北京市高考石景山区一模试题及答案(理数).doc
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2012年石景山区高三统一测试
数学（理科）
第Ⅰ卷选择题
一、选择题：
本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合,，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
圆的圆心坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．执行右面的框图，若输入的是，
则输出的值是（）
A．
B．
C．
D．
6．若展开式中的所有二项式系数和
为512，则该展开式中的常数项为（）
A．
B．
C．
D．
7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）
A．
B．
C．
D．
A
C
B
D
P
8．如图，已知平面，、是上的两个
点，、在平面内，且
，，在平面上有一个
动点，使得，则体积
的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题：
本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．设向量，且，则=．
10．等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=________．
B
A
E
D
F
C
11.如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆
相切交延长线上于点，若，
，则线段的长为．
12．设函数的最小值为，则实数的取值范围是．
13．如图，圆内的正弦曲线
与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机
往圆内投一个点，则点落在区域内的
概率是．
14．集合
现给出下列函数：
①，②，③，④，
若时，恒有则所有满足条件的函数的编号是．
三、解答题：
本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，角，，所对应的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积.
（本小题满分13分）
甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
17．（本小题满分14分）
C1
A1
C
B1
A
B
D
如图，三棱柱中，⊥面，，
，为的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？
请证明你的结论.
18．（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.
19．（本小题满分13分）
已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，
短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的
面积为，求直线的方程．
20．（本小题满分13分）
若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点（）在函数的图像上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式；
（Ⅲ）记，求数列的前项和，并求使
的的最小值．
2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案
一、选择题：
本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题：
本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
①②④
三、解答题：
本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）因为，由正弦定理，得
．…………2分
∴．……4分
∵,∴，
∴．又∵ ，∴．…………6分
（Ⅱ）由正弦定理，得，…………8分
由可得，由，可得
，…………11分
∴．…………13分
16．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）的可能取值为：
0，1，2，3．…………1分
的分布列如下表：
0
1
2
3
…………4分
．…………5分
（Ⅱ）乙至多投中2次的概率为．…………8分
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，
乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，
则为互斥事件．…………10分
．
所以乙恰好比甲多投中2次的概率为．…………13分
17．（本小题满分14分）
（I）证明：
连接B1C，与BC1相交于O，连接OD．…………1分
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，∴OD//AB1．
∵AB 1面BDC 1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1．…………4分
A1
A
C1
z
x
y
C
B1
B
D
（II）解：
如图，建立空间直角坐标系，
则C1（0，0，0），B（0，3，2），
C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0），
，，…………5分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取.…………7分
易知是面ABC的一个法向量.…………8分
.
∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………9分
（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则，…………10分
则，即.…………12分
解之∴方程组无解.…………13分
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.…………14分
18．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）…………1分
由已知，解得.…………3分
（II）函数的定义域为.
（1）当时,，的单调递增区间为；……5分
（2）当时.
当变化时，的变化情况如下：
-
+
极小值
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是.…………8分
（II）由得，…………9分
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，
即在上恒成立.
即在上恒成立. …………11分
令，在上，
所以在为减函数.,
所以.…………14分
19．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由题意，-------1分
解得.------------2分
即：
椭圆方程为------------3分
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，
此时不符合题意故舍掉；-----------4分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：
，
代入消去得：
.------------6分
设，则，-----------7分
所以.------------9分
原点到直线的距离，
所以三角形的面积.
由，------------12分
所以直线或.---------13分
20．（本小题满分13分）
解：
（I）因为
所以数列是“平方递推数列”.--------2分
由以上结论，
所以数列为首项是公比为2的等比数列.--------3分
（II），
.--------5分
，
.--------7分
（III）
.--------10分
.--------13分
[注：
若有其它解法，请酌情给分]
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