椭圆定义及性质整合.docx
《椭圆定义及性质整合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆定义及性质整合.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
椭圆定义及性质整合
椭圆定义及性质的应用
一、椭圆的定义
椭圆第一定义
第一定义：
平面内与两个定点F「F2的距离之和等于常数（大于［FiF2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距^
★过点Fi作PF1F2的P的外角平分线的垂线，垂足为Q,则Q的轨迹方程为x2y2a2.
推导过程：
延长FiQ交F2P于M,连接OQ,
1,1
由已知有PQ为MFi的中垂线，则|PFi||PM|,Q为FiM中点，OQ-|F2M=-PF1PF2=a,
所以Q的轨迹方程为x2y2a2.（椭圆的方程与离心率学案第5题）
椭圆第二定义
第二定义：
动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e（0e1）,则动点M的轨迹叫做椭圆.
PFo
J--e（d为点P到右准线的距离），右准线对应右焦点，典中PF2称作焦半径k,左、右准线公式xd
椭圆的焦半径公式为：
PF1|aex0,PF2|aex0.
2
_,a1一
推导过程：
PF2ede—x0ae%;同理得PF1aex0.
c
简记为：
左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数
（离心率、焦点弦问题）例1：
（2010全国卷n理数12题）已知椭圆C:
22
xy
~22
ab
1（a>b>0）的离心率为吏,
2
过右焦点
F且斜率为k（k0）的直线与C相交于
A,B两点.若
uur
AF
uuu
3FB,则k
A.1
D.2
uuur
解法一：
A（Xi,y1），B（x2,y2）,「af
uuu
3FB，••y1
"设a2t,cJ3t,
2
4y24b20,直线AB方程为x
my■,3b.代入消去
4）y2273mbyb20,
y1y2
mTy1y2
2\3mb
b2
-2~m
21一,—
—,解得m—,则kJ2，
42
0.
解法二：
设直线
l为椭圆的右准线，e为离心率,
过A,B别作AA1,BB1垂直于
A,Bi为垂足，过B作BH垂
直于
A-
m,由第二定义得,
AA
AF
e
BBi
BF
AH
2m
2m
uuu-uur3m
由AF3FB，得AA—e
AB
4m，则cosBAH
k0.故选B.
AH
AB
_e_
4m
1
2e
tanBAH
（离心率、焦点弦问题）例2:
倾斜角为一的直线过椭圆
6
2x
2a
2
y-1（ab0）的左焦点工F,交椭圆于A,Bb2
两点，且有AF|3BF,求椭圆的离心率
解法一：
AF,BF为左焦点上的焦半径，所以过
A,B两点分别作垂直于准线的直线且和准线.交于
A,B两点,
从iB点作
BH
AA.因为AF
3BF|，
设BFm,则AF3m,AB4m,又因为
AFBF
AA1BB1
e，则BB1
BF
m,AA1e
—AH
BAH—,所以CH
6AB
3
2
解得e
解法二：
如图，设BF
m,AF
AF1F2中，由余弦定理得cos—
6
33cm
2G5
2b6am①，cos—6
2m2c
化简得,
2b2
m竺，代入①解得
3a
椭圆第三定义
2
第三定义：
在椭圆与
a
2yb2
1（ab
0）
中，A,B两点关于原点对称,
P是椭圆上异于A,B两点的任意
一点，右kPA,kPB存在，则kPAkPB
b2
a
推导过程:
P（x,y）,A（Xi,yi）,则
1.（反之亦成立）.（★焦点在
丫轴上时，椭圆满足kPAkPB
2
X
B（X1,y1）.所以-a
2yb2
2Xi
2
a
2y1b2
②；由①一②得
22
XX1
2
a
22
yy1
b2
2
y
2
X
2
y1
2
X1
b2
2,所以kPAKpba
yi
XX1
yVi
XX1
2
y
2
X
2
V1
2
X1
2
例1:
已知椭圆3a
2
b21（a
0）的长轴长为4,若点P是椭圆上任意一点，过原点的直线
l与椭圆相交与
M,N两点，记直线PM,PN
，…、1,，、一
的斜率分别为k1,k2.若k1k2一,则椭圆的方程为
4
2
X2
—y21.【解析】解法一:
4
222
P（X,y）,MM』），则N（%,yj,因为今11,则y2b2（1得）,aba
y12b2（1
2
X1
ki
k2
yy〔yy1
xx1xx1
22
yy1
22
xx1
b2（1S）b2（1
2
X1
2
椭圆方程为—
4
1.
