初中数学暑期课程数学讲义北师大版初一七年级数学讲义从实际问题抽象出一元一次方程.docx

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初中数学暑期课程数学讲义北师大版初一七年级数学讲义从实际问题抽象出一元一次方程

第11讲从实际问题中抽象出一元一次方程

知识定位

讲解用时：

5分钟

对于方程模型七年级学生并不陌生，在小学时已学过简易的方程.与初中要求相比规范性、严谨性还不够，理解还比较浅显。

加之算术解法的熟悉，大部分学生还没有真正体会到方程在解决实际问题的优越性和重要性。

部分学生在本节学习中可能存在以下问题：

（1）不能根据实际问题中的数量关系,找出等量关系。

（2）找出等量关系后，习惯于用小学算术解法依然不会列方程。

知识梳理

讲解用时：

2分钟

体会等量关系的建立

利用方程解决实际问题的基本思路如下：

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，

课堂精讲精练

【例题1】

一个长方形的长比宽多2cm，若把它的长、宽分别增加2cm后，面积则增加24cm2，求长和宽，若设宽为xcm，则列出的正确方程为（　　）

A．x（x+2）﹣x2=24B．x（x+2）=24

C．（x+4）（x+2）﹣x2=24D．（x+4）（x+2）﹣x（x+2）=24

【答案】D

【解析】解：

设宽为xcm，则长是（x+2）cm，

它的长、宽分别增加2cm后得到的新的长方形的长是：

（x+4）cm，宽是（x+2）cm，

根据等量关系列方程得：

（x+4）（x+2）﹣x（x+2）=24，

故选：

D．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

首先理解题意找出题中存在的等量关系：

新长方形的面积﹣原来的长方形的面积=24，根据此等式列方程即可．

教学建议：

列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【练习1.1】

根据图中给出的信息，可列正确的方程是（　　）

A．π×（

）2=π×（

）2×（x+5）B．π×（

）2=π×（

）2×（x﹣5）

C．π×82x=π×62×（x+5）D．π×82x=π×62×5

【答案】C

【解析】解：

设大量筒中水位高度为xcm，则小量筒中水位高度为（x+5）cm，

根据题意得：

π×（

）2x=π×（

）2×（x+5），

变形得：

π×82x=π×62×（x+5）．

故选：

C．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

设大量筒中水位高度为xcm，则小量筒中水位高度为（x+5）cm，根据圆柱体的体积结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

教学建议：

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【练习1.2】

如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，且剪下的两个长条的面积相等．问这个正方形的边长应为多少厘米？

设正方形边长为xcm，则可列方程为　　．

【答案】4x=5（x﹣4）

【解析】解：

设正方形边长为xcm，由题意得：

4x=5（x﹣4），

故答案为：

4x=5（x﹣4）．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

根据题意可得其中一个小长方形的边长分别为5cm和（x﹣4）cm；另一个小长方形的边长分别为4cm和xcm，根据长方形的面积公式结合关键语句“剪下的两个长条的面积相等”可直接列出方程．

教学建议：

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，分别表示出两个小长方形的长和宽．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【例题2】

我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：

今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？

其大意是：

每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？

设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　）

A．3x﹣2=2x+9B．3（x﹣2）=2x+9C．

D．3（x﹣2）=2（x+9）

【答案】B

【解析】解：

设车x辆，

根据题意得：

3（x﹣2）=2x+9．

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

教学建议：

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【练习2.1】

在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？

大意为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？

若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（　　）

A．8x﹣3=7x+4B．8（x﹣3）=7（x+4）C．8x+4=7x﹣3D．

x+4

【答案】A

【解析】解：

设这个物品的价格是x元，

则可列方程为：

8x﹣3=7x+4

故选：

A．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

根据“总人数不变”可列方程．

教学建议：

本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【例题3】

加工1500个零件，甲单独做需要12小时，乙单独做需要15小时，若两个合做需x小时，依题意可列方程（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】解：

