初一上册数学直升班培优讲义学生版一元一次方程的应用学生版.docx
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初一上册数学直升班培优讲义学生版一元一次方程的应用学生版
一元一次方程的应用
一元一次方程的应用专题1
知识框架2
一、基础知识点2
知识点1列方程解应用题的合理性2
知识点2建立书写模型常见的数量关系2
知识点3分析数量关系的常用方法3
二、典型题型5
题型1和差倍分问题5
题型2总（分）量问题5
题型3调配问题5
题型4配套问题5
题型5分段计费问题6
题型6方案优化问题6
题型7利润问题、打折问题、盈亏问题6
题型8储蓄问题7
题型9行程问题7
题型10工程问题7
题型11等积问题8
题型12数字问题8
题型13积分问题8
三、培优题型10
题型1设辅助未知数10
题型2商品销售问题（复杂）10
题型3行程问题（复杂）10
题型4工程问题（多个未知数）10
题型5浓度问题11
知识框架
一、基础知识点
知识点1列方程解应用题的合理性
列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。
若不符合，必须舍去。
有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。
同时，在设与答时，单位要同一。
例1.一队学生去校外进行军事训练，他们以5千米/小时的速度行进，走了18分钟，学校要将一紧急通知传达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍？
知识点2建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。
在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）
正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。
我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。
我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价
速度×时间=路程
工作效率×时间=总工作量等。
例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈，几分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？
知识点3分析数量关系的常用方法
1）译式法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
例1.一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。
这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。
在行程问题中，我们常常用此类方法。
例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。
如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？
二、典型题型
题型1和差倍分问题
解题技巧：
此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。
（1）甲是乙的a倍：
甲=乙×a
（2）甲比乙多
：
甲=乙×（1+
）
（3）甲比乙少
：
甲=乙×（1－
）
例1.今年收入比去年提高20%，今年人均收入比去年的1.5倍少1200元，求去年的人均收入是多少？
例2.把一根长100cm的木棍据成两段，使其中一段长比另一段的2倍少5cm，求分成的两段木棍的长度。
题型2总（分）量问题
解题技巧：
此类题型，总量始终是不变的量，类似与工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。
例1.把一批图书分给同学，若每人分3本，则剩下20本；若每人分4本，则还差25本。
问有多少同学？
例2.用A型机器和B型机器生产同样的产品，5台A型机器生产一天的产品装满8箱后还剩4个；7台B型机器生产一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱产品有多少个产品？
题型3调配问题
解题技巧：
调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量
调进者的数量=原有的数量+调入的数量
例1.第一组有36人，第二组有24人。
因工作需要，从第二组调了几个人到第一组，结果第一组的人数是第二组的2倍，求从第二组调了几人到第一组。
例2.第二组比第一组人数的
少30人，从第二组调出10人到第一组，那么第一组的人数比第二组多60人，求第一组原来有多少人？
题型4配套问题
解题技巧：
因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。
配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
例1.某水利工程派35人去挖土和运土，如果每人每天挖2方或运3方土，那么应该怎么安排人员，正好使挖出的土能及时运走？
例2.某车间有工人68人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知一个大齿轮和三个小齿轮配为一套，问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套？
题型5分段计费问题
解题技巧：
此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。
因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。
例1.某种出租车的收费标准是：
起步价7元（即行驶距离不超过3千米需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米加收2.4元（不足1千米按1千米计算），某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程是多少千米？
例2.一出租车起步价是5元，8公里内按起步价收费，8公里以上20公里以内按每增加1公里另收费0.5；20公里以上按每增加1公里另收费1元，一乘客付出车费21元，问他乘坐多少公里？
例3.某市居民用电基本价格为每度0.4元，若每月用电量超过a度，超过部分按基本电价的70％收费。
（1）某户5月份用电84度，共交电费30.72元，求a.
（2）若该户6月份的电费平均每度0.36元，求6月份共用电多少度？
应交电费多少元？
题型6方案优化问题
解题技巧：
此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。
解此类题型，有2种思路。
思路1：
分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：
求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
例1.某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家签定月租车合同，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2000元，另外每行驶1千米收2元，
（1）这个单位若每月平均跑1500千米，租用哪个公司的车比较合算？
（2）每月跑多少千米两家公司的费用一样?