解法二：
由第三定义知
1一，，一、…
1,且2a4,则则椭圆方程为
4
2
例2:
已知椭圆L
4
2y
3
1（a
2
A）
a
1.且2a4,则
y21.
b0）的左右顶点分别为A,A2,点P在椭圆上，且直线PA2的斜率的取值范围
是[2,1],那么直线PA的斜率的取值范围是
一33.一一
[―,—].【解析】设PA1,PA2的斜率分别为4*2,则匕k2
8412
b2
-2a
__33.
[2,1]所以k1[—,—].
84
二、椭圆的性质
焦点三角形
椭圆焦点三角形的边角关系：
F1F22c,PF1
PF22a,周长为
2a
2c.设
F1PF2
（1）
当点P处于短轴的顶点处时，顶角最大;
（3）
（4）
PF1PF2
SPF1F2
PF1F2
推导过程:
2b2
1cos
.2.
btan—；
2
SB1F1F2
（1）cos
a2,当且仅当PF1
2cbbc,当且仅当
PFj2|PF2p4c2
2PF1IPF2
当X00时，cos有最小值
（2）cos
则有,
PF2时取等号;
PF1
PF2时取等号
22
ae%ae%
292
a2,即F1PF2
a
|PFj2|PF2|24c2
2|PFjIPF2I
，2PF1PF2cos
2b2
4c2
22
4a24c2
PF1PF2
1cos
1cos
2a2
222
2a2e0x0
1,
最大;
PF1
2b2
1cosmax
PF1
PF24c2
2b2
2n,（当点P为短轴
12cos231
2
顶点时取得最大值0,此时cos—
2
代入化简得PF1PF2
2b22
a
1cos
S12b2
⑶由
（2）得SPF1F22r^cos
sin
b2
2cos2一
2
2sin—cos-
22
b2tan—
2.
（离心率问题）例1.已知Fi,F2分别是椭圆
2xC：
-
a
1（ab0）的左右焦点，椭圆C上存在一点P,使
得F1PF290,则椭圆C的离心率的取值范围是
B位于短轴的交点处，由题意得F1BO45,
[亚1）【解析】解法一：
在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点
2，
所以FOOB，即c
b,解得e[—,1）.
2
解法二：
设P（x,y）,由题意得椭圆C上存在一点
uur
P，使得F1P
uurn
F2P，即（xc,y）（x
c,y）0,化简，得
22
x2y2c2,与斗、1联立，消去y得x2
ab
2222
ac2a2b,由椭圆范围知0x2a2,即
ab
c2a2,解得e[—,1）.
2
222,2
0ac2a2ba2,化简得b2
ab
0）的左右焦点，椭圆C上存在一点P,使得
F1PF2为
22
变式1：
已知F1，F2分别是椭圆C:
x2-y2-1（aa2b2
钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是
（孝/）【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B位于短轴的交点处，F1P52为钝角,
所以
F1BO45,
所以FOOB,即cb,解得e（―1）.
2，
22
使得
变式2：
已知巳下2分别是椭圆c：
与41（ab0）的左右焦点，椭圆C上存在一点P,a2b2
F1PF260（变式3：
F1PF2120）,则椭圆C的离心率的取值范围是
1
[―,1）【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点2
B位于短轴的交点处，由题意得F1BO30,
c
所以sinF1BO—sin30a
r1
[一，1）.变式3:
e
2
片,1）.
2
（离心率问题）例2.已知F1,F2是椭圆C：
勺a
2
-y21（abb2
0）的左右焦点，若在直线x
使得线段PFi的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是
♦H
e[0）【解析】PF22c,PF23
F2H
2c
c解得：
e
（焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆
2
x
25
1,
Fi、
F2为焦点，点
SF1PF2.