设两个合做需x小时，由题意可得，甲每小时完成

个；乙每小时完成

个．

根据等量关系列方程：

，

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

首先理解题意找出题中存在的等量关系：

甲x小时的工作量+乙x小时的工作量=1500个零件，根据此等式列方程即可．

教学建议：

列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【练习3.1】

某工程甲独做8天完成，乙独做12天完成，现由乙先做3天，甲再参加合做．设完成此工程一共用了x天，则下列方程正确的是（　　）

A．

=1B．

=1C．

=1D．

=1

【答案】B

【解析】解：

设完成此工程一共用了x天，由题意可得：

+

=1．

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

直接表示出甲、乙完成的工作量进而得出等式．

教学建议：

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出工作量是解题关键．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【例题4】

我国古代名著《九章算术》中有一个问题，原文：

“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？

”译文：

野鸭从南海起飞，7天后达到北海；大雁从北海起飞，9日后达到南海，今野鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞，几天后相遇？

设x天后相遇，可列方程为（　　）

A．（7+9）x=1B．（

）x=1C．（

）x=1D．（

）x=1

【答案】B

【解析】解：

由题意可得，（

+

）x=1，

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

教学建议：

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【练习4.1】

甲、乙两人从学校到博物馆去，甲每小时走4km，乙每小时走5km，甲先出发0.1h，结果乙还比甲早到0.1h．设学校到博物馆的距离为xkm，则以下方程正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．4x﹣0.1=5x+0.1

【答案】B

【解析】解：

由题意可得，

，

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决．

教学建议：

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【例题5】

“十一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．x•（1+30%）×80%=2080B．x•30%•80%=2080

C．2080×30%×80%=xD．x•30%=2080×80%

【答案】A

【解析】解：

设该电器的成本价为x元，

由题意得，x（1+30%）×80%=2080．

故选：

A．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

设该电器的成本价为x元，求出成本价提高之后然后打折之后的价钱，据此列方程．

教学建议：

本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

【练习5.1】

一件羽绒服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利250元．若设这件羽绒服的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　）

A．x（1+50%）×80%=x﹣250B．x（1+50%）×80%=x+250

C．（1+50%x）×80%=x﹣250D．（1+50%x）×80%=250﹣x

【答案】B

【解析】解：

标价为：

x（1+50%），

八折出售的价格为：

（1+50%）x×80%，

则可列方程为：

（1+50%）x×80%=x+250，

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

解题思路：

根据售价的两种表示方法解答，关系式为：

标价×80%=进价+250，把相关数值代入即可．

教学建议：

本题考查了由实际问题抽象出列一元一次方程；根据售价的两种不同方式列出等量关系是解决本题的关键．

难度：

3适用场景：

当堂例题例题来源：

无年份：

无

课后作业

【作业1】

在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE=x（cm），依题意可得方程（　　）

A．6+2x=14﹣3xB．6+2x=x+（14﹣3x）C．14﹣3x=6D．6+2x=14﹣x

【答案】B

【解析】解：

设AE为xcm，则AM为（14﹣3x）cm，

根据题意得出：

∵AN=MW，∴AN+6=x+MR，

即6+2x=x+（14﹣3x）

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业2】

某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？

设抽调x人，则可列方程（　　）

A．20=2（26﹣x）B．20+x=2×26C．2（20+x）=26﹣xD．20+x=2（26﹣x）

【答案】D

【解析】解：

设抽调x人，由题意得：

20+x=2（26﹣x），

故选：

D．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业3】

二中学进行义务劳动，去甲处劳动的有30人，去乙处劳动的有24人，从乙处调一部分人到甲处，使甲处人数是乙处人数的2倍，若设应从乙处调x人到甲处，则所列方程是（　　）

