① 若左边＝右边，则x=a是方程的解；
② 若左边≠右边，则x=a不是方程的解。
注：
当题目要求时，此步骤必须表达出来。
说明：
1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；
2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。
1、
2、8（3x－1）－9（5x－11）－2（2x－7）=30
3、
4、
5、
第三节一元一次方程与应用问题及实际问题
初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系
1、行程问题
·基本量及关系：
路程=速度×时间
时间=
[典型问题]
·相遇问题中的相等关系：
一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离
·追及问题中的相等关系：
追及者的行程－被追者的行程=相距的路程
·顺（逆）风（水）行驶问题
顺速=V静＋风（水）速
逆速=V静－风（水）速
2、销售问题
·基本量：
成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率）
·基本关系：
利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、
、
利润=成本×利润率亏损额=成本×亏损率
3、工程问题
·基本量及关系：
工作总量=工作效率×工作时间
、
4、分配型问题
此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。
1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，求两城之间的距离。
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。
问这种鞋的标价是多少元？
优惠价是多少？
3、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？
4、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？
5、今年哥俩的岁数加起来是55岁。
曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？
典型题列
1、
取何值时，代数式
与
的值相等.
2、已知方程
的解与方程
的解相同，求m的值.
3、解下列方程
|x－2|+|2x+1|＝85|x|－16＝3|x|－4
4、已知：
（a－3）（2a＋5）x＋（a－3）y＋6＝0是一元一次方程，求a的值。
5、已知
是关于x的方程
的解，求
的值.
6、如果
，则
的值.
7、已知有理数x、y、z满足关系式（x-4）²+|x+y－z|=0,判断（5x+3y－3z）2001的个位数是多少？
8、一个6位数2abcde的3倍等于abcde9,则这个6位数是多少？
9、已知p、q都是质数，并且以x为未知数的方程px+5q=97的解为1，求代数式40p+101q+4的值。
10、阅读短文：
利用列方程可将循环小数化为分数，如求0.5＝？
方法是：
设x＝0.5，即x＝0.555……，将方程两边同乘以10，得10x＝5.55……，即10x＝5＋0.555……，而x＝0.55……，∴x＝
.
试根据上述方法：
把0.9与0.25化为分数.
11、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和为8，并且这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得到的商为11，余数为5，，这个数是多少？
12、甲对已说“当我是你现在的年龄时，你才4岁”已对甲说“当我是你现在的年龄时，你已经61岁”问甲乙现在的年龄是多少岁？
13、一个三位数，它的百位上的数字比十位上的数字的2倍大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍小1，若这个三位数的百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的数大99，求原来的三位数。
14、某幼儿园小班共有儿童若干人，有一筐桔子要分给这些儿童。
如果每人分6个，则还差6个桔子；如果每人分5个，则多出了5个桔子，问有多少个儿童，多少个桔子？
15、为了促销，甲、乙两种商品降价出售，甲种商品七折优惠，乙种商品九折优惠，共卖出386元；这两种商品促销前售价之和为500元。
问这两种商品原售价分别为多少元？
16、一个车间有工人70人，每人平均每天加工轴杆15根或轴承12个，问应怎样分配工人，才使所生产的轴杆和轴承刚好配套？
（一个轴杆，两个轴承配成一套）
7、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，其余男生全部挑土（一根扁担，两个筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班男女生各多少人？
、
18、甲乙二人，若乙给甲10元，则甲所有的钱为乙的3倍，若甲给乙10元，则甲所有的钱为乙的2倍多10元，求甲乙各拥有多少钱？
19、阿木和阿海做加法，阿木将加数后面多写一个0，所得的和是2342；阿海将同一个加数后面少写一个0，所得的和是65；试求原来的加数。
20、甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多少？
21、某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？
22、某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？
23、需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克？
24、七年级足球循环赛中,规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.现在七
（一）班已赛8场,获19分.那么七
（一）班现在的战况如何？
25、“今有鸡、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．题目大意：
在现有鸡、兔在同一个笼子里，上边数有35个头，下边数有94只脚，求鸡、兔各有多少只．
