最全函数值域的12种求法附例题习题1.docx

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最全函数值域的12种求法附例题习题1

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+"（告3x）的值域。

点拨：

根据算术平方根的性质，先求出V（2-3x）的值域。

解：

由算术平方根的性质，知V（2-3x）>,0

故3+V（2-3x）

二函数的知域为.

点评：

算术xx具有双重非负性，即：

（1）被开方数的非负性0

（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解0这种方法对于一类函数的值域的求法0简捷明了0不失为一种巧法。

练习：

求函数y=[x]（0

（

答案：

值域为：

{0,1,2,3,4,5}）

二．反函数法

当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=（x+1）/（x+2）的值域。

点拨：

先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：

显然函数y=（x+1）/（x+2）的反函数为：

x=（1-2y）/（y-1）,其定义域为y工啲实数,故函数y的值域为

{yIyz1*R}。

点评：

利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：

求函数y=（10x+10-x）/（10x-10-x）的值域。

（

答案：

函数的值域为{yIy<-1或y>1}）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求

函数值域

例3:

求函数『="—x+x+2）的值域。

点拨：

将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解:

由—x2+x+2>可知函数的定义域为x€[—1,2]。

此时—x2

+x+2=—（x—）2+€[0,/.0

+x+2密数的值域是

点评：

求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：

求函数y=2x—5+"1—4x的值域.（

答案:

值域为{yIy<3}）

四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函

数的值域。

例4求函数y=（2x2

—2x+3）/（x2

—x+1）的值域。

点拨：

将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：

将上式化为（y—2）x2

—（y—2）x+（y-3）=0（＊）

当y^22寸，由A=（y—2）2

—4（y—2）x+（y—3）》,解得：

2vx<2当y=2时方程严）无解。

二函数的值域为2vy<

点评：

把函数关系化为二次方程F（x,y）=O,由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。

常适应于形如y=（ax2

+bx+c）/（dx2

+ex+f）及y=ax+b±V（cx2

+dx+e）的函数。

2练习：

求函数y=1/（2x—3x+1）的值域。

（

答案：

值域为8或y>0）。

五．最值法

对于闭区间［a,b］上的连续函数y=f（x）可求出y=f（x）在区间［a,b］内的极值，并与边界值f（a）.f（b）作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。

例5已知（2x-x-3）/（3x+x+1）畦0满足x+y=1求函数z=xy+3x的值域。

点拨：

根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：

v3x2

+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2

-x-3<0同解，解之得—1

•••z=-（x-2）2

+4且乂€函数z在区间上连续，故只需比较边界的大小。

22

A.（—*,+x）

B.[—7,+x]

C.[0，+*）

D.[—5，+*）

（

答案：

D）。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=Ix+1I+V（x2）2

的值域。

点拨：

根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象

解：

原函数化为—2x+1（x<1）

y=3（-1

2x-1（x>2）

它的图象如图所示

显然函数值y》3所以，函数值域[3,+oo]0

点评：

分段函数应注意函数的端点。

利用函数的图象

求函数的值域,体现数形结合的思想。

是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等

方法求函数的值域。

七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x—"-3x（x的值域。

点拨：

由已知的函数是复合函数，即g（x）二—V-3x,y=f（x）+g（x）,其定义域为在

此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：

设f（x）=4x,g（x）=-V-3x,（x易知它们在定义域内为增函数，从而y=f（x）+g（x）二

4x—Vi3x在定义域为xW上也为增函数，而且y裁此，所求的函数值域为

{y|y哼。

点评：

利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区

间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。

练习：

求函数y=3+V4的值域。

（

答案：

{y|y可）

八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+"2x+1勺值域。

点拨：

通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：

设t=V2x+1（t＞），则。

于是》

所以，原函数的值域为{y|y亠}。

点评：

将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。

这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。

它的应用十分广泛。

练习：

求函数y=V-1—的值域。

（

答案：

{y|y—

九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数x2

+4x+5+Vx2

-4x+8的值域。

点拨：

将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：

原函数变形为f（x）=V（x+2）2

+1+V（-2x）2

+22

作一个长为

4、宽为3的矩形ABCD再切割成12个单位

正方形。

设日心乂则ek=2~x,KF=2+x,AK=VX）2

+22,

KC=V（x+2）2

+1。

由三角形三边关系知，AK+KOAC=5当

A、K、C三点共

线时取等号。

•••原函数的知域为｛y|y05。

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y€R,且3x-4y-5=0求函数Z=x+y的值域。

点拨：

将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：

由3x-4y-5=0变形得，（x3）/4=（y-1）/3=k（k为参数）

x=3+4k,y=1+3k,

z=x+y=（3+4k）+（14+3k）=（5k+3）+o1

当k二一时，一时，Zmin=1i

函数的值域为{z|z.

点评：

本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识1

练习：

已知x,y€R,且满足4x-y二0求函数f（x,y）=2x-y的值域。

（

答案：

{f（x,y）|f（x,y）}）1

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=（3x+2）/（x+1）的值域°

点拨：

将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和

解：

y=（3x+2）/（x+1）=3－1/（x+1）。

t1/（x+1）,^故0y工。

2

2222

二函数y的值域为y工的一切实数。

点评：

对于形如y=（ax+b）/（cx+d）的形式的函数均可利用这种方法。

练习：

求函数y=（x-1）/（x-1）（x工的值域。

（

答案：

y工2

十二．不等式法

例6求函数Y=3x/（3x+1）的值域。

点拨：

先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：

易求得原函数的反函数为y=log

3[x/（1-x）],

由对数函数的定义知x/（1-x）>0

1-x工0

解得，Ovx<1。

二函数的值域（0,1）。

点评：

考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。

不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。

是数学解题的方法之一。

以下供练习选用：

求下列函数的值域

1.Y="（1§4x）+2x-5;（{y|y<}3）

2.Y=2x/（2x—1）。

（y>1或y<0）2