六年级奥数浓度问题讲义.docx
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六年级奥数浓度问题讲义
六年级奥数浓度问题讲义
一、专题引导：
什么是浓度呢？
（以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。
）
三者之间关系：
浓度＝×100％＝×100％
二、典型例题
例1、有浓度为30％的酒精溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24％的酒精溶液，如果再加入同样的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？
思路导航：
稀释问题是溶质的重量是不变量。
例2、有浓度为7％的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10％，需要加盐多少克？
思路导航：
溶剂重理不变。
[练习]海水中盐的含量为5％，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为2％？
例3、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？
思路导航：
混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。
[练习]配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？
例4、从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
思路导航：
反复三次后，杯中又已装满，即最后杯中盐水的重量仍为100克，由此；问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克？
[练习]①有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2％,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?
又问未加入水时盐水浓度是多少?
②有含糖6％的糖水900克,要使其含糖量加大到10％,需加糖多少克?
比和比例应用题
例4、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:
20:
1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？
思路导航:
单价比:
成年人:
儿童:
残疾人=3:
2:
1
人数比:
50:
20:
1
[练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？
例5、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。
已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:
6，乙商品与丙商品的数量之比为4:
11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。
思路导航:
根据已知条件可先求三种商品的数量比。
[练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:
4:
3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:
8:
7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？
例6、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。
当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？
思路导航:
根据已知条件
可知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。
[练习]P39-6
巩固:
1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:
5:
6，高之比是3:
2:
1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？
2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:
9:
10，高之比是2:
3:
4，对应的底之比是多少？
3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:
4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:
7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？
4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:
2，白球与黑球个数的比是3:
4，红球有多少个？
六年级秋季班第一讲找规律、计数
家教班、基础班作业
1．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？
请说明理由。
3． 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？
4． 分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？
5． 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。
问：
这种变速车一共有多少档不同的车速。
6． 一次考试五人的总分是423分，每人的分数都是整数，并且各不相同。
问得分最少的人，最多得多少分？
解析
7．1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？
请说明理由。
解答：
根据公式1＋
（注意：
切分平面的是直线而不是圆），
时，最多可将平面分成
块；
时，最多可将平面分成
块，所以至少要画10条直线。
2、
解答：
将分子和分母之和相等的分数看作一组。
每组分数的个数恰好是自然数的排列：
1，2，3…分数
位于分子和分母之和为57的那一组的第40个，这一组为：
共56个分数，这一组之前共有：
1+2+3+…+55=（1＋55）×55÷2=15401540＋40=1580（个）
3、有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？
解答：
从0~9中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1只能对应3107，所以用组合数，10个数字选4个，即
。
4、分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？
解答：
分子是1时，分母可取2~59，共58个分数；
分子是2时，分母可取60以内除1以外的所有奇数，共30-1=29个；
分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-60÷3-2=38个；
分子是4时，分母可取60以内除1、3以外的所有奇数，共28个；
分子是5是，分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数，共60-60÷5-4=44个；
由上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。
5、现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。
问：
这种变速车一共有多少档不同的车速
解答：
根据乘法原理，共有3×4=12种档位，但是48:
24=24:
12，48:
16=36:
12，4=24:
16，36:
36=24:
24，所以实际只有12-4=8种不同的车速。
6、一次考试五人的总分是423分，每人的分数都是整数，并且各不相同。
问得分最少的人，最多得多少分？
解答：
得分最少的人比其余四人，至少分别要少1，2，3，4分所以最少得分要
[423－（1＋2＋3＋4）]÷5=82.6分得分最少的人，最多得82分
提高班作业
1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？
请说明理由。
2、 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？
3、 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？
4、 分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？
5、 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。