26、古题：
“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”那么有_多少间房，有多少位客人．
27、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能赔不是进行．受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案：
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：
将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天完成．
你认为哪种方案获利最多？
为什么？
28、防汛指挥部决定冒雨开水泵排水，假设每小时雨水增加量相同，每台水泵排水量也相同．若开一台水泵10小时可排完积水，开两台水泵3小时排完积水，问开三台水泵多少小时可排完积水？
29、小明想在两种灯中选购一种，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价50元，另一种是100瓦（即0.1千瓦）的白炽灯，售价5元，两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时内）节能灯售价高，但较省电，白炽灯售价低，但用电多，电费0.5元/千瓦·时
（1）照明时间500小时选哪一种灯省钱？
（2）照明时间1500小时选哪一种灯省钱？
（3）照明多少时间用两种灯费用相等？
30、戴着红凉帽的若干女生与戴着白凉帽的若干男生同租一游船在公园划船，一女生说：
“我看到船上红、白两种帽子一样多．”一男生说：
“我看到的红帽子是白帽子的2倍”．请问：
该船上男、女生各几人？
31、甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
32、甲、已、丙三人共生产一批零件，甲生产的是已、丙生产总数的1/3，乙生产的是甲、丙生产总数的1/4，丙生产了77个，问三人一共三层零件多少？
33、一只漏水的船，当发现漏水时，已经进了一些水，（水匀速进入船内），如果安排21人淘水，8小时淘完，如果安排24人淘水，则6小时淘完，如果要求2小时淘完，需要安排多少人？
34、牧场有一片青草，每天的生长速度相同。
已知这片草地可供15头牛吃20天，或者38只梅花鹿吃12天。
如果1头牛吃草量等于2只梅花鹿的吃草量，那么8头牛与32只梅花鹿一起吃，可以吃多少天？
35、小狗跑5步的时间，小鹿可以跑6步，小鹿跑6步的距离等于小狗跑7步。
现在小狗在小鹿开跑前从同一起跑点先跑55步，问小鹿需要跑多少步才能追上小狗？
36、某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在上午8点30分与准确时间对准，则在当天下午该手表指向2点50分时，准确时间该多少？
37、两支同样长的新蜡烛，粗蜡烛全部点完要2小时，细蜡烛全部点完要1小时，同时点燃这两支蜡烛，到同时熄灭时，剩下粗蜡烛的长是剩下细蜡烛长的3倍，求蜡烛点燃了多长时间．
38、配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
39、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
出发时他们的速度之比为3:
2，相遇后，甲的速度增加20%，乙的速度增加了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14公里，那么两地的距离为多少公里？
一元一次方程整章综合练习题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.方程
的解是
，则
等于（）
A
B.
C
D
2.代数式
的值等于1时，
的值是（）.
（A）3（B）1（C）－3（D）－1
3.已知代数式
与
的值互为相反数，那么
的值等于（）.
（A）－
（B）－
（C）
（D）
4.方程
的解是
，则
等于（）
A
B.
C
D
5.若
互为相反数（
），则
的根是（）.
（A）1（B）－1（C）1或－1（D）任意数
6.当
时，代数式
的值为7，则
等于（）.
（A）2（B）－2（C）1（D）－1
7.一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（）.
（A）17道（B）18道（C）19道（D）20道
8.解方程
时，去分母正确的是（ ）
A.
B．
C．
D．
9.（2005，深圳）一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是
（A）106元（B）105元（C）118元（D）108元
日一二三四五六
123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031
10.（2005，常德）右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，
发现这三个数的和不可能是（）
（A）69（B）54（C）27（D）40
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.已知
是关于
的一元一次方程，那么
________.
12.方程
的标准形式为_______________.
13.已知
，则
的值是__________.
14.当
______时，
的值等于－
的倒数.
15.方程
与方程
的解一样，则
________.
16.若
是方程
的一个解，则
。
17.某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元，.设这个班的学生有
人，根据题意，列方程为_____________.
18.一根长18米的铁丝围成一个长是宽的2倍的长方形的面积为________________
19.成都至重庆铁路全长504千米.一辆快车以90千米/时的速度从重庆出发，1小时后，另有一辆慢车以48千米/时的速度从成都出发，则慢车出发＿＿小时后两车相遇。
20.（2005，绵阳）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：
若每月用水
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