中考数学复习真题演练圆.docx
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中考数学复习真题演练圆
2019-2020年中考数学复习(真题演练):
圆
1、(xx•烟台)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE2=EF•EB.
(1)求证:
CB=CF;
(2)若点E到弦AD的距离为1,cos∠C=,求⊙O的半径.
2、(xx•聊城)如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=,BE=2.求证:
(1)四边形FADC是菱形;
(2)FC是⊙O的切线.
3、(xx•东营)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC=∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB=30°,求CE的长.
4、(xx•菏泽)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证:
AP是⊙O的切线;
(2)OC=CP,AB=6,求CD的长.
5、(xx•威海)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,AO=1.
(1)求∠C的大小;
(2)求阴影部分的面积.
6、(xx山东滨州,22,8分)
如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E,EF⊥AC,垂足为F.求证:
直线EF是⊙O的切线.
7、(xx滨州)如图,⊙O的半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点,AM所在的直线交于⊙O于点N,点P是直线CD上另一点,且PM=PN.
(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O的关系,并写出证明过程;
(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,
(1)的结论是否还成立?
请说明理由;
(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分的面积.
8、(xx临沂)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,E为BC上一点,以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D,连接CD,若BE=OE=2
(1)求证:
∠A=2∠DCB;
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留错误!
不能通过编辑域代码创建对象。
和根号)
9、
(xx枣庄)如图,是⊙O的直径,是弦,直线经过点,于点,
(1)求证:
是⊙O的切线;
(2)求证:
;
(3)若⊙O的半径为2,,求图中阴影部分的面积.
10、(xx•德州)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长;
(2)BC是⊙O的切线吗?
若是,给出证明;若不是,说明理由.
11、(xx•烟台)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,CF⊥AF,且CF=CE.
(1)求证:
CF是⊙O的切线;
(2)若sin∠BAC=,求的值.
12、(2011•烟台)已知:
AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:
OE•OP=r2;
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
13、(2011•潍坊)如图,AB是半圆O的直径,AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D,连接BD交半圆于点C,连接AC.过O点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点Q.
(1)求证:
△ABC∽△OFB;
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时,求BQ的长;
(3)求证:
当D在AM上移动时(A点除外),点Q始终是线段BF的中点.
14、(xx•济宁)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.
(1)猜想:
线段OD与BC有何数量和位置关系,并证明你的结论.
(2)求证:
PC是⊙O的切线.
15、(xx•临沂)如图,点A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:
AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长.
16、(2011•临沂)如图.以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C.与OB相交于点D,且OD=BD,己知sinA=,AC=.
(1)求⊙O的半径:
(2)求图中阴影部分的面枳.
17、(2011•东营)如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠BAD=120°,四边形ABCD的周长为15.
(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
18、(xx•德州)如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直径BC=2,AD⊥BC,垂足为D,连接BE交AD于F,过A作AG∥BE交BC于G.
(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)求线段AF的长.
19、(2011•滨州)如图,直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点,弦AC∥PM,连接OM、BC.
求证:
(1)△ABC∽△POM;
(2)2OA2=OP•BC.
20、(xx•聊城)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?
请说明理由;
(2)当DP为⊙O的切线时,求线段DP的长.
21、(2011•枣庄)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
22、(2011•西宁)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,
(1)求证:
△ABE∽△ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
23、(2011•莱芜)如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,DE=3,连接BD,过点E作EM∥BD,交BA的延长线于点M.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:
EM是⊙O的切线;
(3)若弦DF与直径AB相交于点P,当∠APD=45°时,求图中阴影部分的面积.
参考答案
1、
(1)证明:
如图1,∵AE2=EF•EB,∴=.
又∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△AEB,∴∠1=∠EAB.
∵∠1=∠2,∠3=∠EAB,∴∠2=∠3,∴CB=CF;
(2)解:
如图2,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r.
由
(1)知,△AEF∽△AEB,则∠4=∠5.∴=.∴OE⊥AD,∴EG=1.
∵cos∠C=,且∠C+∠GAO=90°,∴sin∠GAO=,∴=,即=,
解得,r=,即⊙O的半径是.
2、证明:
(1)连接OC,
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=DE=CD=×4=2,
设OC=x,
∵BE=2,∴OE=x﹣2,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∴x2=(x﹣2)2+
(2)2,解得:
x=4,
∴OA=OC=4,OE=2,
∴AE=6,
在Rt△AED中,AD==4,∴AD=CD,
∵AF是⊙O切线,∴AF⊥AB,
∵CD⊥AB,∴AF∥CD,
∵CF∥AD,∴四边形FADC是平行四边形,∴▱FADC是菱形;
(2)连接OF,
∵四边形FADC是菱形,∴FA=FC,
在△AFO和△CFO中,,∴△AFO≌△CFO(SSS),∴∠FCO=∠FAO=90°,
即OC⊥FC,
∵点C在⊙O上,∴FC是⊙O的切线.
