初中数学专题讲义图形的设计与操作.docx

初中数学专题讲义图形的设计与操作.docx

《初中数学专题讲义图形的设计与操作.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学专题讲义图形的设计与操作.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

初中数学专题讲义图形的设计与操作

初中数学专题讲义-图形的设计与操作

一、课标下的复习指南

图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：

1．已知设计好的图案，求设计方案（如：

在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等）．

2．利用基本图案设计符合要求的图案（如：

设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等）．

3．图形分割与重组（如：

通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求）．

4．动手操作（通过折叠、裁剪等手段制作特定图案）．

解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换（平移、轴对称、旋转、位似）外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．

二、例题分析

例1已知：

如图21－1（a）（b）分别是画在6×6正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为SA、SB（网格中最小的正方形面积为1个平方单位），请观察图形并解答下列各题：

图21－1

（1）SA∶SB的值是______；

（2）请在图21－1（c）的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形．

分析在图21－1（a）中，阴影部分包括了14个面积为1的小正方形和8个面积为0.5的小等腮直角三角形，因此其面积为SA＝18．类似的，可得SB＝22．

解答

（1）9∶11；

（2）方法不唯一．如图21－2所示：

图21－2

例2如图21－3，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为______．

分析本题要求画出△ABC的位似图形，根据位似图形的定义，易求其对应顶点的坐标，然后可求出P点的对应点的坐标．但要注意不同变换方法得到的坐标是不同的．

解根据位似图形的画法得图21－3．易求得P点坐标为（4，3）．变换后△ABC对应顶点的坐标分别为D（1，1），E（2，1），F（3，2）或D（－1，－1），E（－2，－1），F（－3，－2），所以P点的对应点P′的坐标为

或

．

图21－3

点评本题考查的是平面直角坐标系下的位似变换，解答时要注意分两种情况：

一种是两个图形在原点的同侧；另一种是两个图形在原点的异侧．

例3（江苏无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°．

（1）请你借助图21－4画出一个满足题设条件的三角形；

图21－4

（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与

（1）中所画的三角形不全等的三角形?

若能，请你用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；

（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个．

友情提醒：

请在你所画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹．

解

（1）先作一个角等于已知角40°，然后在该角的两边上分别截取长度1cm，2cm的线段即可，如图21－5．

图21－5

（2）能．易知

（1）的三角形中，已知的两边（长分别为1cm，2cm）的夹角为40°，而题意中并没有告诉40°角一定是这两边的夹角，还可能是其中一边的对角．所以还可以作出如图21－6所示的三角形．

图21－6

（3）如图21－7，有4个

图21－7

说明根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA可作出符合条件的三角形，尺规作图是需要掌握的．

例4（四川巴中）如图21－8，一个平行四边形纸片ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，将纸片沿AE，EF折叠，使B，C的对应点B′，C′及点E在同一直线上，则∠AEF＝______．

图21－8

分析纸片沿AE折叠，折叠前后的两个图形关于直线AE对称，所以△AEB与△AEB′全等，对应角相等．同理沿EF折叠的两个三角形的对应角也相等．

解由轴对称的性质，知∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，而∠AEB＋AEB′＋∠CEF＋∠C′EF＝180°．

所以∠AEF＝∠AEB′＋C′EF＝90°．

说明图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用．解题时应抓住折叠前后的图形全等找出对应关系．

例5如图21－9，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：

______（用“能”或“不能”填空）．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．

图21－9

解如图21－10，取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，连接EG，FH，交点为O．

图21－10

以EG，FH为裁剪线，EG，FH将四边形ABCD分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ分别绕E，H旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO1O2O3即为所求．沿CA方向平移，将点C平移到点A位置．

说明本题考查了三角形中位线、四边形内角和、平角定义等知识，以及运用平行四边形的判定和性质求解决实际问题的能力．

例6如图21－11，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）．

图21－11

分析裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕（虚线）所在直线即为对称轴，则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见图21－12：

图21－12

解答选D．

说明将图形折叠后一部分与另一部分重合，则这两部分关于折痕的直线成轴对称．在图案设计中，经常使用这个性质使图形中一部分出现的某个图案对称地也出现在其他部分．

例7在图21－13①～⑤中，足够大的纸片上正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

图21－13

操作示例

当2b＜a时，如图①，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现

小明在操作后发现：

该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，可知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图①），过点F作FM⊥AE于点M（图略），可得△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究

（1）正方形FGCH的面积是______；（用含a，b的式子表示）

（2）类比图①的剪拼方法，请你就图②～图④的3种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展

小明通过探究后发现，当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．

当b＞a时，如图⑤的图形能否剪拼成一个正方形?

