初中数学课程简报 第四期Word文档下载推荐.docx
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有视频、有在线研讨、有作业交流、有反馈答疑，这么丰富的课程叫人喜欢。
谨代表研修平台学员们提出一点建议，如果能予以改进，必会更好地提高培训的效益。
（1）在我的工作室是否可以像博客一样，可以分组添加自己的好友。
比如我喜欢某一个老师的风格，我可以添加到自己的好友中，随时可以关注，而不必每次很麻烦地寻找；
（2）在我的工作室是否加上一个留言薄：
这样的话可以与每一个老师就某一个问题进行充分的交流。
非常感谢省教育厅的领导为我们一线教师提供与专家、名师面对面交流的机会。
在剩下的时间里，我会更加珍惜本次培训的机会，认真学习，认真作业，积极反思，提高水平，为祖国的教育事业做出贡献。
专家引领
谈谈数学证明
马复
1.数学证明的功能与特征
以一些基本概念和基本公设为基础，根据一些真实（假定）的命题，运用逻辑推理的规则和方法，确定某个数学命题的真实性。
数学证明的作用：
确立了命题的真实性（也有证明错导致结论错、或只是证明错）；
导致新的发现（七桥问题；
圆桌上放棋子）增进理解（多边形外角和公式——利用内角和、运动的方式；
等分图形面积问题——存在性证明与构造性证明；
几何作图三大问题）
从历史上看，数学证明起始于古希腊（前6世纪）对几何定理的证明（确立了命题的真实性）；
《几何原本》是标志性产物（整理知识、公理化的思想、数学证明的模式）。
2．证明与直观
数学命题难道不可以“看”出来吗？
x2+y2≥0；
若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；
三角形两条中线交于一点……
确有无法“看出”的：
三角形三条中线交于一点；
所有周长一定的平面封闭图形中，什么图形的面积最大；
今天是星期4，1010天以后是星期几？
xn-1的因式分解（每个因式中“项”的系数都是1或-1？
x105-1就有例外）……
特别是到了无限的情形——自然数与整数个数；
复数不可以比较大小；
阶梯状的斜坡长度；
何况，直观也会欺骗我们：
有两个三角形，第一个三角形的最短边比第二个三角形的最长边还要长，前者的面积一定不小于后者的面积；
一个圆把平面分成两个部分，两个圆可以把平面分成四个部分，三个圆呢？
四个圆呢？
无数个正数相加，其和一定很大……
3．学生的证明经验——生活中的证明
例证、流行或权威的观点、（实）验证、质疑。
4．数学证明学习的意义
理性精神、证明的必要性、证明的过程（四色定理——真的证明了？
2次方程求根公式——验证还是寻求）、证明的基本方法（直接与间接等）（寻求反例——三角形的三边相等→三角相等，三角相等→三边相等，对n边形呢？
4边形的情形：
只有正方形——它有外接圆！
考虑所有具有外接圆的n边形？
一般地，“对内接于某个圆的n边形而言，其n个内角相等，则隔边相等，反之亦然。
特别地，当n是奇数时，等角与等边是等价的；
5．数学证明学习的心理分析——认知水平与思维方式
具体对象与抽象关系——借助图形做直观猜测，非逻辑推演；
前提真实与假设合理——分析法、反证法等；
语义与形式——逻辑关系与形式表达。
即使是语言层面的，也有“形式”与“语义”的分别（语言是两者的统一）：
“形式”是外部结构，其发展遵循：
从局部到全局、从细节到整体；
“语义”是内涵意义，其发展遵循：
从全局到局部、从整体到细节，两者不易统一、同步。
语言也分为内部语言与外部语言——个体从事证明，首先是“思考关系”，这时，用的是内部语言（个人语言），它的作用是进行思考，产生思路，但形式上不规范，也许只有自己能懂（这样……，结果……，全等了），不一定能够被别人所理解（陈同学的例子）；
需要交流时，则必须使用外部语言（社会语言），它的作用是用“线性”的形式，将前因后果梳理清楚，表达出来，并且能够被他人理解。
对学生而言，有时是“因为……，所以……”的句式对了，但条件和结论却用反了，这属于“语义”滞后于“形式”，是知识理解与语言表述不同步；
也可能相反，关系、意义清晰了，表述却丢三拉四——跳跃、前后颠倒等，这属于“形式”滞后于“语义”，也是知识理解与语言表述不同步（几何证明学习之初，多见此情景，特别是图形关系复杂一些的，并非思维混乱，而是思维与表达不同步，或者是“个人语言”向“社会语言”转换时出了问题）。
如果我们的教学一开始就要求“社会语言”，会造成学习上的困难，特别是这其中既有自然语言，又有数学语言（符号）。
教学上可以采用“先‘个人语言’，后‘社会语言’的形式”——三种形式的设想。
采用三种形式的另一个原因——数学符号所产生的联想要远远大于自然语言（在数学性质方面），如：
“一个数的平方与另一个数的两倍的和”与“
+2b”。
但是，在几何方面，符号语言的形成往往开始于“图形语言”，所以，可以先让学生用类似于“个人语言”的非规范“社会语言”（如图形表示全等），然后再用规范的“社会语言”（如△ABC≌△DEF）。
6．证明的教学——教学生如何构造证明与如何展开证明
证明：
存在无限多个（4K+3）型质数。
先证明（4K+1）型数的积仍然是（4K+1）型数（简单）.
