九年级上第04讲 一元二次方程的应用 讲义+练习.docx
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九年级上第04讲一元二次方程的应用讲义+练习
一元二次方程的应用
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
一元二次方程的应用
教学目标
1.掌握实际问题的类型（传播问题、百分率问题）及解题的具体步骤.
2.掌握实际问题的类型（经济利润问题）.
3.掌握实际问题的类型（裁边分割问题）及解题的具体步骤.
教学重点
一元二次方程解决传播问题、百分率问题、经济利润问题、面积问题.
教学难点
如何寻找更加直接的等量关系来建立问题的方程.
●我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？
要求学生回答：
①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程（组）；④解方程（组）；⑤检验并写出答案．
●知识回顾
1．一元二次方程有哪些解法？
（要求学生答出：
开方法、配方法、公式法、因式分解法．）
2．回忆一元二次方程解的情况．
（要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．）
传播问题应用公式：
a（1＋x）n=A，a表示传播之前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的天数或轮数，A表示最终的总人数
增长率问题公式：
a（1＋x）n=b（其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量）
销售问题中常出现的量有：
进价、售价、标价、利润等
有关关系式：
利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价=成本×利润率
利润率=（售价一成本）÷成本
售价=成本×（1＋利润率）．
几何图形一般从面积（或体积）相等方面找等量关系，有关的面积（或体积）公式：
①面积公式：
S长方形=ab，S正方形=a2，S圆=
，S三角形=
ah；
②体积公式：
V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱=
，V圆锥=
．
类型一传播问题
例题1
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1＋x＋x（x＋1）=64，x=7或x=－9（舍去）．
答：
每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×7=448（人）．答：
第三轮将又有448人被传染．
晨怡学校有4名学生参加黄冈市2012年12月15日语数英三科测评，另一兄弟学校有n名学生参加测这次测评，考试结束后，两校学生和双方各一名领队老师一起照了一张合影，然后每个学生又单独照了一张，按大家的要求，老师对摄影师说：
“合影照要每人一张，学生之间还要相互交换相片，即每个学生除了自己的一张照片外，还要有其他每个学生的一张照片．”这样，摄影师共冲洗了112张相片，则n=6
1、．
【答案】由题意得（n＋4）（n＋4）=112－（n＋4＋2），解得n1=6，n2=－15（不合题意舍去）．
类型二增长率问题
某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【答案】
（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：
1280（1＋x）2＝1280＋1600，
解得：
x＝0.5或x＝﹣2.25（舍），
答：
从2014年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：
1000×8×400＋（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：
a≥1900，
答：
今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
类型三利润问题
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：
（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【答案】
（1）80－x，200＋10x，800－200－（200＋10x）；
（2）根据题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800=9000，
整理，得x2－20x＋100=0，解这个方程，得x1=x2=10．
当x=10时，80－x=70>50．
答：
第二个月的单价应是10元．
类型四几何问题
某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图14所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？
如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【答案】
（1）苗圃园与墙平行的一边长为（30－2x）米．依题意可列方程
x（30－2x）＝72，即x2－15x＋36＝0．2分
解得x1＝3，x2＝12．4分
（2）依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面积S＝x（30－2x）＝－2（x－
）2＋
（6≤x≤11）．
①当x＝
时，S有最大值，S最大＝
；6分
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×（30－22）＝88．8分
（3）令x（30－2x）＝100，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝10．10分
∴x的取值范围是5≤x≤10．12分
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q两点运动的时间为x（秒），△APQ的面积为S（平方单位）．
（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是4
秒．
（2）当S=
时，求x的值．
（3）当△AQP为锐角三角形时，直接写出x的取值范围．
【答案】
（1）（4×2＋2×2）÷（2＋1）=4．
（2）当0≤x≤2时，S=
•x•2x=x2=
，x=±
，∴x=
；
当2＜x≤3时，S=4×2－
×2×（x－2）－
