高三上学期入学考试数学理试题 含答案.docx
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高三上学期入学考试数学理试题含答案
2019-2020年高三上学期入学考试数学（理）试题含答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（）
A．B．C．D．
2．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（）
A．20B．25C．50D．不存在
4．设，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若，满足
则的最大值为（）
A．0B．1C．D．2
6．已知函数，则函数的图象的一条对称轴是（）
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：
-=1的焦距为10，点（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（）
A.-=1B.-=1C.-=1D.-
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A.2B.4C.8D.16
9．已知点，若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数：
①；②；③．其中，“点距函数”的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
10．已知函数
若则实数的取值范围是
ABCD
11．在△中，=2,=3,·=1，则=（）
A.B.C.D.
12．已知定义在上的函数满足=2，当时，．设在上的最大值为（），且{}的前项和为，则=（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．在的展开式中，含项的系数为
14．古代“五行”学说认为：
“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．________
15．已知P为△ABC所在的平面内一点，满足，△ABC的面积为xx，则ABP的面积为．
16．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是．
三、解答题：
本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）求最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
18．（本小题满分14分）已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（
）求的通项公式；
（
）求数列的前项和.
19．（本小题满分14分）为了参加xx市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校
学校甲
学校乙
学校丙
学校丁
人数
4
4
2
2
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．
（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；
（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
20．（本小题满分14分）定义：
若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆
的长轴长是4，椭圆
短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆，的方程；
（Ⅱ）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值．
21．设函数,,其中为实数.
（1）若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
（2）若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
选修题：
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：
几何证明选讲
22．如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．
（1）证明：
DA平分∠BDE；
（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．
23．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的参数方程为，（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点．
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）直线与曲线交于两点，若，求实数的取值范围．
24．已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
高xx级高三上期入学考试试卷
数学（理工农医类）参考答案
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁IB）等于（）
A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
考点：
交、并、补集的混合运算．
解析：
由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁IB={0，1}，则A∩（∁IB）={1}．故选：
A．
点评：
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：
复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．
解析：
根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．故选D．
点评：
本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
3．已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（）
A．20B．25C．50D．不存在
考点：
等比数列的通项公式．
解析：
由已知得a7+a14≥2
．故选：
A．
点评：
本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．
4．设，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：
不等式解法与充分条件、必要条件.
解析：
或，所以
“”是“”的充分不必要条件，故选A.
点评：
本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题
5．若，满足
则的最大值为（）
A．0B．1C．D．2
考点：
本题考点为线性规划的基本方法
解析：
如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.故选D
点评：
本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令，画出直线，在可行域内平移该直线，确定何时取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.
6．已知函数，则函数的图象的一条对称轴是（）
A．B．C．D．
考点：
三角函数化简，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
解析：
由f（x）=2sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：
A．
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
7．已知双曲线C：
-=1的焦距为10，点（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（）
A.-=1B.-=1C.-=1D.-
考点：
双曲线的定义及标准方程
解析：
设双曲线C：
-=1的半焦距为，则.
又C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，∴·2，即.
又，，C的方程为-=1.故选A。
点评：
圆锥曲线的标准方程关键是找到焦点位置和参数的值，双曲线主要考查渐近线方程。
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A.2B.4C.8D.16
考点：
程序框图．
解析：
，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C。
点评：
根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：
①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．
9．已知点，若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数：
①；②；③．其中，“点距函数”的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
考点：
进行简单的合情推理．
分析：
根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．
解答：
解：
对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D点，
D在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：
C
点评：
本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．
10．已知函数
若则实数的取值范围是
ABCD
考点：
本小题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解。
解析：
由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
点评：
利用函数单调性比较大小，特别是抽象函数的大小问题，常利用函数单调性，因些，涉及与比较大小时，就应先想到用函数单调性转化为和的大小关系。
11．在△中，=2,=3,·=1，则=（）
A.B.C.D.
考点：
向量的数量积及余弦定理
解析：
由下图知·
.
.又由余弦定理知
，解得.