反设命题不成立——只有有限个（4K+3）型质数：
P1，P2，…Pn，令M=4P1P2…Pn-1。
若某个Pi︱M，则Pi︱1，不可能。
所以任何Pi︱M。
但M不是偶数，所以M的所有质因数都是（4K+1）型质数，即M是（4K+1）型数，但M=4（P1P2…Pn-1）+3，矛盾！
原命题成立。
框架与思路？
证明步骤的意义与来源？
（为什么要证明一个“引理”，为什么要构造M，为什么要说明Pi不能整除M，M不是偶数……
构思证明的过程：
反证法（所以假设只有有限个（4K+3）型质数）——构造一个新数M，使它本身或其某个质因数是一个新的（4K+3）型质数（所以验证Pi不能整除M）。
技巧是M的构造。
例：
猜想与反驳——证明的全过程
问一：
两个三角形有相同的面积，这两个三角形一定全等吗？
为什么？
答案是一致的，但在回答为什么时却有水平差异——是否知道用反例，用什么反例。
问二：
两个三角形具有相同的面积和相同的周长，这两个三角形一定全等吗？
开始有不同的看法了，交流——有助于理解，问题在于如何说服自己、对方、对手。
凭直觉还是推理？
反例较难举？
或许可以借助于等底、等高，若困难就先放一放。
问三：
两个直角三角形具有相同的面积和相同的周长，这两个三角形一定全等吗？
更多的人倾向于“全等”的看法。
问题在于如何证实自己的猜想——至少证明的欲望非常强烈（用解方程组的方式可以解决这个问题）。
问四：
两个等腰三角形具有相同的面积和相同的周长，这两个三角形一定全等吗？
基于上述活动的经验，很多人倾向于选择“全等”——毕竟“直角”换“等腰”很合理。
然而事实却非如此——难以证明，转而怀疑自己的猜想：
难道不一定全等？
这不是退却，而是思维的上升——仅有直觉是不足以说明道理的，逻辑证明是判定猜想正确与否的最终途径。
可以想象，几乎所有的人都期望获得“最终”的正确判断。
答案是否定的（37，37，24）与（29，29，40），或者（233，233，210）与（218，218，240）都是反例。
专题四《合情推理与演绎推理的教学》研修要点
省课程专家颜峰姜仲平汤华财
以往，一提起几何教学，我们首先想到的往往是“证明”——证明两条直线平行、证明两个三角形全等…，那么你是如何看待“证明能力”与“几何能力”之间的关系的？
按照新课程的理念，学生的推理能力主要由“合情推理”能力与“演绎论证”能力构成。
那么合情推理与演绎推理的区别、联系与互补作用是怎样的呢？
长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。
事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起着重要的作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。
因此培养学生的推理能力就要从两个方面来做，一是要培养学生的合情推理能力，在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。
注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向；
二是要培养学生的演绎推理能力，可以从以下八个方面入手：
关注证明的基本过程和基本方法，掌握作为证明基础的几个基本几何事实-------公理，并在此基础上展开对基本几何图形性质的证明，掌握综合法的证明格式和方法，恰当把握证明要求，理解证明的必要性，加强几何语言的训练与培养，对几何概念的教学注重由机械记忆转为理解与应用，关注图形变换的思想。
你又是怎样看待这个问题的呢？
最后还要谈到的问题是培养学生推理能力要注意些什么？
学生几何学习普遍存在着哪些方面问题又有何应对策略呢？
本专题就想对这些方面的问题同大家一起做一初步的探讨。
热点聚焦
举例说明：
发展学生的空间观念，除了第一章丰富的图形世界和九年级视图投影外，还有哪些内容的教学可以发展空间观念，我们如何利用和处理这些内容？
作业之一
荣成市实验中学解云静提交
省课程专家云鹏推荐，推荐理由：
切入有意思，信手拈来，看出功力。
建议：
向解云静老师学习。
李孟堂推荐，推荐理由：
解老师的每次作业都能从不同的视角将问题分解，最后进行梳理，重新整合，进而达到“操作中培养,练习中发展,想象中升华”这样逻辑、立异的总结。
这正如你所说的“处处留心皆学问”。
按照你的意境去培养学生，他们肯定…….
