6.（2008?
厦门）已知：
如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB）,将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和CE.
（1）求证：
四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC?
AP?
若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
7.（2008?
嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解
决：
（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E,DF丄AE交AB于F,求证：
AE=DF；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，点G,H分别在AB,CD上,
且EF丄GH，求詈的值;
（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a,BC=b，点E,F分别在AD,BC上，且EF丄GH,
求吕的值.
BE
8.（2008?
宁夏）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q.
（1）试证明：
无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQABQ;
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的一；
6
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中，当点P
运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形.
9.（2008?
昌平区二模）如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B是点B关于直线AC的对称点，C是点C关于直线AB的对称点，连接BC'、CB'、BB'、CC'.
（1）猜想线段BC与CB的数量关系，并证明你的结论;
（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCBC'为菱形？
这样的位置有几个？
请用语言
对这样的位置进行描述（不用证明）；
（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC的距离为'的点除外上运动
|6
时，判断以点B、C、B、C为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图.（不用证明）
（T
10
.（2007?
常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F,过F作FH//CD交BC于H，可以证明结论成立.（考生不必证明）
（1）探究：
如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（2）计算：
若菱形ABCD中AB=6,/ADC=60°G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F,过F作FH//CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长.
ABEG
（3）发现：
通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？
11.（2007?
宜昌）如图1，在△ABC中，AB=BC=5,AC=6.△ECD是厶ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2,P是线段BC上一动点（图2）,（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q,QR丄BD，垂足为点R.
1四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
2当线段BP的长为何值时，△PQR与厶BOC相似.
12.（2007?
潍坊）已知等腰
△ABC中，AB=AC,AD平分/BAC交BC于D点，在线段
AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF//AB,分别交AC,BC于E,F点，作PM//AC,交AB于M点，连接ME.
（1）求证：
四边形AEPM为菱形;
13.（2007?
永州）在梯形ABCD中，AB//CD，/ABC=90°AB=5,BC=10,tan/ADC=2
（1）求DC的长；
（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，/FBC=/CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由.
BE丄EC，BE:
EC=4:
3，求DE的长.
14.（2007?
常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E,G,
H分别在正方形ABCD边AB,CD,DA上，AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求△FCG的面积;
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积;
（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由.
15.（2007?
海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G.
（1）求证：
△ADE◎△CDE;
（2）过点C作CH丄CE,交FG于点H，求证：
FH=GH;
（3）设AD=1,DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？
若存在，请求出
x的值；若不存在，请说明理由.
16.（2007?
哈尔滨）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,AF平分
/BAC，交BD于点F.
（1）求证：
EF+^AC=AB;
（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出
发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动
点A1也随之停止运动.如图2,A1F1平分/BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E1丄A1C1,
垂足为E1，请猜想
E1F1，丄A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想;
（3）在
（2）的条件下，当
17.（2006?
河南）如图△ABC中，/ACB=90度，AC=2,BC=3.D是BC边上一点，直
线DE丄BC于D，交AB于点E,CF//AB交直线DE于F.设CD=x.
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？
请说明理由；
（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2?
18.（2006?
温州）如图，在？
ABCD中，对角线AC丄BC,AC=BC=2，动点P从点A出发
沿AC向终点C移动，过点P分别作PM//AB交BC于M,PN//AD交DC于N.连接
AM.设AP=x
（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？
请说明理由;
PMCN的面积与△ABM的面积相等?
19.（2006?
沈阳）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、
DE相交于点G,则可得结论：
①AF=DE,②AF丄DE（不须证明）.
（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答成立”或不成立”
（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3）如图④，在
（2）的基础上，连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、
AD的中点，请先判断四边形MNPQ是矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并
圏②图③尸
20.（2006?
成都）已知：
如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点P.
（1）设DE=m（0vmv12），试用含m的代数式表示旦的值；
HG]
（2）在
（1）的条件下，当777=4;时，求BP的长.
21.（2006?
汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F.
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE:
ED=2:
1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）当点E运动到CE:
ED=3:
1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运
动到CE:
ED=n:
1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，
不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题
（备用图）
（图1）
（ffi2）
22.（2005?
资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：
三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的友好矩形”，如图①所示，矩
形ABEF即为△ABC的友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其友好矩形”只有一个.
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形”；
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且/C=90°在图②中画出△ABC的所有友好
矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若厶ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有友好矩形”,
指出其中周长最小的矩形并加以证明.
23.（2005?
重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN//AD,
EF//CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F,设a=PM?
PE,b=PN?
PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且/A为锐角时，见图2,
（1）中的结论是否成立?
并说明理由;
（3）在
（2）的条件下，设
使得
S年行四血开红如4
=—
?
