全等三角形经典模型总结.docx
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全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
（一）角平分线的性质模型
辅助线：
过点G作GE1射线AC
A、例题
1、如图，在△ABC中，/C=90°AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.
2、如图，已知，/1=Z2，/3=74,求证：
AP平分/BAC.
B、模型巩固
1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB,AD=CD,BD平分/ABC,求证：
7A+7C=180°
（二）角平分线+垂线，等腰三角形必呈现
A、例题
求证：
BEJ（AC_AB）.
2
例2、如图，在△ABC中，/BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM丄AD交
AD的延长线于M.求证：
AM=-（ABAC）.
（三）角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B=0A,从而使△OAWAOBC.
A、例题
1、如图，在△ABC中，/BAC=60°,Z0=40°,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证：
AB+BP=BQ+AQ.
2、如图，在△ABC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
B、模型巩固
1、在厶ABC中，AB>AC,AD是/BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）求证：
AB-AC>PB—PC.
2、如图，△ABC中，AB=AC,/A=100。
，/B的平分线交AC于D,求证：
AD+BD=BC.
3、如图，△ABC中，BC=AC,/C=90°,/A的平分线交BC于D,求证：
AC+CD=AB.
:
■、等腰直角三角形模型
（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程：
（1）将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形
（2）辅助线作法：
过点C作MC丄BC,使CM=BD,连结AM.
（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程：
连结AD.
（1）使BF=AE（或AF=CE,导出△BDF也△ADE.
（2）使/EDF+ZBAC=180°,导出△BDF也△ADE.
A、例题
1、如图，在等腰直角△ABC中，/BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动，且/MAN=45试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M，连接ME、MC.
试判断△EMC的形状，并证明你的结论•
B、模型巩固
1、已知，如图所示，RtAABC中，AB=AC,/BAC=90°,O为BC中点，若M、N分别在线段ACAB上移动，且在移动中保持AN=CM.
（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.
（2）当M、N分别在线段ACAB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？
2、在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求/BAE+ZDCF为多少度.
（三）构造等腰直角三角形
（1）禾9用以上
（一）和
（二）都可以构造等腰直角三角形（略）
（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形•
（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:
A、例题应用
1、如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC,/ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC,求证：
/BCP=15°.
A、例题
已知：
如图所示，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,D为AC中点，AF丄BD于点E,交
BC于F,连接DF.求证：
/ADB=/CDF.
变式1、已知：
如图所示，在△ABC中，AB=AC,AM=CN,AF丄BM于E,交BC于F,连接NF.
求证：
（1）/AMB=/CNF;
（2）BM=AF+FN.
四、手拉手模型
1>△ABE和厶ACF均为等边三角形
结论：
（〔）△ABF^AAEC.
（2）ZBOE=ZBAE=60°
（3）OA平分/EOF•（四点共圆证）
拓展：
△ABC和厶CDE均为等边三角形
结论：
（1）AD=BE;
（2）ZACB=ZAOB;
（3）APCQ为等边三角形；
（4）PQ//AE;
（5）AP=BQ;
（6）CO平分/AOE;（四点共圆证）
（7）OA=OB+OC;
（8）OE=OC+OD.
（（7）,（8）需构造等边三角形证明）
例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AMBMCM以AB为一边向外作等边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN
（1）求证：
△AMB^AENB
（2）若AM+BM+C的值最小，则称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点，
试求此时/AMB/BMC/CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：
如图②，分别以厶ABC的ABAC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF连接CEBF,设交点为M则点M即为△ABC的费尔马点•试说明这种作法的依据.
AS丄BC交FD于T,
2、\ABD和厶ACE均为等腰直角三角形结论：
（1）BE=CD;
（2）BEXCD.
3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形
结论：
（1）BD=CF;
（2）BDXCF.
变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,求证：
（1）T为FD中点；
（2）SIAbc=S；adf
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S,求证：
AS丄BC.
MP、N三点共线
五、半角模型
1
条件：
且：
+二=180,-两边相等.
2
思路：
1、旋转
辅助线：
①延长CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN连AF
②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得厶ABF,注意：
旋转需证F、BM三点共线
结论：
（1）MN=BM+DN;
（2）C、cmn=2AB;
（3）AM、AN分别平分/BMN、/MND.
2、翻折（对称）
辅助线：
①作APIMN交MN于点P
②将△ADN△ABM分别沿ANAM翻折，但一定要证明
A、例题
例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BCCD上移动，且满足MN=BM+DN,求证：
（1）ZMAN=45°;
（2）C、cmn=2AB;
（3）AM、AN分别平分/BMN和/DNM.
变式：
在正方形ABCD中，已知/MAN=45°，若M、N分别在边CBDC的延长线上移动,
AH丄MN，垂足为H,
（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；
（2）求证：
AB=AH
例2、在四边形ABCD中，/B+ZD=180°,AB=AD,若E、F分别为边BCCD上的点,
1
且满足EF=BE+DF,求证：
.EAFBAD.
2
变式：
在四边形ABCD中，ZB=90°,ZD=90°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上
1的点，且•EAFBAD，求证：
EF=BE+DF.
2
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