学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系224.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系224

2.2.4　平面与平面平行的性质

学习目标

　1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

知识点　平面与平面平行的性质

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：

平面ABCD及平面A1B1C1D1.

思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

答案　是的．

思考2　若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

答案　不一定，也可能异面．

思考3　过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

答案　平行．

梳理　

文字语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

类型一　面面平行的性质定理的应用

例1　如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

证明　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，

所以△SAC∽△SBD，所以

＝

，

即

＝

，所以SC＝272.

引申探究

若将本例改为：

点S在平面α，β之间（如图），其他条件不变，求CS的长．

解　设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.

因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，

所以△ACS∽△BDS，所以

＝

.

设CS＝x，则

＝

，所以x＝16，

即CS＝16.

反思与感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

跟踪训练1　如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．

答案　

解析　AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且

＝

＝

，同理可得

＝

＝

，

＝

＝

，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为

，所以△A′B′C′的面积为

.

例2　如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明　∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，

∴A′D′∥B′C′.

∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C.

同理AA′∥平面BB′C′C.

∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，

且A′D′∩AA′＝A′，

∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.

又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC.

同理可证AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．

反思与感悟　本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行．

跟踪训练2　如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：

四边形BED1F是平行四边形．

证明　如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，

由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．

又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，

所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，

BD1过OO1的中点M，

所以EF与BD1相交于点M，

所以E，B，F，D1四点共面．

又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，

平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，

所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.

所以四边形BED1F是平行四边形．

类型二　平行关系的综合应用

例3　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：

MP∥平面β.

证明　如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，

连接DE，BE.

∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.

又α∥β，∴AC∥DE（面面平行的性质定理），

取AE的中点N，连接NP，MN，

∴M，P分别为AB，CD的中点，

∴NP∥DE，MN∥BE.

又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，

∴NP∥β，MN∥β，

∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.

∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，

∴MP∥β.

反思与感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.

证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，∴

＝

.

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN.

∴

＝

，∴NP∥CD∥AB.

∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B.

∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B，

又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B.

∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.

1．已知平面α与平面β平行，a⊂α，则下列命题正确的是（　　）

A．a与β内所有直线平行

B．a与β内的无数条直线平行

C．a与β内的任何一条直线都不平行

D．a与β内的一条直线平行

答案　B

解析　若α∥β，a⊂α，则a与β内的部分直线平行，所以A、C、D均不正确，B正确．

2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

答案　D

解析　由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与α平行，故D项正确．

3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是（　　）

A．互相平行B．交于一点

C．相互异面D．不能确定

答案　A

解析　由平面与平面平行的性质定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故选A.

4．过正方体ABDC—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

答案　平行

解析　因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1（面面平行的性质定理）．

5．已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，A，B，C，D四点共面，M，N分别为AB，CD的中点，求证：

MN∥平面α.

证明　平面ABDC与α，β的交线为AC，BD.

因为α∥β，所以AC∥BD.

又M，N分别为AB，CD的中点，

所以MN∥BD，所以MN∥AC.

又AC⊂平面α，所以MN∥平面α.

1．常用的面面平行的其他几个性质

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

课时作业

一、选择题

1．如果平面α平行于平面β，那么（　　）

A．平面α内任意直线都平行于平面β

B．平面α内有两条相交直线平行于平面β

C．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线

D．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直

答案　A

2．已知α∥β，a⊂α，那么a与β的关系是（　　）

A．平行B．相交C．在面内D．垂直

答案　A

解析　平面与平面平行，两个平面没有公共点，所以直线和平面没有公共点，直线与平面平行，故选A.

3．下列命题：

①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；

②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；

③夹在两个平行平面间的平行线段相等．

其中正确的是命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．0

答案　C

解析　根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.

4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（　　）

A．2∶25B．4∶25

C．2∶5D．4∶5

答案　B

解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，

同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，

S△A′B′C′∶S△ABC＝（

）2＝（

）2＝

.

5．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是（　　）

①

⇒a∥b;②

⇒a∥b；

③

⇒α∥β；④

⇒α∥β；

⑤

⇒α∥a;⑥

⇒a∥α.

A．④⑥B．②③⑥

C．②③⑤⑥D．②③

答案　C

解析　由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．

6．下列命题中，错误的是（　　）

A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行

D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

答案　C

解析　由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确．对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．

7．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C（　　）

A．不共面

B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动，都共面

答案　D

解析　如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′，则CE∥AA′，

∴CE∥α.

又C′E∥BB′，∴C′E∥β.

又∵α∥β，∴C′E∥α.

∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α，

∴CC′∥平面α.

∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．

二、填空题

8．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

答案　平行四边形

解析　由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．

9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则

＝________.

答案　

解析　∵平面MNE∥平面ACB1，

由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，

又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，

∴MN＝

AC.即

＝

.

10.如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则

＝________.

答案　

解析　因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，同理可证AE∥BF.

又因为∠EAC与∠FBD的两边同向，

所以∠EAC＝∠FBD.

又因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，

所以

＝

＝

＝

.

11．已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．

答案　

或24

解析　如图①所示，∵AC∩BD＝P，

∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.

∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，

∴AB∥CD.

∴

＝

，即

＝

，∴BD＝

.

如图②所示，同理可证AB∥CD，∴

＝

，

即

＝

，∴BD＝24.

综上所述，BD的长为

或24.

12．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中所有真命题的序号为________．

答案　③

解析　①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.

三、解答题

13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.

求证：

N为AC的中点．

证明　∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，

平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，

∴四边形ANC1M为平行四边形，

∴AN＝C1M＝

A1C1＝

AC，

∴N为AC的中点．

14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求证：

MN∥平面ADD1A1.

证明　如图，取CD的中点K，连接MK，NK.

因为M，N，K分别是AE，CD1，CD的中点，

所以MK∥AD，NK∥DD1.

又MK⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，

所以MK∥平面ADD1A1.

同理NK∥平面ADD1A1.

又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1，

又MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.

四、探究与拓展

15.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

证明如下：

如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，因为AB的中点为E，连接EF，

则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F，

所以平面DEF∥平面AB1C1.

又DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.