学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系233234.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系233234

2.3.3　直线与平面垂直的性质

2.3.4　平面与平面垂直的性质

学习目标

　1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．

知识点一　直线与平面垂直的性质定理

思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？

答案　平行．

梳理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行

符号语言

⇒a∥b

图形语言

知识点二　平面与平面垂直的性质定理

思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．

梳理

文字语言

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

符号语言

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β

图形语言

类型一　直线与平面垂直的性质定理

例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：

EF∥BD1.

证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.

∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

反思与感悟　证明线线平行的常用方法

（1）利用线线平行定义：

证共面且无公共点．

（2）利用三线平行公理：

证两线同时平行于第三条直线．

（3）利用线面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证线面平行．

（4）利用线面垂直的性质定理：

把证线线平行转化为证线面垂直.

（5）利用面面平行的性质定理：

把证线线平行转化为证面面平行．

跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a⊂α，a⊥AB.求证：

a∥l.

证明　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.

同理PB⊥l.

∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.

∴a∥l.

类型二　平面与平面垂直的性质定理及应用

例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：

BC⊥AB.

证明　如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

（1）两个平面垂直；

（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．

求证：

（1）BG⊥平面PAD；

（2）AD⊥PB.

证明　

（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.

∴BG⊥平面PAD.

（2）由

（1）可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，

∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.

类型三　垂直关系的综合应用

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.

（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.

又AD⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.

（3）在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD.①

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.

再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF.②

而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.

由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.

反思与感悟　

（1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．

（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

跟踪训练3　如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝

，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V－ABC的体积．

（1）证明　∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB.

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC.

（2）证明　∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.

又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.

∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.

（3）解　在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝

，

∴AB＝2，OC＝1，

∴S△VAB＝

AB2＝

.

∵OC⊥平面VAB，

∴VC－VAB＝

OC·S△VAB＝

×1×

＝

，

∴VV－ABC＝VC－VAB＝

.

1．下列四个命题

①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；

③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；

④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．

其中错误的命题有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案　B

解析　①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立．故选B.

2．下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β

D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

答案　C

解析　对于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥γ，命题正确；对于B，平面α⊥平面β，不妨设α∩β＝a，作直线b∥a，且b⊂α，则b∥β，命题正确；对于C，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；对于D，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选C.

3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在（　　）

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

答案　A

解析　在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.

又∵AC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，

D在面ABC内的射影H必在AB上．故选A.

4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝____.

答案　6

解析　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

∴AF∥DE.

又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，

故EF＝AD＝6.

5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：

平面SDC⊥平面SBC.

证明　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.

又平面SDC⊥平面ABCD，

平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面SDC.

又因为BC⊂平面SBC，

所以平面SDC⊥平面SBC.

1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：

课时作业

一、选择题

1．下列命题错误的是（　　）

A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于β

B．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线

C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线

D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内

答案　A

解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．

2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：

（　　）

①

⇒n∥α②

⇒m∥n

③

⇒α∥β④

⇒m∥n

其中正确命题的序号是（　　）

A．②③B．③④

C．①②D．①②③④

答案　A

解析　①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.

3．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）

答案　A

4．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则（　　）

A．直线a必垂直于平面β

B．直线b必垂直于平面α

C．直线a不一定垂直于平面β

D．过a的平面与过b的平面垂直

答案　C

解析　当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．

5．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；

③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的两个命题是（　　）

A．①②B．③④

C．②④D．①③

答案　D

解析　∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．

6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为

和

.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于（　　）

A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3

答案　A

解析　如图：

由已知得AA′⊥平面β，

∠ABA′＝

，BB′⊥平面α，∠BAB′＝

.

设AB＝a，则BA′＝

a，BB′＝

a，

在Rt△BA′B′中，A′B′＝

a，∴

＝2.

7．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则（　　）

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

答案　B

解析　因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.

又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，

所以PD⊥平面ABC.

二、填空题

8.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

答案　

解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC），

∴PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，∴PB＝

＝

＝

.

9．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．（只填序号）

①a和b垂直于正方体的同一个面；

②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；

③a和b平行于同一条棱；

④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．

答案　①②③

解析　①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．

10．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足________时，A1C⊥B1D1.（写出一个正确条件即可）

答案　AC⊥BD

解析　连接BD.因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，即使A1C⊥BD.又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.

11．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：

①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．（填上所有正确命题的序号）

答案　②④

解析　因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．

三、解答题

12．已知：

α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：

l⊥γ.

证明　如图，在γ内取一点P，作PA垂直于α与γ的交线于点A，PB垂直于β与γ的交线于点B，

则PA⊥α，PB⊥β.

∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.

∵PA与PB相交，且PA⊂γ，PB⊂γ，

∴l⊥γ.

13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，G为PD的中点．求证：

AG⊥平面PCD.

证明　∵PA⊥平面ABCD，

CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

又AD⊥CD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD.

又AG⊂平面PAD，∴AG⊥CD.

∵PA＝AB＝AD，G为PD的中点，∴AG⊥PD.

又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD.

四、探究与拓展

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

答案　D

解析　如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.

15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

（1）求证：

AD⊥PB；

（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？

并证明你的结论．

（1）证明　如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，

所以BG⊥AD.

又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.

因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.

（2）解　当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.

证明如下：

在△PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，

所以EF∥PB.

在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，

DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，

所以平面DEF∥平面PGB，

由

（1）得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD.