一元一次方程学生讲义.docx

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一元一次方程学生讲义

3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

知识点1

定义1：

含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程：

只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.例如：

1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

1、如果（m-1）x|m|+5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．

2、下列各式：

①3x+2y=1②m-3=6③x/2+2/3=0.5④x2+1=2⑤z/3-6=5z⑥（3x-3）/3=4⑦5/x+2=1⑧x+5中，一元一次方程的个数是（　　）

Ａ、1　　Ｂ、2　　Ｃ、3Ｄ、4

3、若（a－1）x|a|＋3＝－6是关于x的一元一次方程，则a＝＿＿；x＝＿＿＿。

知识点2

方程的解：

使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.

注：

⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

1、若x=1是方程k（x-2）=2的解，则k=．

2、（2009·芜湖）已知方程3x

-9x+m=0的一个根是1，则m的值是。

解：

把x=1代入原方程，得3×

-9×1+m=0，

解得m=6

答案：

6

3、y=1是方程

的解，求关于x的方程

的解。

4、（2004·吉林）已知m是方程

-x-2=0的一个根，则代数式

的值等于____.

3.1.2等式的性质

    等式的性质

（1）：

等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.

    等式的性质

（1）用式子形式表示为：

如果a=b，那么a±c=b±c

（2）等式的性质

（2）：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质

（2）用式子形式表示为：

如果a=b，那么ac=bc;如果a=b（c≠0），那么

=

1、等式2-

=1变形，应得（）

A．6-x+1=3B．6-x-1=3C．2-x+1=3D．2-x-1=3

五、解方程的一般步骤

1.去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）

2.去括号（按去括号法则和分配律）

3.移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）

4.合并（把方程化成ax=b（a≠0）形式）

5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=

）.

1、要解方程4.5（x+0.7）=9x,最简便的方法应该首先（　　　）

Ａ、去括号　　Ｂ、移项　Ｃ、方程两边同时乘以１０　　Ｄ、方程两边同时除以4.5

分析：

由于９是4.5的２倍，所以选择Ｄ最简便．

2、解方程

解：

去括号　　８x－２０x＋６＝８－４x＋６

移项　　　８x－２０x＋４x＝８＋６

－６

合并　　　　　　　　－８x＝８

系数化为１　　　　　　　x＝－１

3、如果

那么

等于（）

（A）1814.55（B）1824.55（C）1774.45（D）1784.45

分析与解：

移项，得2005-200.5+20.05=x，解得：

x=1824.55.答案为A.

4、（2008·江苏）解方程：

解：

去括号，得

移项、合并同类项，得-x=6

，

系数化为1，得x=-6

5、（2003·黄州）解方程：

.

6、解方程

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

3.4实际问题与一元一次方程

（1）用方程思想解决实际问题的一般步骤

1.审：

审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．

2.设：

设未知数（可分直接设法，间接设法）

3.列：

根据题意列方程．

4.解：

解出所列方程．

5.检：

检验所求的解是否符合题意．

6.答：

写出答案（有单位要注明答案）

（2）有关常用应用类型题及各量之间的关系

1.和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2.等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

3.调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

（1）有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？

（2）某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组7人还余1人，若每组8人还缺6人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？

4.数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c.

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

（1）已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？

（2）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小5，若此两位数的两个数字位置交换，得一新两位数，那么新两位数与原两位数大45，求新两位数与原两位数的积是多少？

5.工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量=工作效率×工作时间

工程问题有三个基本量：

工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：

工作量=工作效率×工作时间；

．一般情况下把全部工作量看作1．

（1）一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？

（2）某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?

6.行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间.

（2）基本类型有

　　　　①相遇问题；

　　　　②追及问题；常见的还有：

相背而行；行船问题；环形跑道问题.

水上（空中）问题．

此类问题主要涉及四个量：

静水船速、水速、逆水船速、顺水船速．基本关系为：

顺水船速=静水船速+水速；逆水船速=静水船速－水速．

（1）甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？

（2）甲乙两站相距300km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行1.5h，快车

7.商品销售问题

有关关系式：

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价×折扣率

再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？

（1）某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270元，问该商品原标价多少元？

现销售价是多少？

（2）甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？

8.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

9、增长率问题（降低率）

增长率问题有三个基本量：

净增量、基础量、增长率，

基本关系；

1、（2009·福州）某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元，设这个班的学生有x人，根据题意列方程为_________________。

解题思路：

本题的相等关系是捐款总数相等，解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35元表示出捐款总数（2x+35）元。

答案：

2x+35=131

2、某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。

（1）设原计划租用30座客车x辆，试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数；

（2）现决定租用40座客车，则可比原计划租30座客车少一辆，且所租40座客车中有一辆没有坐满，只坐35人。

请你求出该校初三年级学生的总人数。

分析：

本题表示初三年级总人数有两种方案，用30座客车的辆数表示总人数：

30x+15

用40座客车的辆数表示总人数：

40（x－2）+35。

解：

（1）该校初三年级学生的总人数为：

30x+15

（2）由题意得：

30x+15＝40（x－2）+35

解得：

x＝6

30x＋15＝30×6＋15＝195（人）

答：

初三年级总共195人。

3.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：

同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？

请说明理由．

分析：

可以先设1个小餐厅可供

名学生就餐，这样的话，2个小餐厅就可供2y个学生就餐，因此大餐厅就可共（1680-2y）名学生就餐.然后在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2（1680-2y）+y=2280

解：

（1）设1个小餐厅可供

名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意，得

2（1680-2y）+y=2280

解得：

y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

答：

（略）．

（2）因为

，

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．

【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题，而第⑵问属于说理题，关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐，然后比较即可.

4、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

分析：

根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，就可以列出一元一次方程.

解：

设该工艺品每件的进价是

元,标价是（45+x）元.依题意，得:

8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

解得：

x=155（元）

所以45+x=200（元）　

答：

（略）.

【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：

商品售价=商品标价×折扣率

商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价

商品利润率=

×100%

5、（2006·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：

李小波：

阿姨，您好！

售货员：

同学，你好，想买点什么？

李小波：

我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.

售货员：

好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.

根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

分析：

这是一道情景对话问题，具有一定的新颖性.解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元，同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费（100-5）=95元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.

解：

设笔记本每本x元，则钢笔每支为（x+2）元，据题意得

　　10（x+2）+15x=100-5

　　解得，x=3（元）

所以x+2=5（元）

答：

（略）

6、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？

7、甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？

8、甲、已两个团体共120人去某风景区旅游。

风景区规定超过80人的团体可购买团体票，

已知每张团体比个人票优惠20%，而甲、已两团体人数均不足80人，两团体决定合起来买

团体票，共优惠了480元，则团体票每张多少张？

9、（2004·陕西）足球比赛的记分规则为：

胜一场得3分。

平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：

（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？

（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？

（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？