齐次弦振动方程的MATLAB解法复习知识.docx

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齐次弦振动方程的MATLAB解法复习知识

齐次弦振动方程的MATLAB解法

【摘要】

弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题。

本文通过利用MATLAB特有的方程求解与画图功能，有效地构造和求解了齐次弦振动方程。

并通过图像，可以直观感受方程的解，从而加深对这一问题物理意义的理解。

【关键词】

振动方程MATLAB求解数学物理方法

【正文】

在细弦上任意取微元分析其受力情况，通过Newton定律建立细弦振动的运动方程，可以求得弦振动的泛定方程为

。

要得出振动方程的解，除了泛定方程外，我们还需要知道具体问题的初始条件与边界条件。

在弦振动问题里，初始条件可以从初始位移和初始速度考虑，即：

边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态，在弦振动方程里可以归结为三类边界问题：

（1）第一类边界问题：

称为固定端。

（2）第二类边界问题：

特别的，若

，

称

为自由端。

（3）第三类边界问题：

第一类和第二类边界问题的线性组合。

一、两端固定的弦振动问题

两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下：

1、初始位移不为0，初始速度为0

不妨设：

，

（1）特征函数求解解

由d’Alembert公式：

从而我们可以得到方程的级数解：

而我们知道，弦振动的泛定方程属于本征问题：

它在两个边界上都有第一类其次边界条件，它的本征值与本征函数为：

将系数带入方程，级数中每一项都是一个驻波，定义子程序wfun.m计算不同n的求和各项，再用主程序jxj将它们加起来，得到动画图形。

（MATLAB代码见附录1

（1））

（2）差分方程求解

利用差分方程同样可以求出问题的解。

令

，将微分方程改写成差分方程，即有

其中，

于是，初始条件可以表示为：

作图时，先画出

的图形，然后再用

或

代替其中的

，改变

的值，就画出了不同时刻

，

的图形。

（MATLAB代码见附录1

（2））

解得的动态图形如下：

2、初始位移为0，初始速度不为0

设初始速度为：

（1）特征函数求解

通过求本征函数与本征值的方法我们可以得到方程的解析解：

其中系数，

，类似的，用函数计算级数中的各项，再在主函数中调用便可得解。