问：
这种变速车一共有多少档不同的车速。
6、 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
解析
1. 解析：
根据公式1＋
（注意：
切分平面的是直线而不是圆），
时，最多可将平面分成
块；
时，最多可将平面分成
块，所以至少要画10条直线。
2. 解析：
根据公式
4×
，当
时，最多可将平面分成
块。
3. 解析：
从0~9中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1只能对应3107，所以用组合数，10个数字选4个，即
。
4. 解析：
分子是1时，分母可取2~59，共58个分数；
分子是2时，分母可取60以内除1以外的所有奇数，共30-1=29个；
分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-60÷3-2=38个；
分子是4时，分母可取60以内除1、3以外的所有奇数，共28个；
分子是5是，分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数，共60-60÷5-4=44个；
由上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。
5. 解析：
根据乘法原理，共有3×4=12种档位，但是48:
24=24:
12，48:
16=36:
12，4=24:
16，36:
36=24:
24，所以实际只有12-4=8种不同的车速。
6. 解析：
列表解题，第四个数=第一个数＋第二个数。
台阶
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
走法
0
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
37
精英班作业
1、将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？
请说明理由。
2、 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？
3、 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大、千位数字比百位数字大、百位数字比十位数字大？
4、 分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个？
5、 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮。
用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干不同的车速。
“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。
问：
这种变速车一共有多少档不同的车速。
6、 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
解析
1、解析：
根据公式1＋
（注意：
切分平面的是直线而不是圆），
时，最多可将平面分成
块；
时，最多可将平面分成
块，所以至少要画10条直线。
2、 解析：
根据公式
4×
，当
时，最多可将平面分成
块。
3、 解析：
从0~9中选定4个数字即可确定唯一一个符合条件的四位数，例如0、7、3、1只能对应3107，所以用组合数，10个数字选4个，即
。
4、 解析：
分子是1时，分母可取2~59，共58个分数；
分子是2时，分母可取60以内除1以外的所有奇数，共30-1=29个；
分子是3时，分母可取60以内除了3的倍数以及1、2以外的所有数，共60-60÷3-2=38个；
分子是4时，分母可取60以内除1、3以外的所有奇数，共28个；
分子是5是，分母可取60以内除了5的倍数以及1、2、3、4以外的所有数，共60-60÷5-4=44个；
由上可知，符合条件的真分数共计58+29+38+28+44=197个。
5、 解析：
根据乘法原理，共有3×4=12种档位，但是48:
24=24:
12，48:
16=36:
12，4=24:
16，36:
36=24:
24，所以实际只有12-4=8种不同的车速。
6、 解析：
列表解题，第四个数=第一个数＋第二个数。
台阶
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
走法
0
1
1
1
2
2
3
4
5
7
9
12
16
21
28
37
从算术到代数
（一）
算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.
在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系：
①部分数与总数的关系；
②两数差的关系；
③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：
交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立：
交换律：
a＋b=b+a，a×b=b×a
结合律：
（a+b）+c=a+（b＋c）
（a×b）×c=a×（b×c）
分配律：
a×（b+c）＝a×b+a×c.
另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：
和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.
代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：
1.设未知数.常用x，y，z，t，s，…等字母表示.
2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有n个相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.
3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如ax＝b的方程，进而解出
①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的
（1）变成
（2）.
例164+x=3（32-x）
（1）
64+x=96-3
（2）
x+3x=96-64（3）
4x＝32（4）
x=8.（5）
②移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的
（2）变成（3）.
③合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.
④用未知数的系数去除方程两端求出x的值.如上例中的（4）变成（5）.
4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.
先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.
例2车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔40元.这批玻璃运到后，车站共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.
解：
①算术解法：
假如设有损坏，2000箱玻璃全运到，则应得运货款：
2000×5=10000（元）.
和实际所得运货款相差：
10000-9190=810（元）.
现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数2000不变，但每换一箱所得运货款减少：
40＋5=45（元）
那么换多少箱，货款正好减少多出来的810元呢？
做除法：
810÷45＝18（箱）.
答：
共换坏了18箱.
②代数解法：
设损坏了x箱，则没损坏的共2000-x箱.
依题意列方程
5（2000-x）-40x=9190
45x=10000-9190
45x=810
x=18.
答：
损坏了18箱.
比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.
例3一年级72名学生共交了□52.7□元课本费，其中的百位数和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？
解：
72＝8×9，
又∵（8，9）=1
∴原数为25272分，
∴每人应交：
25272÷72=351（分）.
答：
每人交3.51元.
例4求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然数.
解：
∵该数被6除余4
（1）
又该数被10除余8
（2）
∴该数是偶数.
再从被9除余4的偶数中从小到大挑选符合条件
（1）、
（2）的数：
4，4＋9×2=22，22＋9×2=40，40+9×2=58，
又58÷6=9…4
58÷10=5…8
58÷9＝6…4
答：
58为所求最小自然数.