例2运送一批木材，甲公司收费是3000元起步，每公里另收5元；乙公司起步价位1000元，每公里另收8元。
（1）当路程为100千米时，选用哪家公司？
（2）什么情况下，两家公司的收费一样？
题型7利润问题、打折问题、盈亏问题（P77；P90）
解题技巧：
此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
利润=售价－进价
利润率=
售价=标价×销售折扣
例1.七年级社会实践小组调查发现，某衬衫进价为80元，购进了500件，并以每件120元的价格销售了400件。
剩下衬衫，准备降价销售。
请你帮忙计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好盈利45%的预期目标？
例2.书店举行购书优惠活动：
（1）一次性购书不超过100元，不享受优惠；
（2）一次性购书超过100元，但不超过200元，一律九折；
（3）一次性购书200元或以上，一律七折
小林在这次活动中，两次购书总共付费229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小林两次购书原价的总和是多少？
题型8储蓄问题
解题技巧：
本金、利息、年利率、利息税税率和实得本利和之间的相等关系：
本金×利率=利息
利息×税率=利息税
本金+利息－利息税=实得本利和
例1.小明把压岁钱按定期一年存入银行。
当时一年期存款的年利率为1.98％，利息税的税率为20％.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元。
问小明存入银行的压岁钱有多少元？
例2.老王把5000元按一年期的定期储蓄存入银行。
到期支取时，扣去利息税后实得本利和为5080元。
已知利息税税率为20％，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
题型9行程问题
解题技巧：
行程问题总公式为：
路程=速度×时间。
行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
（1）相遇问题：
总速度=甲的速度+乙的速度
（2）追击问题：
总速度=追击者速度－被追击者速度（快－慢）
（3）航行问题：
顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速
逆水（风）速度=静水（风）速度－水（风）速
例1.甲、乙两地相距100千米，小张与小王分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张的速度比小王的速度每小时快10千米，经过2小时相遇，小张和小王的速度分别是多少？
例2.一列火车匀速行驶，完全通过一条长300米的隧道需要20秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度。
例3.一辆慢车从A地开往300千米的B地，一辆快车同时从B地开往A地，若慢车速度为40千米每小时，快车速度是慢车速度的1.5倍，他们出发多久后相距100千米？
题型10工程问题
解题技巧：
我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。
在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
例1.一件工程单独甲做20小时，乙要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做，一共需要合做几个小时？
例2.加工一批零件，由一人做需要100小时，现在计划先由若干人做2小时，再增加5人做9小时，恰好完成任务，先安排多少人做2小时？
题型11等积问题
解题技巧：
图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
例1.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40毫米的圆钢多长？
例2.如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
30cm
20cm
题型12数字问题
解题技巧：
任何一个正数N=
都可以表示为
+
+…+
。
利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。
例1.一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数。
例2.一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来的数大63，求原来的两位数。
题型13积分问题
解题技巧：
此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。
需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
例1.足球赛8轮，胜一场记3分，平一场记1分，输一场不得分。
在这次足球比赛中，猛虎队平的场次是负的场次的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
例2.足球比赛，胜一场记3分，平一场记1分，输一场不得分。
一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现在已比8场，输了1场，共得17分。
问：
（1）前8场比赛中，这支球队共胜多少场？
（2）打满14场，最高能得多少分？
（3）通过比赛分析，到比赛结束，得分不低于29分，则后面的6场比赛至少要胜几场才能达到预期目标？
三、培优题型
题型1设辅助未知数
解题技巧：
我们解决数学问题时，除了应设的未知数外，增设一些辅助未知数，其目的不是要具体地求出它们的值，而是以此作为桥梁，沟通数量之间的关系，架起连接以质量和未知量。
例1.从下午3点步行到晚上8点，先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。
若他走平路每小时4千米，上山每小时3小时，下山每小时6千米，问这个人一共走了多少千米？
例2.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干粗细相同的进水管，打开4个进水管时，需要5小时注满水池。
打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。
现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管？
题型2商品销售问题（复杂）
解题技巧：
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。
但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
例1.某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，试用p表示d。
例2.商店一种商品的进价降低了8%，而售价保持不变，可使得商品的利润提高10%，问原来的利润是多少？
例3.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原价降低了6.4%，使得利润增加了8%，求经销这种商品原来的利润率。
题型3行程问题（复杂）
解题技巧：
行程问题时基本的数学模型，我们需要找到合适的数学模型，建立等量关系。
在行程问题中，最常见的方式是通过对速度的叠加与分解来建立等量关系。
例1.甲、乙分别从A、B两地出发相向而行，若同时出发，经过36分钟相遇；若甲比乙提前15分钟出发，乙出发后30分钟相遇，求甲由A地到B地、乙由B地到A地所用的时间。
例2.某商场有一部自动扶梯匀速由下至上运动，甲、乙都急于上楼办事，因此在乘自动扶梯的同时匀速登楼，甲登55级后达到楼上，乙登楼速度是甲的2倍，他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为多少级？
例3.某人匀速走在马路上，马路的前后两端都有公共汽车站，每间隔相同时间发出一辆公共汽车，他发现每隔15分钟有一辆汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来。
问公共汽车每隔多少分钟发车一辆（设每辆公共汽车速度相同）。
题型4工程问题（多个未知数）
解题技巧：
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。
复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
例1.一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成。
先要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能短，那么，甲乙合作多长时间？
例2.现有男、女工人1100人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作。
若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男工25天能完成工作，让女工做36天才能完成。
问男、女工人数各是多少？
例3.某项工程，如果由甲、乙两队承包，2
天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3
天完成，需付150000元；由甲、丙队承包，2
天完成，需付160000元。
先在工程由一个对独承包，在保证一周完成的前提下，那个承包队费用最少？
题型5浓度问题
解题技巧：
糖与糖水总量的的比值叫作糖水的溶度。
列写等式方程，需要分别算清溶质和溶液的质量，在利用溶度问题的一些等量关系列写方程。
溶液=溶质+溶剂
溶度=
例1.设有甲、乙两个杯子。
甲杯装有10升A溶液，乙杯中装有10升B溶液。
先在从甲杯中取出一定量的A溶液，倒入乙杯中并搅拌均匀。
再从乙杯中取出等量的混合溶液倒入甲杯中。
测得甲杯A溶液和B溶液的比为5:
1，求第一次从甲杯中取出的A溶液是多少升？
例2.130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，这样配成的6.4%的盐水有多少个？
例3.在某种溶度的糖水中加入一杯水后，得到新糖水，它的溶度为20%；又在新糖水中加入与前一杯水质量相同的纯糖后，糖水的溶度变为33
。
求原来糖水的溶度。
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