9极限的计算两个重要极限.docx

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模块基本信息

一级模块名称

函数与极限

二级模块名称

计算模块

三级模块名称

极限的计算---两个重要极限

模块编号

1-9

先行知识

极限的计算---常用计算方法

模块编号

1-8

知识内容

教学要求

掌握程度

1、两个重要极限的证明

1、理解两个重要极限

一般掌握

2、型极限的计算（第一个重要极限公式）

2、熟练掌握简单的利用两个重要极限公式求函数的极限

3、型极限的计算（第二重要极限公式）

3、一般掌握较复杂的利用两个重要极限求函数的极限

能力目标

1、培养学生的计算能力

2、培养学生对知识的归纳能力

时间分配

45分钟

编撰

陈亮

校对

王清玲

审核

危子青

修订

熊文婷

二审

危子青

一、正文编写思路及特点：

思路：

通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。

让学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。

特点：

以两个重要极限的基本模型为基础，对类似的两个重要极限进行转换计算，让学生在对同类型的极限进行计算过程中，掌握利用两个重要极限进行相关计算。

二、授课部分

（一）预备知识

型极限的计算

（二）新课讲授

1、无穷小的定义

定义：

如果当（或）时,函数的极限为零，那么函数就称为（或）时的无穷小量（简称为无穷小）。

引例

（说明：

当时，均为无穷小量.）

2、（第一个重要极限）

（选讲）证明思路：

函数的夹逼准则

由于为型极限，之前我们有因式分解法，而对于显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解法。

首先注意到,函数对于一切x¹0都有定义.

如右图，图中的圆为单位圆,BC^OA,DA^OA.圆心角ÐAOB=xO

C

A

D

B

1

x

（0

显然sinx=CB,x=,tanx=AD.因为

SDAOB

所以

sinx

即sinx

不等号各边都除以sinx,就有,或.

注意：

此不等式当-

根据夹逼准则得.

使用说明:

在极限中,只要是无穷小,就有.

例1.求.（一级）

解:

例2.求.（一级）

解:

.

例3.求.（二级）

解:

=

（选讲）例4.求.（三级）

解：

令，则

.

3、（第二个重要极限）

考虑特殊情况.对n取不同正整数，可得数列的取值的表格如下：

n

1

2

3

10

20

30

100

2

2.594

2.653

2.658

2.705

（注：

表格中算出的值均为无理数）

根据上述的表格，可得以下结论：

⑴数列单调、有界；

⑵数列的极限存在；

⑶数列的极限为无理数.

使用说明：

在极限中,只要是无穷小（型极限），就有.

例5.求.（一级）

解:

令t=n,则n®¥时,t®¥.于是

.

或

例6.求.（一级）

解:

令则x®0时,t®¥.于是

.

注：

为的等价形式.

例7.求.（二级）

解:

令则x®¥时,t®¥.于是

（选讲）例8.求.（三级）

解：

注：

例6、例7和例8中的函数均为幂指函数，幂指函数形如.若，则.

三、能力反馈部分

（一）第一个重要极限

（1）（一级）

（2）（一级）

（3）（二级）

（4）（三级）（选做）

（二）第二个重要极限

（1）（一级）

（2）（二级）

（3）（二级）

（4）（三级）（选做）