A．2（30+x）=24﹣xB．30+x=2（24﹣x）C．30﹣x=2（24﹣x）D．2（30﹣x）=24+x

【答案】B

【解析】解：

设从乙处调x人到甲处，则甲处人数为（30+x）人，乙处人数为（24﹣x）人．根据甲处人数是乙处人数的2倍，可列方程为30+x=2（24﹣x）

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业4】

一项工程，甲独做需10天完成，乙单独做需15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙独做全部完成，设乙独做x天，由题意得方程（　　）

A．

+

=1B．

+

=1C．

+

=1D．

+

=1

【答案】B

【解析】解：

设乙独做x天，由题意得方程：

+

=1．

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业5】

某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（　　）

A．13x=12（x+10）+60B．12（x+10）=13x+60

C．

D．

【答案】B

【解析】解：

设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件．

根据等量关系列方程得：

12（x+10）=13x+60．

故选：

B．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业6】

轮船在静水中速度为每小时20km，水流速度为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5小时（不计停留时间），求甲、乙两码头的距离．设两码头间的距离为xkm，则列出方程正确的是（　　）

A．（20+4）x+（20﹣4）x=5B．20x+4x=5

C．

+

D．

+

【答案】D

【解析】解：

设两码头间的距离为xkm，则船在顺流航行时的速度是：

24km/时，逆水航行的速度是16km/时．

根据等量关系列方程得：

=5．

故选：

D．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业7】

一件毛衣先按成本提高50%标价，再以8折出售，获利28元，求这件毛衣的成本是多少元，若设成本是x元，可列方程为（　　）

A．0.8x+28=（1+50%）xB．0.8x﹣28=（1+50%）x

C．x+28=0.8×（1+50%）xD．x﹣28=0.8×（1+50%）x

【答案】C

【解析】解：

设成本是x元，可列方程为：

x+28=0.8×（1+50%）x．

故选：

C．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业8】

某种商品每件的进价为210元，按标价的8折销售时，利润率为15%，设这种商品的标价为每件x元，根据题意列方程正确的是（　　）

A．210﹣0.8x=210×0.8B．0.8x=210×0.15

C．0.15x=210×0.8D．0.8x﹣210=210×0.15

【答案】D

【解析】解：

设这种商品的标价为每件x元，根据题意得：

0.8x﹣210=210×0.15．

故选：

D．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业9】

“五一”节期间，某电器按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，如果仍能获利12元，设这种电器的进价为x元，则可列出方程为　

　．

【答案】x（1+40%）×80%﹣x=12

【解析】解：

设这种电器的进价为x元，则标价为x（1+40%）元，

由题意，得x（1+40%）×80%﹣x=12，

故答案为x（1+40%）×80%﹣x=12．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业10】

一件商品按成本价提高20%后标价，再打九折销售，售价为216元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，所列方程为　　．

【答案】x（1+20%）×90%=216

【解析】解：

设这件商品的成本价为x元，成本价提高40%后的标价为x（1+20%），再打8折的售价表示为x（1+20%）×90%，又因售价为216元，

列方程为：

x（1+20%）×90%=216．

故答案为：

x（1+20%）×90%=216．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业11】

某商店换季促销，将一件标价为240元的T恤8折售出，仍获利20%，若设这件T恤的成本是x元，根据题意，可得到的方程是　

【答案】240×0.8﹣x=20%x　

【解析】解：

若设这件T恤的成本是x元，根据题意，可得到的方程是240×0.8﹣x=20%x，

故答案为：

240×0.8﹣x=20%x．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无

【作业12】

某种商品的标价为200元，按标价的八折出售，这时仍可盈利25%，若设这种商品的进价是x元，由题意可列方程为　　．

【答案】200×80%=（1+25%）x

【解析】解：

设这种商品的进价是x元，由题意得：

200×80%=（1+25%）x，

故答案为：

200×80%=（1+25%）x．

讲解用时：

7分钟

难度：

3适用场景：

课后作业例题来源：

无年份：

无