例5三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲送给乙、丙画片，所送的张数等于乙、丙各人已有的画片数；第二次由乙送给甲、丙画片，所送的张数等于甲、丙各人已有的画片数；最后由丙送给甲、乙画片，所送的张数也正好等于甲、乙各人已有的画片数.这时每人的画片数都是32张.问原来甲、乙、丙三人各有多少张画片？
解：
用倒推法.由最后每人都是32张画片开始，在下面表格里由上行到下一行逐行填写，可知在第三次丙送画片前，乙送完画片后三人手中的画片
（张）；同理，在第二次乙送画片前，甲送完画片后三人手中的画片数应分
…可推知原来：
丙有16张，乙有28张，甲有8＋28＋16=52（张）.
答：
原来甲有52张，乙有28张，丙有16张画片.
例6有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地.乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出20分钟，出发后1小时40分钟追上丙.那么甲出发后需用多少分钟才能追上乙？
解法1：
设三车速度依次为V甲，V乙，V丙.丙比乙早出发10分钟，乙追上丙耗40分钟，是典型的追及问题：
丙比甲早出发30分钟，甲追上丙耗100分钟，也是追及问题：
的某个倍数代入：
解法1既用了算术的追及问题公式，又用了列方程的代数方法.下面再介绍一种列表法，对解这类题更方便.
解法2：
我们把题中的条件按下列方式填入下面表格中：
让同一列格子中填行相同路程时甲、乙、丙三辆汽车各自所需的时间，如第一列中填入稍稍转化了的已知条件：
乙走40分钟的路程丙需走40＋10=50（分钟）；第二列中填入甲走100分钟的路程丙需用100＋20＋10=130（分钟）.以前两列中条件的关系，再根据当速度一定时路程与时间成正比的性质，当丙走650=[50，130]分钟的路程时乙需用40×13=520（分钟），甲则需用100×5=500分钟.由于乙比甲早出发20分钟，恰为520分钟与500分钟之差，因此甲出发后500分钟时追上乙.
答：
甲出发后需500分钟才能追上乙.
说明：
一般地，当知道丙走c分钟的路程与甲走a分钟、乙走b分钟的路程相等时，可列一方程求出所需的答案.设甲出发后ax分钟追上乙，则
在本题的条件下，c=650，a=500，b=520.
例7星期日小明去找同学玩了两三个小时，离开家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置.问小明共离开家多少时间？
解：
因为小明离家回来时时针走到分针位置，分针走到时针位置，说明两针合起来恰好走了若干个整圈.设外出时间分为二个时段，第一段为2小时.小明出去整2小时，分针就应转过2圈，转回原处，而时针两小时走了
习题九
1.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，求原来这个两位数与新得到的两位数的和.
2.一辆汽车在公路上匀速行驶，司机看见里程碑上的数字是一个两位数
再过一小时，里程碑上是三位数，又恰好是第一个两位数中间加了个零（用
3.在一个红钱包与一个黑钱包里分别装着6枚和8枚硬币，并且两个钱包中的总钱数相等.如果从红钱包中任取两枚硬币与黑钱包中任取的两枚硬币交换时，红钱包中的总钱数要么比原来多2分，要么比原来的钱数少2分.问两个钱包中共装了多少钱？
（注：
这里的硬币只有1分、2分、5分三种）
习题九解答
由题设条件应有
是某自然数的平方，由表达式11（a＋b）可知这个完全平方数既有一个约数11，就一定还有一个约数11，因此11是a+b的约数，而a、b又都只能取自1、2、3、…、8、9.故a+b＝11.
答：
原数与新数的和为121.
所以（10B＋A）-（10A+B）＝（100A+B）-（10B＋A）
即18B=108A，B=6A.
由于A、B都是一位非零数字，所以A＝1，B＝6.
答：
第一个里程碑上数字是16，第二个里程碑上数字是61，第三个里程碑上数字是106.
3.解：
我们先证明红钱包里不可能同时装有1分、2分、5分三种币值的硬币.因为否则，从红钱包里任取两枚硬币时，可能有2+1，2＋5，1+5三种情形.前两种是奇数，后一种是偶数.而从黑钱包里任取的二个硬币都能使红钱包的钱的奇偶性不变，这是不可能的.类似可知，红钱包里不能同时有2分币和1分币或2分币和5分币.因此红钱包中的硬币只有两种可能：
一是全为2分币；二是装有一分与五分币没有2分币.同理，黑钱包中或全为2分币，或其中没有2分币.并且，由于两钱包中钱数相等而硬币数不等，因此不可能红、黑钱包中都只有2分币.
情形1：
当红钱包中全为2分币时，总钱数为2×6=12分.此时显然黑钱包中不可能有两个或两个以上的五分币，也不可能都是一分币（否则红、黑钱包中装钱数不等）.因此黑钱包里有
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