若
存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由
24.（2005?
大连）如图，操作：
把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC
的延长线上（CG>BC）,取线段AE的中点M.
探究：
线段MD、MF的关系，并加以证明.
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思
路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明
（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.
注意：
选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分.
①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD.
附加题：
将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变.探究：
线段MD、MF的关系，并加以证明.
25.（2005?
湖州）如图，四边形
ABCD和BEFG均为正方形，则
DF
（结
果不取近似值）
26.（2005?
郴州）附加题：
E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）.
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时,
△ADE、△BCE和厶CDE的面积之间有着怎样
的关系？
证明你的结论.
（2）若四边形ABCD是矩形时，
（1）中的结论是否仍然成立？
为什么？
ABCD是平行四边
（3）当四边形ABCD是梯形时，
（1）中的结论还成立吗？
请说明理由.
27.（2005?
深圳校级自主招生）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使
它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于
Q.
探究：
设A、P两点间的距离为x.
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？
试证明你的猜想；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？
如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.
28.（2004?
贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6,BD=8且AC丄BD.顺次连接四边形
ABCD各边中点，得到四边形AiBiCiDi;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.
（1）证明：
四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积;
（4）求四边形A5B5C5D5的周长.
29.（2004?
无为县）
（1）如图
（1）,在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,
易知AC丄BD,二二;
AC2
np1
（2）如图
（2）,若点E是正方形ABCD的边CD的中点，即晋二卡，过D作DG丄AE，分别交AC、BC于点F、G.求证：
丄-一；
AC3np1I
（3）如图（3）,若点P是正方形ABCD的边CD上的点，且岂=1（n为正整数），过点D
DCn
作DN丄AP，分别交AC、BC于点M、N，请你先猜想CM与AC的比值是多少，然后再
A
1
X
S
⑴
C
证明你猜想的结论.
30.（2004?
佛山）如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形.
（1）如图①，在△ABC中，BC=a,BC边上的高AD=ha,EFGH是厶ABC的内接正方形.设
正方形EFGH的边长是x，求证：
（2）在Rt△ABC中，AB=4,AC=3，/BAC=90度.请在图②，图③中分别画出可能
的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
（3）在锐角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，且avbvc.请问这个三角形的内接正方
九年级上册四边形压轴题2
参考答案与试题解析
.解答题（共30小题）
1.（2009?
临沂）数学课上，张老师出示了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：
取
是边BC的中点./AEF=90°且EF交正方形外角/DCG的平分线CF于点F,求证：
AE=EF.
AB的中点M，连接ME，贝UAM=EC，易
证厶AMEECF,所以AE=EF.
在此基础上，同学们作了进一步的研究:
（1）小颖提出：
如图2，如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如
果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：
如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，
请说明理由.
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.
专题：
几何综合题；压轴题.
分析：
（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定
△AME◎△ECF,因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF.
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定
△ANE◎△ECF,因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF.
解答：
解：
（1）正确．
证明：
在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
•••BM=BE,
•••/BME=45°
•/AME=135°
•/CF是外角平分线，
•/DCF=45°
•/ECF=135°
•/AME=/ECF,
•//AEB+/BAE=90°,/AEB+/CEF=90°,
•/BAE=/CEF,
•△AME也△ECF（ASA）,
•AE=EF.
（2）正确.
证明：
在BA的延长线上取一点N.
使AN=CE连接NE.
•BN=BE
•••/N=/NEC=45
•••CF平分/DCG,
•/FCE=45°
•/N=/ECF,
•••四边形ABCD是正方形，
•AD//BE,
•/DAE=/BEA,
即/DAE+90°/BEA+90
•/NAE=/CEF,
•△ANE◎△ECF（ASA）,
点评：
此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握
情况.
2.（2009?
宁德）如图
（1）,已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
（1）连接GD，求证：
△ADG◎△ABE;
（2）连接FC,观察并猜测/FCN的度数，并说明理由;
（3）如图
（2）,将图
（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时，/FCN的大小是否总保持不
变？
若/FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan/FCN的值；若/FCN的大小
发生改变，请举例说明.
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质.
专题：
压轴题；动点型.
分析：
（1）根据三角形判定方法进行证明即可.
（2）作FH丄MN于H.先证△ABE◎△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，/FCH的度数就可以求得了.
（3）本题也是通过构建直角三角形来求度数，作FH丄MN于H，/FCH的正切值就是FH:
CH.
解答：
（1）证明：
T四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
•••AB=AD,AE=AG，/BAD=/EAG=90°
•••/BAE+/EAD=/DAG+/EAD,
•••/BAE=/DAG,
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