孙志红推荐，推荐理由：
真是一份有质量的作业，通过在操作中培养，在练习中发展，在想象中升华，逐步加强学生的空间观念。
从题目上反复品味，本题的“空间观念”好像特指三维图形，而广义的“空间观念”好像应该包括一维、二维图形，不知我的理解正确与否，不当之处请专家老师指出。
下面我就从自己的理解出发，略抒拙见。
《数学课程标准》指出，空间观念主要表现在：
能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；
能根据条件做出立体模型或画出图形；
能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；
能描述实物或几何图形的运动和变化；
能采用适当的方式描述物体间的位置关系；
能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
鉴于此，我认为初中课本处处蕴含着可以发展学生空间观念的教学内容。
在这里，信手拈来几例，从三个方面与同行们共同探讨。
1．操作中培养
把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程。
《制作一个尽可能大的无盖长方体容器》是六年级上册（鲁教版）中的课题学习内容，本节着重解决和渗透的是函数中的变量之间的关系问题，但在计算过程中中，学生要思考——“如何剪？
剪掉一个什么形状？
——才能得到一个无盖长方体盒子，剪掉的四个小正方形的边长决定着长方体的那一部分的长度？
怎样能够以最快的速度测出计算需要的长度？
剪纸折纸的实践操作无疑是解决问题的最好方法，这一过程无形中加深了学生对长方体及其展开图的认识，能培养发展其良好的空间感觉。
很多教师在讲授过程中忽视了操作这一环节，认为解决代数问题不宜在操作上浪费时间，喧宾夺主。
其实不然，适当的操作更能提升思维的高度，拓展思维的广阔性。
我们教学的目的是为了培养永久的能力，而不是着眼于一两个问题的解决。
所以，笔者认为课本中很多类似问题的解决不要悭吝操作的时间。
如蚂蚁在立方体盒子的一面跑到另一面的最短路线，从圆锥的底面圆一点让圆锥侧面回到起点的最短路线长等等问题，在解题的过程中设置一定的时间让学生动手实践非常有利于空间观念的发展。
2．练习中发展
如果动手操作是以动态的方式在学生的头脑中建立起空间观念，那么习题可以以静态的方式细化和巩固学生头脑中的空间形象。
例如：
七年级下册《梯形》一节所研究的梯形，学生对它的初步认识却来源于“跳箱，大坝或水渠的横断面，生活用品”等等立体的生活原型，是从立体空间图形抽象而出的平面图形。
在实际做题训练中，可有意识的与空间图形产生联系。
如：
黎明村要测量一条长100米的横截面为等腰梯形的水渠底部宽度，由于渠中水深，底部不能到达，现只能测得水渠的上口AD宽2米，边沿AB长度为1.3米，水渠深度为1.2米。
⑴你能帮助计算出水渠底部BC的宽度吗？
（附实物图）
⑵要把水渠填平至少需要多少方土？
此题明显需要学生良好的空间感觉，需要根据头脑中対实物图的认知，抽象出平面几何图形，确定各部分的长度。
类似的在三角形、四边形、多边形等等章节都可以有意识的添加类似的练习，强化学生初步建立的空间观念。
3．想象中升华
想象在发展空间观念中作用巨大，没有空间想象能力，就难以形成抽象思维能力。
应该说想象是建立在现实的基础上，经过了前面的操作和练习，对于有些无法进行实际操作，或者难于描述的图形，就要借助于空间想象能力了。
如二次函数的应用部分的火车过山洞，喷泉喷水问题，勾股定理部分的筷子放在杯中（圆柱体）或盒子中（立方体）露出部分最短是多少，藤缠树等问题，可先借助于事先抽象好的平面图让学生对实物展开想象，在头脑中建立一定的模型，而后再有意地摒弃示意图，使学生在没有依据的情况下根据题意自己画出示意图，经历从较复杂的图形中分解出基本的图形的过程，能够有力的培养学生的空间想象力。
人常说：
处处留心皆学问。
窃以为，发展空间观念的教学内容贯穿于初中教学的始终。
只看你是否善于观察、发现、提炼，做教学中的有心人。
作业之二
潍坊龙岗镇龙岗初中
李晓菲提交
省级专家吕学江推荐，推荐理由：
知识把握准确，教学处理精心。
李老师注意梳理和撷取教材中发展学生空间观念的相关素材，合理的开发或重组教学内容，设置学生身边的感兴趣的问题情境，通过有计划有步骤的课堂教学，力求最大限度的发展学生的空间观念，表征着教师较高水平的理解与思考。
我认为还有以下内容可以发展学生的空间观念：
1．平移和旋转中让学生结合实物实例感知平移、旋转、对称现象；
会用上下、左右、前后描述物体的相对位置；
2．勾股定理中蚂蚁怎样走最近问题，把立体图形展开为平面图形；
3．影子与投影中镜面对称问题，结合实物来探究；
4．相似图形中的应用与位似图形；
在发展学生空间观念的教学中我是这样处理的：
1．运用勾股定理求出最短距离。
例1蚂蚁怎么走最近（见教材Ｐ13页）。
问题１：
利用课前做好的圆柱，尝试从Ａ点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢?
问题２：
同学们将刚才几位同学设计的路线和你自己设计的路线都画在圆柱的侧面上。
到底谁画的路线最短呢?
问题３：
蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它需要的最短路程是多少呢?
部分学生空间想象能力差，不能正确画出表面展开图。
应让学生亲手操作体验立体图形的展开过程，以加强对题目的理解，从而发展空间观念。
2．平面直角坐标系教学中引导学生体会位置确定与坐标变换之间的关系以及平移、轴对称间的联系，形成对图形变换的整体认识。
3．平移与旋转、图案的设计与欣赏等，通过观察、欣赏、设计等过程，进一步发展学生的空间观念。
在观察和欣赏现实图形和几何图形所具有的与变换相关的性质时，应通过学生所表现出来的对图形的认识和理解，考察其空间观念，如通过观察中国奥运夺冠后国旗升起或推动推拉窗，想像到类似物体（电梯、滑梯等）的运动；
通过观察电扇风叶的旋转，想像到类似物体（风车、转门、石碾、钟表指针、旋转马等）的旋转。
作业之三
沂南县青驼镇初级中学
魏代卿提交
省课程专家张全红推荐，推荐理由：
魏老师这篇文章来源于自己的教学实践，有内容归类，有举例说明，分析透彻，条理清晰。
既有日常教学实践的逐步积累提炼，又有站在整个初中教学角度上的综合整理。
如果能配上更为具体的教学实例，用词再精准凝练一些，将会是一篇非常优秀的文章。
孙明元推荐:
分析透彻，观点新颖，对教学有促进作用。
柳洪伟推荐:
总结全面，讲解透彻，条理清晰，内容非常充实。
在初中阶段除了第一章丰富的图形世界和九年级视图投影外，还有很多内容很有益于发展学生的空间观念，例如：
平面直角坐标系、全等三角形、轴对称、勾股定理、圆锥、圆柱的侧面展开图、方位角、直角三角形中测量问题、平移、旋转、对称、折叠等图形的变化。
当然符合条件的内容还有很多。
具体做法：
一、通过身边的立体实物，培养学生的立体感。
几何来自于生活，让学生多看实物，学生对实物理解比较清晰，离开实物又难以想象。
因此需要在实物与图形之间不断变换，让学生学会看图，这样能加深对图形的理解。
让学生具体操作、亲手体验感知。
初中阶段有大量的折叠问题，这些问题单靠学生凭空想象是困难的,让学生在操作中想象，体验、感知图形的变化规律，可以为学生的空间观打下基础。
二、利用好身边的教具。
如当学生学习完"
直角三角形"
这个概念后，有一些学生只知道正着放的才是直角三角形，而变换直角三角形中直角的位置后，就不认为它是直角三角形了，其原因就是：