点评：
将解三角形与向量结合考查，是较常见的在知识交汇处命题形式，三角形中考查向量时要注意向量夹角与三角形内角之间的关系。
12．已知定义在
∴>1∴>
综上所述:
的取值范围为
（2）证明:
∵在上是单调增函数
∴即对恒成立,
∴而当时,>∴
分三种情况:
（Ⅰ）当时,>0∴f（x）在上为单调增函数
∵∴f（x）存在唯一零点
（Ⅱ）当<0时,>0∴f（x）在上为单调增函数
∵
<0且>0
∴f（x）存在唯一零点
（Ⅲ）当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一零点
②当>0时,0<,有两个零点
实际上,对于0<,由于
<0,
>0
且函数在上的图像不间断∴函数在上有存在零点
另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点
下面考虑在的情况,先证
<0
为此我们要证明:
当>时,>,设,则,再设
∴
当>1时,>-2>0,在上是单调增函数
故当>2时,>>0
从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0
即当>时,>,
当0<<时,即>e时,
<0
又
>0且函数在上的图像不间断,
∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知:
当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2
点评：
导函数的应用主要考查切线的斜率；单调区间；极最值。
特别是含参问题的处理是常考题型，学会找到参数的讨论标准。
选修题：
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：
几何证明选讲
22．如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．
（1）证明：
DA平分∠BDE；
（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．
考点：
相似三角形的判定．
解答：
（1）证明：
∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE．
∴DA平分∠BDE．
（2）由
（1）可得：
△ADE∽△BDA，∴，
∴，化为BD=2AD．
∴∠ABD=30°．
∴∠DAE=30°．
∴DE=AEtan30°=．
由切割线定理可得：
AE2=DE•CE，
∴，
解得CD=．
点评：
本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，直线的参数方程为，（为参数），曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点．
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）直线与曲线交于两点，若，求实数的取值范围．
考点：
简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
解答：
解：
（1）根据题意，得
曲线C1的直角坐标方程为：
x2+y2﹣4y=12，
设点P（x′，y′），Q（x，y），
根据中点坐标公式，得
，代入x2+y2﹣4y=12，
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：
（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，
（2）直线l的普通方程为：
y=ax，根据题意，得
，解得实数a的取值范围为：
．
点评：
本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．
24．已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
考点：
绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．
解答：
解：
（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，
解得x≤﹣1或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=
，
故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．
点评：
本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．
2019-2020年高三上学期入学考试数学（理）试题含解析
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
∵集合
，∴，则．故选：
A．
考点：
交、并、补集的混合运算．
2．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
试题分析：
，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．故选D．
考点：
1.复数的代数表示法及其几何意义；2.复数相等的充要条件．
3．已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（）
A．20B．25C．50D．不存在
【答案】A
【解析】
试题分析：
由已知得
．故选：
A．
考点：
等比数列的通项公式．
4．设，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：
或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
考点：
不等式解法与充分条件、必要条件.
5．若，满足
则的最大值为（）
A．0B．1C．D．2
6．已知函数，则函数的图象的一条对称轴是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
由．令，求得，则函数的图象的一条对称轴为，故选：
A．
考点：
1.三角函数化简;2.函数的图象变换．
7．已知双曲线C：
-=1的焦距为10，点（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（）
A.-=1B.-=1C.-=1D.-
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A.2B.4C.8D.16
【答案】C
【解析】
试题分析：
，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C.
考点：
程序框图．
9．已知点，若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数：
①；②；③．其中，“点距函数”的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
10．已知函数
若则实数的取值范围是（）
ABCD
【答案】C
【解析】
试题分析：
由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C.
考点：
1.分段函数的单调性;2.一元二次不等式.
11．在△中，=2,=3,·=1，则=（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
试题分析：
由下图知·
..又由余弦定理知
，解得.
考点：
向量的数量积及余弦定理
12．已知定义在上的函数满足=2，当时，．设在上的最大值为（），且{}的前项和为，则=（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．在的展开式中，含项的系数为
【答案】15
【解析】
试题分析：
利用通项公式来解决，在通项中令的指数幂为可求出含是第几项，由此算出系数．
考点：
二项式定理的应用．
14．古代“五行”学说认为：
“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．________
【答案】
【解析】
试题分析：
总的取法有种，相克的有5种，所以不相克的有10-5=5种，故不相克的概率.
考点：
排列、组合概率.
15．已知P为△ABC所在的平面内一点，满足，△ABC的面积为xx，则ABP的面积为．
【答案】
【解析】
试题分析：
取中点，根据已知条件便容易得到，所以三点共线，并可以画出图形，根据图形即可得到
，所以便可得到．
考点：
平面向量的基本定理及其意义．
16．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是．
三、解答题：
本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）求最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最大值为，最小值为.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）化简可得，
；根据周期公式，即可求出结果..
（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，
，当时，
18．（本小题满分14分）已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）解方程，可得，，即可求得，进而可求出的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和为,由（Ⅰ）知，然后再利用错位相减法，即可求出结果.
试题解析：
解：
（Ⅰ）方程的两根为2,3,由题意得，，设数列的公差为d,，
19．（本小题满分14分）为了参加xx市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校
学校甲
学校乙
学校丙
学校丁
人数
4
4
2
2
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．
（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；
（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
试题解析：
解：
（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，
则
；
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2
则，，；
∴ξ的分布列为：
∴
.
考点：
1.概率的求法；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.
20．（本小题满分14分）定义：
若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆
的长轴长是4，椭圆
短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆，的方程；
（Ⅱ）过的直线交椭圆于点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，易知，根据椭圆与椭圆的离心率相等，可得关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：
．与椭圆的方程联立消掉x得y的二次方程，则，由弦长公式可表示出，由点到直线的距离公式可表示出的高，则的面积，变形后运用基本不等式即可求得的最大值.
试题解析：
解：
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，椭圆的.由已知，，.
∵椭圆与椭圆的离心率相等，即
21．设函数,,其中为实数.
（Ⅰ）若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
（Ⅱ）若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由即对恒成立,然后再利用分离参数法，再对进行分类讨论，即可求出结果；（Ⅱ）证明:
∵在上是单调增函数，即对恒成立,而当时,>，，然后再对分三种情况讨论，即可求出结果.
试题解析：
解：
（Ⅰ）由即对恒成立,∴
而由知<1∴
由令则
当<时<0,当>时>0,
∵在上有最小值
∴>1∴>
综上所述:
的取值范围为
（Ⅱ）证明:
∵在上是单调增函数
∴即对恒成立,
∴而当时,>∴
分三种情况:
（1）当时,>0∴f（x）在上为单调增函数
∵∴f（x）存在唯一零点
（2）当<0时,>0∴f（x）在上为单调增函数
∵
<0且>0
∴f（x）存在唯一零点
（3）当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一
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