解法一：
设PF〔
m,
PF2
n,
有mn10
2_2
4c64m
n2mn,则64（m
n）2
3mn
100
解法二：
S
PF1F2
b2tan—9tan—
3.3.
（焦点三角形面积问题）
2yb2
F2（c,0）,则ABF2的最大面积为
停1）.
P为椭圆上一点,
在PFiF2
12,则SF1PF2
F1PF2一,求
3
由余弦定理得
1■—
一mnsin-33.
1（ab0）中心的直线与椭圆交于A,B两点，右焦点为
bc【解析】由题意得A,B关于原点对称，则有SABF2SAF1F2,故当A位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc.
22
（焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆二工1的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,
（1）
（2）
94
在椭圆上满足PF1PF2的点P的个数是？
PE||PF2的最大值是？
F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是?
【解析】
（1）画图知，所求点的个数即为圆
y2c2与椭圆的交点个数，由于cJ5
（2）解法一：
设PFi
m,PF2
n,则有m
6,PFi||PF2
mn（——2
等号.解法二：
由性质得
PF1PF21
2b2
cos
2b2
1（COS）min
2b
12cos
最大值，此时cos—
2
b，…口
一），代入化简得
a
PFi
PF221cos
（3）如图所示,
y2c2与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为
P（xo,yo）,此时
F1PF2一,设PF1
2
m,
PF2In,则有mn6,
y。
2c
4c2
20,解得m4,n2（或m2,n4）,由等面积法得
b2,故有4个点.
9
P为短轴顶点时取得
当且仅当mn时取
0
mn
2
则y。
4222
京,则由勾股te理得（cXo）y。
n,解得
3
X。
寿'则由对称性可知，点P
的横坐标的取值范围是（3■⑤
（焦点三角形中与距离最值有关的问题）：
注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法:
（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；
（2）两边之差小于第三边.
焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；
★若点A为椭圆内一定点，点P在椭圆上，则有：
AF1PA|PFjAF1
.（三角形三边关系）
★若点A为椭圆内一定点，点P在椭圆上，则有:
2aAF1PA
推导过程：
连接AP,AF1,PF1,
PF2
2aAF1.
由三角形三边关系得
AFi|PA
则有2a|AFiPA|PF22a
经过椭圆焦点的弦是焦点弦
（1）焦点弦长可用弦长公式求
AB
、2
x1x2）4x1x2
*
（2）
12a
*（3）
（4）
PFi||AFi|,
AFi（椭圆定义的应用，三角形三边关系）
焦点弦
设焦点弦所在的直线的倾斜角为
丽南m（F为某一焦点）
ABF2的周长为4a.
ccos
（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1:
（2010全国卷
n理数12题）已知椭圆
2
C2
a
2
b1（a
b0）
的离心率为昱,过右焦点F且斜率为k（k0）•的直线与C相交于A,B两点.若
2
uuruurr
AF3FB，则k
A.1
B..2
C.3
D.2
B【解析】解答题解法：
A（x,y1）,B%,y2）,「
uuurAF
uurr
3FB，.二/3y2,•••e
—，设a2t,c2
2.2
4y4b0,直线AB方程为
myJ3b.代入消去
2
，一（m
4）y2
2.3mby
y1y2
2、.3mb
-27
m4
y〔y2
b2
-2m
c2
3y2
b2
-2~~m
k0.
中点弦
2xAB是椭圆C:
-2a
2yb2
1（ab
0）的任意一弦，
kABkOP
b22
2e
a
1.
p是
证明：
令A。
y,Bx2,y2,P%,丫。
贝UXiX2
2
Xo，
yiy2
y。
，
2Xi~2a
2X2-2a
yi2
y22
于
x1x2.x1x2
ViV2.ViV2
b2
0,
yiy2
XiX2
b2a
XiX2
yi
V2
kOP
yiy2
XiX2
b2kOP-2.
a
2
例i：
过点M（2,i）作一条直线l交椭圆上
i6
2
Li于点AB,若点M恰好是弦AB的中点，求直线l的方程.9
【解析】解答题步骤：
解法一（点差法）：
由题意得直线l有斜率，设其斜率为k,A（Xi,yi）,B（X2,y2）,M（X0,y。
），
代入椭圆方程，有
2222
、卫i,2旦i,两式作差得Xi-X2yiy2.yiy20,
i69i69i69
jW々，即ki
%x2X。
i62
99
一，则k—.则直线l的方程为yi
i68
9
—（x2）,即9x8y260.
8
解法二（代入法）：
由题意得直线l有斜率，设其直线方程为yi
22
k（x2）,得ykxi2k,代入人上ii69
得（9i6k2）x232k（i2k）xi6（i2k）2i440,则％x2
则直线l的方程为9x8y260.
这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想
32k（i2k）
9i6k2
2x0
4,解得k
切线及切点弦
切线方程：
（1）设P（X0,y0）为圆x2y2r2上一点，则过该点的切线方程为：
x°xy°yr2；
（2）设P（x0,y0）为椭圆勺y-i（ab0）上一点，则过该点的切线方程为：
警上0yl.
a2b2a2b2
切点弦方程:
（i）设P（X0,y0）是圆x2y2r2外的一点，过点P作曲线的两条切线，切点M、N,则切点弦MN所在直线
2
万程为X0Xy°yr；
（2）设P（x0,y0）是椭圆外的一点，过点P作曲线的两条切线，切点M、N，则切点弦MN所在直线方程为
例1：
以x2y24上的点P（1,J3）为切点的切线方程为
【解析】解法一：
由题意得切线有斜率，设切线方程为
y.3
k（x1）,贝Ukxy
J3k0,则有
-3.
2,解得k—,则切线方程为x阴y
3
40.
解法二：
点p（1,J3）为切点，由公式得，切线方程为1
4,即xJ3y4
0.
223
例2:
以二匕1上的点P（1,—）为切点的切线方程为
432
【解析】解法一：
由题意得切线有斜率，设切线方程为
1k（x
1）,
22
代人士X
43
（34k2）x24k（32k）x4k212k30,则有
16k2（3
2k）2
4（34k2）（4k212k3）0,解
…1•、一一-一
得k―,则切线方程为x2y40.
2
一，，3、,
解法二：
点p（1，a）为切点，由公式得，切线方程为1
3
-y
2
3
1,即
x2y40.
★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.
2
2a
a——y
推导过程：
设M——，y°,则AB的方程为cxy0yd
C2F1
ab
即x为2y1必过点c,0.
cb
★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上
光学性质
★椭圆的光学性质：
过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点
★椭圆上一个点P的两条焦半径PFi,PF2的夹角F1PF2被椭圆在点P处的法线平分.（入射光线、反射光线、
镜面、法线）
已知：
如图,
2
椭圆C的方程为与a
2y_b2
1,Fi,F2分别是其左、右焦点，l是过椭圆上一点P（x0,y0）的切线,
l'为垂直于求证：
l且过点P的椭圆的法线，交
x轴于D,设F2PD
F1PD
2
证明：
在C:
当a
2y_b2
1上，P（xo,y°）
C,
则过点P的切线方程为:
x°x
-2~
a
建1,l'是通过点b
P且与切线l垂直的法线，
则l’:
凯令）%心
3），a
，法线l'与x轴交于D（（c）a
x0,0）■）
2
c
•-|FiD|—x0c,|F2D|
a
Xo，•
.|FiD|
IF2DI
2
a2cx°,又由焦半径公式得:
acx0
|PFi|aexo,|PF21a
90
|FiD||PFi||F2D||PF2|,故可得
，PD是F1PF2的平分线,
2
例1.已知椭圆方程为—
25
2
■y—1,若有光束自焦点A（3,0）射出，经二次反射回
16
到A点，设二次反射点为B,C,如图所示，则DABC的周长为
2
20【解析】：
二.椭圆方程为—
25
2
—1中，c225169,
16
・•.A（3,0）为该椭圆的一个焦点，，自A（3,0）射出的光线AB反射后，反射光线
BC定过另一个焦点A（-3,0）,故DABC的周长为:
ABBA'A'CCA
4a4520.
升级会员 