×4×（2x－4）－
×（6－x）×（6－2x）=－x2＋4x=
，x=2±
，∴x=2＋
．
当3＜x≤4时，S=
×2×（12－3x）=12－3x=
，∴x=
（舍去），∴此时不存在．
综上所述，x=
或2＋
时，S=
．
（3）当△AQP为锐角三角形时，2＜x＜6－2
．
1.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2017年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 _____ ．
2.在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：
本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．
（1）求2014年全校学生人数；
（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：
阅读总量=人均阅读量×人数）．
①求2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2．5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
3.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为____万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
（盈利=销售利润+返利）
答案与解析
1.100（1＋x）2＝169
2.【答案】
（1）由题意，得2013年全校学生人数为1000×（1＋10%）=1100人，
∴2014年全校学生人数为1100＋100=1200人；
（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x＋1）本，
由题意，得1100（x＋1）=1000x＋1700，
解得x=6．
答：
2012年全校学生人均阅读量为6本；
②由题意，得2012年读书社的人均读书量为2．5×6=15本，2014年读书社人均读书量为15（1＋a）2本，2014年全校学生的读书量为6（1＋a）本，
80×15（1＋a）2=1200×6（1＋a）×25%，
2（1＋a）2=3（1＋a），
∴a1=－1（舍去），a2=0．5．
答：
a的值为0．5．
3.【答案】
（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：
27-0.1×2=26.8，
故答案为：
26.8；
（2）设需要售出x部汽车，
由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元），
当0≤x≤10，
根据题意，得x（0.1x+0.9）+0.5x=12，
整理，得x2+14x-120=0，
解这个方程，得x1=-20（不合题意，舍去），x2=6，
当x＞10时，
根据题意，得x（0.1x+0.9）+x=12，
整理，得x2+19x-120=0，
解这个方程，得x1=-24（不合题意，舍去），x2=5，
因为5＜10，所以x2=5舍去，
答：
需要售出6部汽车．
巩固
1.甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；
（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；
（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．
2.某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满。
客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元。
（1）填表（不需化简）
入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
60×20
提价后
___
___
___
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客,则每间客房的定价应为多少元?
（纯收入=总收入−维护费用）
3.如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：
CD=5：
4，另外三边的和为20米．设AB的长为5x米．
（1）请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；
（2）若该花圃的面积为50米2，且周长不大于30米，求AB的长．
答案与解析
1.【答案】解：
（1）设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500-x）元，
根据题意得：
90%?
（1+30%）x+90%?
（1+20%）（500-x）-500=67，
解得：
x=300，
500-x=200．
答：
甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
（2）∵乙服装的成本为200元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，
∴设每件乙服装进价的平均增长率为y，
则200（1+y） 2=242，
解得：
y1=0.1=10%，y2=-2.1（不合题意舍去）．
答：
每件乙服装进价的平均增长率为10%；
（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调，
∴再次上调价格为：
242×（1+10%）=266.2（元），
∵商场仍按9折出售，设定价为a元时，
0.9a-266.2＞0，
解得：
a＞
．
故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．
2.【答案】解：
（1）∵增加10元,就有一个房间空闲,增加20元就有两个房间空闲,以此类推,空闲的房间为
，
∴入住的房间数量=60−
房间价格是（200+x）元,总维护费用是（60−
）×20.
故答案是：
60−
;200+x;（60−
）×20；
（2）依题意得：
（200+x）（60−
）−（60−
）×20=14000，
整理，得
x2−420x+32000=0，
解得x1=320,x2=100.
当x=320时,有游客居住的客房数量是：
60−
=28（间）.
当x=100时,有游客居住的客房数量是：
60−
=50（间）.
所以当x=100时,能吸引更多的游客,则每个房间的定价为200+100=300（元）.
答：
每间客房的定价应为300元。
3.【答案】
（1）作BE⊥AD于E，
∴∠AEB=∠DEB=90°．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°．
∵BC∥AD
∴∠EBC=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD，BC=DE．
∵AB：
CD=5：
4，AB的长为5x，
∴CD=4x，
∴BE=4x，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=3x．
∵BC=20－5x－4x=20－9x，
∴DE=20－9x，
∴AD=20－9x＋3x=20－6x．
（2）由题意，得
，解得x1=
，x2=1，
由20−9x＋20−6x＋4x＋5x≤30，得x≥
，∴x=
，AB=5×
=
．
拔高
1.如图，正方形ABCD的边长为10cm，点P从A开始沿折线A→D→C以2cm/s的速度移动，点Q从D开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，△PQB为直角三角形；
（2）t为何值时，△PQB面积为正方形ABCD面积的
？
2.如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为
？
若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1.【答案】
（1）要使△PQB为直角三角形，则需PB2＋PQ2=BQ2或BQ2＋PQ2=PB2，
∵PB2=102＋（2t）2，PQ2=t2＋（10－2t）2，BQ2=102＋（10－t）2，
即8t2－20t=0或t2－30t＋100=0，∴t=0或t=
或t=（15－5
）．
（2）①当0≤t≤5时，25=t2－10t＋50，解得t=5；
当5＜t＜10时，25=50－5t，解得t=5（舍去）．
∴t=5时，△PQB面积为正方形面积的
．
2.【答案】
（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
．
根据题意，得BP=6－2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有
（t＋6－2t）×2=12×
，解得t=
；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为
．
①当0＜t≤3时，则有（6－2t－t）2＋4=5，解得t=
或
；
②当3＜t≤4时，则有（8－2t）2＋t2=5，得方程5t2－32t＋59=0，此时△＜0，此方程无解．
综上所述，当t=
或
时，点P与点Q之间的距离为
．
1、列方程解应用题时，要善于将普通语言化为数学语言，审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
2、注重解法选择与验根，在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别注意要对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性。
基础
1.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后，
便不能再跌,叫做跌停。
已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价。
若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是（）
A. （1+x）2=
B. （1+x）2=
C. 1+2x=
D. 1+2x=
2.为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：
一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交
元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
答案与解析
1.【答案】B
2.【答案】根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得20＋
（80－a）=35，
即a2－80a＋1500=0，解得a1=30，a2=50．由4月份用电45千瓦时，交电费20元，所以a≥45，∴a=50．
（1）设月用电量为x千瓦时，交电费y元，则
y=
∵5月份交电费45元，
∴5月份的用电量超过50千瓦时，
∴20＋0.35（x－50）=45，解得x=100．
答：
a的值为50；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时．
1.端午节期间,某食品店平均每天可卖出300只粽子,卖出1只粽子的利润是1元。
经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子。
为了使每天获取的利润更多,该店决定把零售单价下降m（0（1）零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出___只粽子，利润为___元。
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多?
2.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？
（注：
所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
3.“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？
”
对这个问题，我们可以作这样的假设：
第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；…依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有45×44次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了
=990次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”．
（1）若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了次手．
请灵活运用这一知识解决下列问题．
（2）一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息，这个QQ群中共有多少个好友？
（3）已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？
（4）利用（3）的结论解决问题：
已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形ABCD，图中共有①多少个矩形？
②多少个正方形？
答案与解析
1.【答案】
（1）当零售单价下降0.2元后,可卖出300+100×2=500（个），
利润为：
500×（1−0.2）=400（元），
故答案为：
500，400；
（2）当零售单价下降m时,利润为：
（1−m）（300+100×m0.1），
由题意得,（1−m）（300+100×m0.1）=420，
解得：
m=0.4或m=0.3，
可得，当m=0.4时卖出的粽子更多。
答：
m定为0.4时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多。
2.【答案】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30－2x）（20－x）=532．
整理，得x2－35x＋34=0，解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．
答：
小道进出口的宽度应为1米．
3.【答案】
（1）
；
（2）设这个QQ群中共有n个好友，依题意，得
=756，解得n=28．
答：
这个QQ群中共有28个好友；
（3）
=10．答：
一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有10条线段；
（4）①图中AD上有6个点，可得AD上有
=15条线段；AB上有5个点，可得AB上有
=10条线段．而AD上任意一条线段与AB上任一条线段“握手”，都会构成一个矩形，所以图中共有mn=15×10=150个矩形；
②AD上的线段与AB上的线段“握手”时，要构成正方形，就要去“握手”的两条线段必须相等．如下表：
线段长度
AD上的条数
AB上的条数
“握手”次数
1
5
4
5×4=20
2
4
3
4×3=12
3
3
2
3×2=6
4
2
1
2×1=2
由表中可得，共“握手”20＋12＋2=40次，即图中共有40个正方形．
1.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：
m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
2.为丰富居民业余生活，某居民区组
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