3、解:
(1)直线CD与⊙O相切.理由如下:
连接OC.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,
∵∠BAC=∠CAM,∴∠OCA=∠CAM,∴OC∥AM,
∵CD⊥AM,∴OC⊥CD,∵OC为半径,∴直线CD与⊙O相切.
(2)∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO,
∵∠CAB=30°,∴∠COE=2∠CAB=60°,∴在Rt△COE中,OC=3,CE=OC•tan60°=.
4、
(1)证明:
连接AO,AC(如图).∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=∠CAD=90°.
∵E是CD的中点,∴CE=DE=AE.∴∠ECA=∠EAC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC.∴∠ECA+∠OCA=90°.∴∠EAC+∠OAC=90°.∴OA⊥AP.
∵A是⊙O上一点,∴AP是⊙O的切线;
(2)解:
由
(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,∴sinP==,∴∠P=30°.∴∠AOP=60°.
∵OC=OA,∴∠ACO=60°.
在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,
∴AC==2,
又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°﹣∠ACO=30°,
∴CD===4.
5、解:
(1)∵CD是圆O的直径,CD⊥AB,∴=,∴∠C=∠AOD,
∵∠AOD=∠COE,∴∠C=∠COE,∵AO⊥BC,∴∠C=30°.
(2)连接OB,由
(1)知,∠C=30°,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°,
在Rt△AOF中,AO=1,∠AOF=60°,∴AF=,OF=,∴AB=,
∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××=π﹣.
6、证明:
连接OE,
∵OB=OE,
∴∠B=∠OEB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠OEB=∠C.
∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,
∴OE⊥EF.
∴直线EF是⊙O的切线.
7、解:
(1)PN与⊙O相切.
(2)成立.
(3)连结ON,
8、
(1)证明:
连接OD,过程略。
(2)
9、
(1)证明:
连接
∵∴
∵∠DAC=∠BAC,∴
∴
又∵∴
∴是⊙O的切线
(2)证明:
连接
∵是⊙O的直径,∴
∴
又∵
∴
∴,即
(3)解:
∵∴
∴是等边三角形、
∴,
在中,AC=2,∠ACD=30°,
∴AD=1,CD=
∴
∴
10、解:
(1)连接BD,∵DE是直径∴∠DBE=90°,
∵四边形BCOE为平行四边形,∴BC∥OE,BC=OE=1,
在Rt△ABD中,C为AD的中点,∴BC=AD=1,则AD=2;
(2)是,理由如下:
如图,连接OB.∵BC∥OD,BC=OD,
∴四边形BCDO为平行四边形,
∵AD为圆O的切线,∴OD⊥AD,∴四边形BCDO为矩形,∴OB⊥BC,
则BC为圆O的切线.
11、
(1)证明:
连接OC.∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF,
∴AC平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC.
∵∠BOC=2∠BAC,∴∠BOC=∠BAF.∴OC∥AF.∴CF⊥OC.∴CF是⊙O的切线.
(2)解:
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°.
∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE,∴△ABC∽△CBE.
∴==(sin∠BAC)2==.∴=.
12、
(1)证明:
如图1,连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.
∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°.∴∠QFD+∠Q=90°.
∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.∴.∴OE•OP=OF2=r2.
(2)解:
(1)中的结论成立.
理由:
如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.
∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.∴,∴OE•OP=OF2=r2.
13、
(1)证明:
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即:
AC⊥BC,
又OE⊥BC,∴OE∥AC,∴∠BAC=∠FOB,
∵BN是半圆的切线,∴∠BCA=∠FBO=90°,∴△ABC∽△OFB.
(2)解:
连接OP,
由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90°,
∵AM、BN是⊙O的切线,∴∠DAB=∠OBF=90°,∴△ABD∽△BFO,
∴当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO,∴AD=OB=1,
∵DP切圆O,DA切圆O,∴DP=DA,
∵△ABD≌△BFO,∴DA=BO=PO=DP,
又∵∠DAO=∠DPO=90°,∴四边形AOPD是正方形,
∴DQ∥AB,∴四边形ABQD是矩形,∴BQ=AD=1;
(3)证明:
由
(2)知,△ABD∽△BFO,∴=,∴BF===,
∵DP是半圆O的切线,射线AM、BN为半圆O的切线,∴AD=DP,QB=QP,
过Q点作AM的垂线QK,垂足为K,在Rt△DQK中,
DQ2=QK2+DK2,
∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22.∴BQ=,∴BF=2BQ,∴Q为BF的中点.
14、
(1)猜想:
OD∥BC,OD=BC.
证明:
∵OD⊥AC,∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径,∴OA=OB∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥BC,OD=BC
(2)证明:
连接OC,设OP与⊙O交于点E.∵OD⊥AC,OD经过圆心O,
∴,即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中,,∴△OAP≌△OCP,∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线.
