学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系222.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系222

2.2.2　平面与平面平行的判定

学习目标

　1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．

知识点　平面与平面平行的判定定理

思考1　三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？

答案　不一定．

思考2　三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？

答案　平行．

思考3　如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？

这两个平面平行吗？

答案　无数条．不平行．

梳理　面面平行的判定定理

表示

定理

图形

文字

符号

平面与平面平

行的判定定理

一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

⇒β∥α

类型一　面面平行的判定定理

例1　下列四个命题：

（1）若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；

（2）若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；

（3）平行于同一直线的两个平面平行；

（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行．

其中正确的个数是______________．

答案　0

反思与感悟　在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．

跟踪训练1　设直线l,m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有（　　）

①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P,l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.

A．1个B．2个

C．3个D．0个

答案　A

解析　①错误，因为l,m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．

类型二　平面与平面平行的证明

例2　如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：

平面MNP∥平面A1BD.

证明　如图，连接B1C.

由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.

又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，

∴MN∥平面A1BD.

连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.

又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，

∴平面MNP∥平面A1BD.

引申探究

若本例条件不变，求证：

平面CB1D1∥平面A1BD.

证明　因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，

所以DD1綊BB1，

所以BDD1B1为平行四边形，

所以BD∥B1D1.

又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，

所以BD∥平面CB1D1，

同理A1D∥平面CB1D1.

又BD∩A1D＝D，

所以平面CB1D1∥平面A1BD.

反思与感悟　判定平面与平面平行的四种常用方法

（1）定义法：

证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．

（2）利用判定定理：

一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

（3）转化为线线平行：

平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

（4）利用平行平面的传递性：

若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，

所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

（2）因为E，F分别是AB，AC的中点，

所以EF∥BC.

因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

类型三　线线平行与面面平行的综合应用

例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

证明　

（1）如图，连接SB.

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，

∴EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD.

∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

反思感悟　解决线线平行与面面平行的综合问题的策略

（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．

（2）

所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．

跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，C1D1，A1A的中点．

求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面HB1D1.

证明　

（1）如图，取BB1的中点M，连接C1M，HM，

易知HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1，

又由已知可得MC1∥BF，∴BF∥HD1.

（2）取BD的中点O，连接OE，D1O，则OE綊

DC.

又D1G綊

DC，∴OE綊D1G，

∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.

又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，

∴EG∥平面BB1D1D.

（3）由

（1）知HD1∥BF，又BD∥B1D1，

B1D1，HD1⊂平面HB1D1，BF，BD⊂平面BDF，

且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，

∴平面BDF∥平面HB1D1.

例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.

又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，

∴QB∥平面APO.

∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.

同理可得D1B∥平面PAO，

又D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

反思感悟　对于探索性问题，一是可直接运用题中的条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性．

跟踪训练4　在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？

并证明你的结论．

解　当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC.

∵M是PE的中点，∴FM∥CE.

∵FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，

∴FM∥平面AEC.

由EM＝

PE＝ED，

得E为MD的中点，连接BM，BD，如图所示，

设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．

连接OE，则BM∥OE.

∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

∴BM∥平面AEC.

又∵FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，

∴平面BFM∥平面AEC.

1．下列命题中正确的是（　　）

A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

答案　B

解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确．

2．在正方体中，相互平行的面不会是（　　）

A．前后相对侧面

B．上下相对底面

C．左右相对侧面

D．相邻的侧面

答案　D

解析　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，所以选D.

3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（　　）

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

答案　A

解析　如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，

E1G1⊂平面E1FG1，

∴EG∥平面E1FG1.

又G1F∥H1E，

同理可证H1E∥平面E1FG1，

又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1.

4．如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．

答案　平行

解析　在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.

同理可证EF∥平面ABC.

又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.

5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？

证明你的结论．

解　能作出满足条件的平面α，其作法如下：

如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，

则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.

证明如下：

连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面PAC.

又因为M为AA1的中点，

所以D1M∥PA，

从而D1M∥平面PAC.

又因为D1M∩D1B＝D1，

D1M⊂α，D1B⊂α，

所以α∥平面PAC.

证明面面平行的方法：

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

课时作业

一、选择题

1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（　　）

A．相交B．平行

C．异面D．不确定

答案　B

解析　因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.

又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.

2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是（　　）

A．α、β都平行于直线a、b

B．α内有三个不共线的点到β的距离相等

C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β

答案　D

解析　A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若三点不在β的同一侧，α与β相交；C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D.

3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：

①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：

γ∥α，γ∥β，则α∥β.故①正确．②、③均错误．

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是（　　）

A．面ABB1A1B．面BCC1B1

C．面BCFED．面DCC1D1

答案　C

解析　取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1（如图），

故面A1E1F1D1∥面BCFE.

5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

答案　D

解析　由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，

∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是（　　）

A．①③B．①④C．②③D．②④

答案　A

解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.

∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，

∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，

∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；

∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，

∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；

∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

FG∥平面BC1D1，故③正确；

∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.

7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.

其中正确的有（　　）

A．①③B．①④

C．①②③D．②③

答案　C

解析　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．

∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.

同理平面PAD∥BC.

二、填空题

8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是_____．

答案　相交或平行

解析　b、c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．

9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．

答案　平行

解析　假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.

10．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．

答案　平行

解析　在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，

∵a∥β，∴a与l无公共点，

∴a∥l，∴l∥α.

又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.

三、解答题

11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：

平面PMN∥平面A1BD.

证明　连接B1D1，B1C.

∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，∴PN∥BD.

又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，

∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.

又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.

12．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：

平面MNQ∥平面PBC.

证明　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.

又∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.

易知MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC.

13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点．

（1）求证：

GF∥平面ABC；

（2）若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？

并证明．

（1）证明　如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，

∴GF为△AEC的中位线，

∴GF∥AC.

又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

（2）解　平面GFP∥平面ABC，

证明如下：

在CD上取中点P，连接FP，GP.

∵F，P分别为BD，CD的中点，

∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.

又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，

又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，

GF⊂平面GFP，

∴平面GFP∥平面ABC.

四、探究与拓展

14．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面四个命题：

①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；

②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；

③若α∥β，l∥α，则l∥β；

④若l∥α，m∥l，则m∥α.

其中所有真命题的序号是________．

答案　②

解析　当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，故①错误；②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故③错误；④中直线m有可能在平面α内，故④错误．

15．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？

若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．

解　当F为AB的中点时，

平面C1CF∥ADD1A1.

理由如下：

∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF綊C1D1，

∴AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，

∴CF∥AD，C1F∥AD1.

又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，

∴平面C1CF∥平面ADD1A1.