头脑中的概念缺乏相当数量的变式图式的支持，当然，这也说明这些学生表象的概括水平低，所以，就影响了知识的具体化。
三、运用电教媒体促进空间想象能力的培养。
多媒体是提高学生空间想象能力的很好的辅助工具。
通过电教媒体和直观教具的结合，培养学生识图、画图和用图的能力，正确认识空间直线和平面的位置关系，掌握简单体的性质，从而提高空间想象能力，可制作培养学生空间想象能力的CAI课件、模型、典型投影片。
如原教材中的“点动成线，线动成面，面动成体”就可以通过制作动画让学生理解，这样形象且记忆深刻。
四、通过画图提高对空间图形的理解和认识能力。
画图是培养学生空间想象能力必不可少的一步。
画直观图的目的是为了解决对立体图形的理解和认识，学生只有能把立体的东西在同一平面中展现出来，才说明学生理解。
在教学的过程中要有步骤地指导学生掌握绘制直观图的一般方法，有计划提高学生的绘图能力。
关于发展学生的空间观念，初一的《丰富的图形世界》重点练习了让学生会看三视图，会画三视图，并且利用三视图解决有关实际问题，这些都可以锻炼学生的空间想象能力，对于学生来说最难的就是利用给出的三视图得出它的现实形状，我想这是一个循序渐进的过程，我们在教学中应该合理的设计教学，逐渐锻炼学生的空间想象能力。
其实在勾股定理的教学中也可常常看到这样的题目。
乘坐电梯最多可以拿多长的竹竿？
这样的问题我常常借助于教室这个现有的条件，先让学生自己得出竹竿怎样放最长，然后问怎样求出这条最长的竹竿的长度？
于是问题便迎刃而解。
另外如在长方形纸盒中蚂蚁怎样爬最短，和圆锥中由底下的一点到对面的一点的题目等等，虽然是考学生图形展开并求长度的能力，但是也离不开学生对空间想象的能力。
这些我们在刚开始教学时可以用现成的盒子或自做教具来解决。
在日常教学中，我们会遇到这样或那样有关空间观念的题目，只要我们用心合理采用或制作适用于学生理解的场景或教学用具，都可以起到开发学生空间观念的作用。
最后，总结提供一些有助于学生形成空间观念的教学策略，以供同仁们参考。
1.学生经验是发展空间观念的基础。
2.发展空间观念的途径应多样化。
3.空间观念应在发展过程中逐步形成。
4.空间观念需要自主探索与合作交流的氛围。
作业之四
山东省济南第八中学
魏伟提交
省课程专家刘家华推荐，推荐理由：
直觉思维不只是在几何的学习中犹其重要，这也是数学学习的重要方法，数学思维能力不是单指逻辑思维能力，直觉思维能力也是重要的一个方面。
丰富学生的数学语言，这是发展空间观念的前提，魏老师的观点值得推广。
指导老师齐凯推荐，推荐理由：
魏老师分析的非常全面具体，把培养学生空间想象力的问题进行了系统全面的总结。
对于学生空间观念的培养，除了丰富的图形世界和视图投影两章内容之外，在旋转、对称等的教学中也可以发展学生的空间观念，还有九年级的圆柱和圆锥这部分知识。
新课标指出:
“几何知识的教学,要通过观察，测量，动手操作等实际活动，加深对几何形体的认识，逐步发展学生的空间观念。
”但是在过去的几何教学中，往往过多过早地强调计算，把直观的几何问题作为单纯的计算问题，忽视对学生空间观念和空间想象力的发展。
造成的后果是学生形量混淆、概念不清，对复杂图形的计算，难于找到正确的解题思路和方法。
一、培养学生的直觉思维，发展空间观念直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式，这种能进行快速反应的能力，如看到题目的条件或题里的图形，能很快说出它的特点，隐藏的意思等的能力，在几何的学习中犹其重要。
（一）根据学生的心理特征和认识规律，采用直观手段，让学生在实践操作中逐步发展空间观念。
（二）设计一些简单的想象活动，深化知识，培养学
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