15、
(1)证明:
连接OA.∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,
又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°,∴∠AOP=60°,
∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=90°,∴OA⊥AP,∴AP是⊙O的切线,
(2)解:
连接AD.∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°,∴AD=AC•tan30°=3×=,
∵∠ADC=∠B=60°,∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°,
∴∠P=∠PAD,∴PD=AD=.
16、解:
(1)连接OC,
∵以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C.∴CO⊥AB,
∵sinA==,∵AC=.∴假设CO=2x,AO=5x,
4x2+21=25x2,解得:
x=1,∴CO=2,∴⊙O的半径为2;
(2)∵⊙O的半径为2,∴DO=2,
∵DO=DB,∴BO=4,∴BC=2,∴2CO=BO,
∵OC⊥BC,∴∠CBO=30°,∠COD=60°,
图中阴影部分的面枳为:
S△OCB﹣S扇形COD=×2×2﹣=2﹣π.
17、解:
(1)∵AD∥BC,∠BAD=120°,
∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=30°,
∴∠DBC+∠DCB=90°,
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径.
∵∠ABC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴==,∠BCD=60°
∴AB=AD=DC,
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
在直角△BDC中,BC是圆的直径,BC=2DC.
∴BC+BC=15,
解得:
BC=6
故此圆的半径为3.
(2)设BC的中点为O,由
(1)可知O即为圆心.
连接OA,OD,过O作OE⊥AD于E.
在直角△AOE中,∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=
S△AOD=×3×=.
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=.
18、
解:
(1)直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切,
理由是:
连接OA,
∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴弧AB=弧AE=弧EC,
∴点A是弧BE的中点,
∴OA⊥BE,
又∵AG∥BE,
∴OA⊥AG,
∴AG与⊙O相切.
(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°,
又∵OA=OB,
∴△ABO为正三角形,
又∵AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=,AD=,
又∵∠EBC=∠EOC=30°(圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半),
在Rt△FBD中,FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=×=,
∴AF=AD﹣DF=﹣=.
答:
AF的长是.
19、证明:
(1)∵直线PM切⊙O于点M,∴∠PMO=90°,
∵弦AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠PMO,
∵AC∥PM,∴∠CAB=∠P,∴△ABC∽△POM;
(2)∵△ABC∽△POM,∴,又AB=2OA,OA=OM,
∴,∴2OA2=OP•BC.
20、解:
(1)当点P是的中点时,DP是⊙O的切线.理由如下:
∵AB=AC,∴=,
又∵=,∴=,∴PA是⊙O的直径,
∵=,∴∠1=∠2,又AB=AC,∴PA⊥BC,
又∵DP∥BC,∴DP⊥PA,∴DP是⊙O的切线.
(2)连接OB,设PA交BC于点E.
由垂径定理,得BE=BC=6,
在Rt△ABE中,由勾股定理,得:
AE===8,
设⊙O的半径为r,则OE=8﹣r,在Rt△OBE中,由勾股定理,得:
r2=62+(8﹣r)2,解得r=,
∵DP∥BC,∴∠ABE=∠D,
又∵∠1=∠1,
∴△ABE∽△ADP,∴=,即=,解得:
DP=.
21、
(1)证明:
连接OC.∵AC=CD,∠ACD=120°,∴∠A=∠D=30°.
∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°.∴∠OCD=90°.∴CD是⊙O的切线.
(2)解:
∵∠A=30°,∴∠1=2∠A=60°.∴S扇形OBC=.
在Rt△OCD中,∵,∴.
∴
.∴图中阴影部分的面积为.
(21)(22)
22、
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C(等边对等角),
∵∠C=∠D(同弧所对的圆周角相等),∴∠ABC=∠D(等量代换),
又∵∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB,
(2)解:
∵△ABE∽△ADB,∴,
∴AB2=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12,∴AB=.
(3)解:
直线FA与⊙O相切,理由如下:
连接OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,
∴
=4
BF=BO=,
∵AB=,∴BF=BO=AB,∴∠OAF=90°,∴OA⊥AF,∴直线FA与⊙O相切.
23、
(1)解:
连接OE.∵DE垂直平分半径OA,∴OC=OA
∵OA=OE,∴OC=OE,CE=DE=,∴∠OEC=30°,
∴OE=
=;
(2)证明:
由
(1)知:
∠AOE=60°,,∴∠B=∠AOE=30°,∴∠BDE=60°
∵BD∥ME,∴∠MED=∠BDE=60°,∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°,
∴OE⊥EM,∴EM是⊙O的切线;
(3)解:
连接OF.
∵∠DPA=45°,∴∠DCB=90°,∴∠CDP=45°,∴∠EOF=2∠EDF=90°,
∴S阴影=S扇形EOF﹣S△EOF=
=π﹣.