若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

解实践探究

（1）a2＋b2；

（2）剪拼方法如图21－14①～③．

图21－14

联想拓展不能，图21－14④（图中BG＝DH＝b），△FAG与△CGB有重合部分，无法剪拼．

说明此类等面积切割拼补的问题也可以从数量关系入手考虑原来两个图形的面积和为a2＋b2，剪拼成一个正方形面积肯定为a2＋b2，则其边长为

，我们可以考虑在图中作出长为

的线段．另外，还要考虑操作是否可实行．

三、课标下新题展示

例8直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下（图21－15）：

图21－15

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对图21－16中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

图21－16

（2）对图21－17中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

图21－17

分析对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．

解

（1）如图21－18所示：

图21－18

（2）如图21－19所示：

图21－19

说明要注意分析：

从示例的特殊情形中得到的性质和解决关键问题的方法能否推广到一般情形中．

例9如图21－20（a），把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．

图21－20

（1）如图21－20（b），把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；

第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；

则AD∶AB的值是______，AD，AB的长分别是______，______；

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?

若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；

（3）如图21－20（c），由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P,Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

解

（1）

（2）相等，比值为

（3）设DG＝x，

在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵∠HGF＝90°，

∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，

∴△HDG∽△GCF，

∴CF＝2DG＝2x

同理∠BEF＝∠CFG．

∵EF＝FG，

∴△FBE≌△GCF，

解得

，即

（4）

例10如图21－21，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

图21－21

（1）试证明：

无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

?

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形?

解

（1）证明：

在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ．

图21－22

（2）解：

假设图21－22中△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的

．

过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE＝QF，

由△DEQ∽△DAP得

解得AP＝2．

∴AP＝2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有DQ＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD．

①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD＝QA，此时△ADQ是等腰三角形．

②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形．

③如图21－23，设点P在BC边上运动到CP＝x时，有AD＝AQ．

图21－23

∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ．

又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，

∴∠CQP＝∠CPQ．

∴CQ＝CP＝x．

∵

，AQ＝QD＝4，

∴x＝CQ＝AC－AQ＝

即当CP＝

时，△ADQ是等腰三角形．

四、课标考试达标题

（一）选择题

1．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是（）．

2．图21－24中图案都是在一个图案的基础上，在Windows的“附件”中，用“画图”软件通过旋转形成的．它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转同一个角度得到，则旋转的角度至少是（）．

图21－24

A．45°B．60°C．90°D．120°

3．下列四个选项中，不能由图21－25经过一次平移或旋转得到的是（）．

图21－25

4．如图21－26，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）．

图21－26

5．如图21－27，在图（a）中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90°，旋转三次得到右边的图形．在图（b）中，四边形OABC绕O点每次旋转120°，旋转两次得到右边的图形．

图21－27

下列图形中，不能通过上述方式得到的是（）．

（二）填空题

6．如图21－28，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为

（1）、

（2）、（3）、（4）的4组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：

A与______对应，B与______对应，C与______对应，D与______对应．

图21－28

7．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图21－29（a）的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm，展开后按图21－29（b）的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是______cm．

图21－29

8．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图21－30

（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图

（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝______°．

图21－30

9．三种不同类型的矩形地砖长宽如图21－31所示．若现有A类4块，B类4块，C类2块，要拼成一个正方形，则应多余1块______型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是______．

图21－31

（三）解答题

10．如图21－32是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：

图21－32

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（－2，4），B点坐标为（－4，2）；

（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是______，△ABC的周长是______（结果保留根号）；

（3）画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形，并说明理由．

11．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中（如图21－33），画出一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．

图21－33

12．如图21－34，是一个水平旋转的矩形弹球桌面，有黑白两个球分别位于A，B两点的位置上．试问：

怎样撞击黑球A，才能使黑球先碰球台边EF，反弹后再击中白球B?

图21－34

13．现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可以找开铺平后再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的4个部分（称为一次操作），如图21－35（a）所示（虚线表示折痕），除图21－35（b）外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图21－35（c）～（e）中．（规定：

一个操作得到的4个图形，和另一个操作到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作的图形，那么就认为是相同的操作．如图（b）和图（a）表示相同的操作）

图21－35

14．操作与探究

（1）图21－36（a）是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；

图21－36

（2）再将图（b）中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图（b））．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图（c）中的△ABC折叠成一个组合矩形吗?

如果能折成，请在图（c）中画出折痕；

（3）请你在图（d）的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：

①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；

（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上）．请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足什么条件时，一定能折成组合矩形?

参考答案

图形的设计与操作

1．B．2．C．3．C．4．B．5．D．

6．（3），

（1），

（2），（4）．7．1．8．36°．

9．C．（2m＋n）2＝4m2＋4mn＋n2．

10．

（1）如答图21－1建立平面直角坐标系．

答图21－1

（2）如图画出点C，C（－1，1）．△ABC的周长是

（3）如图画出△A′B′C′，四边形ABA′B′是矩形．

理由：

∵CA＝CA′，CB＝CB′，

∴四边形ABA′B′是平行四边形．

又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．

∴AA′＝BB′．

∴四边形ABA′B′是矩形．

11．答案不唯一．如答图21－2：

答图21－2

12．作B点关于EF的对称点B′，连接AB′，与EF交于点P，连接AP．沿着AP方向撞击A球，A球将从P点沿PB方向反弹，从而击中B球．

13．答案不唯一．如答图21－3：

答图21－3

14．

（1）由对称性可证

∠ECB＝∠B．

（2）如答图21－4，有3种折法．

答图21－4

（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．

（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．