全效学习届中考数学全程演练含答案第30课时 直线与圆的位置关系.docx

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全效学习届中考数学全程演练含答案第30课时直线与圆的位置关系

第30课时　直线与圆的位置关系

（60分）

一、选择题（每题5分，共25分）

1．⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（D）

A．相交B．内含

C．相切D．相离

2．[2015·重庆]如图30－1，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连结OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（A）

A．70°B．60°

C．55°D．35°

【解析】　∵AC是⊙O的切线，∴∠ACB＝90°.

∵∠BAC＝55°，∴∠B＝35°，∴∠COD＝70°.故选A.

图30－1　　　　图30－2

3．[2015·嘉兴]如图30－2，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（B）

A．2.3B．2.4

C．2.5D．2.6

4．[2015·梅州]如图30－3，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于（D）

A．20°B．25°

C．40°D．50°

图30－3

第4题答图

【解析】　如答图，连结OA，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°，

∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20°，

∴∠AOC＝40°，∴∠C＝50°.

5．[2014·无锡]如图30－4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：

①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是（A）

A．3B．2

C．1D．0

图30－4

第5题答图

【解析】　连结OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A＝30°，可以得出∠ABD＝60°，△ODB是等边三角形，∠C＝∠BDC＝30°，再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．

二、填空题（每题5分，共25分）

图30－5

6．[2015·黔西南]如图30－5，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于__130°__．

【解析】　∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵∠P＝50°，∴∠AOB＝130°.

7．如图30－6，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝__60__度．

图30－6　　　第7题答图

【解析】　连结OA，

∵MN与⊙O相切，∠MAB＝30°，∴∠OAB＝60°，

∵OA＝OB，∴∠B＝60°.

8．[2015·宁波]如图30－7，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为__6.25__．

图30－7　　　第8题答图

【解析】　连结OE，并反向延长交AD于点F，连结OA，

∵BC是切线，

∴OE⊥BC，

∴∠OEC＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠D＝90°，

∴四边形CDFE是矩形，

∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，

∴AF＝

AD＝

×12＝6，

设⊙O的半径为r，则OF＝EF－OE＝8－r，

在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，

则（8－r）2＋36＝r2，

解得r＝6.25，

∴⊙O的半径为6.25.

9．[2014·台州]如图30－8是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆与点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为__50__cm.

图30－8　　　第9题答图

【解析】　如答图，设点O为外圆的圆心，连结OA和OC，

∵CD＝10cm，AB＝60cm，

∴设外圆的半径为r，则OD＝（r－10）cm，AD＝30cm

根据题意，得r2＝（r－10）2＋302，

解得r＝50cm.

10．[2015·宜宾]如图30－9，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是

的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__2

__．

图30－9　　　　第10题答图

【解析】　连结OC，BC，

∵DC切⊙O于点C，

∴∠OCD＝90°，

∵BD＝OB，⊙O的半径为2，

∴BC＝BD＝OB＝OC＝2，即△BOC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∵AB为⊙O的直径，点B是

的中点，

∴CE＝EF，

AB⊥CF，即△OEC为直角三角形，

∵在Rt△OEC中，OC＝2，∠BOC＝60°，∠OEC＝90°，

∴CF＝2CE＝2OC·sin∠BOC＝2

.

三、解答题（共20分）

11．（10分）如图30－10，直尺、三角尺都和⊙O相切，其中B，C是切点，且AB＝8cm.求⊙O的直径．

图30－10　　　第11题答图

解：

如答图，连结OC，OA，OB.

∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是C，B，

∴∠OBA＝∠OCA＝90°，

∠OAC＝∠OAB＝

∠BAC.

∵∠CAD＝60°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝

×120°＝60°，

∴∠BOA＝30°，

∴OA＝2AB＝16cm.

由勾股定理得OB＝

＝

＝8

cm，即⊙O的半径是8

cm，

∴⊙O的直径是16

cm.

12．（10分）[2015·湖州]如图30－11，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.

（1）若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；

（2）求证：

ED是⊙O的切线．

图30－11　　　　第12题答图

解：

（1）如答图，连结CD，

∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，

∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10；

（2）证明：

连结OD.

∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，

∴DE＝EC＝

AC，∴∠1＝∠2，

∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，

∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线．

（20分）

13．（10分）如图30－12，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结BC，PB.

（1）求BC的长；

（2）求证：

PB是⊙O的切线．

图30－12　　　第13题答图

解：

（1）连结OA，OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，

∴

＝

，∠AOB＝120°，

∴∠COB＝∠COA＝60°.

又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，

∴BC＝OC＝2；

（2）证明：

∵BC＝OC＝CP，

∴∠CBP＝∠CPB.

∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.

又∵∠OCB＝∠CBP＋∠CPB＝2∠CBP，

∴∠CBP＝30°，

∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，

∴OB⊥BP.

又∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线．

14．（10分）[2015·潍坊]如图30－13，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结DE.

（1）求证：

直线DF与⊙O相切；

（2）若AE＝7，BC＝6，求AC的长．

图30－13　　　第14题答图

解：

（1）证明：

如答图，连结OD.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C，

∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB.

∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.

∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；

（2）∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED＋∠ACD＝180°.

∵∠AED＋∠BED＝180°，

∴∠BED＝∠ACD.

又∵∠B＝∠B，

∴△BED∽△BCA.

∴

＝

.

∵OD∥AB，AO＝CO，∴BD＝CD＝

BC＝3，

又∵AE＝7，∴

＝

，解得BE＝2.

∴AC＝AB＝AE＋BE＝7＋2＝9.

（10分）

15．（10分）[2015·衡阳]如图30－14，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.

（1）求证：

CE为⊙O的切线；

（2）判断四边形AOCD是否为菱形？

并说明理由．

图30－14　　　第15题答图

解：

（1）证明：

如答图，连结OD，

∵点C，D为半圆O的三等分点，

∴∠AOD＝∠COD＝∠COB＝60°.

∵OA＝OD，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠DAO＝60°，

∴AE∥OC.

∵CE⊥AD，

∴CE⊥OC，

∴CE为⊙O的切线；

（2）四边形AOCD为菱形．

理由∵OD＝OC，∠COD＝60°，

∴△OCD为等边三角形，

∴CD＝CO.

同理AD＝AO.

∵AO＝CO，

∴AD＝AO＝CO＝DC，

∴四边形AOCD为菱形．