函数与方程教学讲义.docx
《函数与方程教学讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数与方程教学讲义.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
函数与方程教学讲义
函数与方程教学讲义
1．函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使__f（x）＝0__成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
注：
函数的零点不是点．是函数f（x）与x轴交点的横坐标，而不是y＝f（x）与x轴的交点．
（2）几个等价关系
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f（x）有__零点__.
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f（a）f（b）＜0__，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得__f（c）＝0__，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二分法
（1）对于在区间[a，b]上连续不断且__f（a）f（b）<0__的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε；
②求区间（a，b）的中点c；
③计算f（c）；
（Ⅰ）若f（c）＝0，则c就是函数的零点；
（Ⅱ）若f（a）·f（c）<0，则令b＝c
（此时零点x0∈（a，c））；
（Ⅲ）若f（c）·f（b）<0，则令a＝c
（此时零点x0∈（c，b））．
④判断是否达到精确度ε，即：
若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④.
1．有关函数零点的结论
（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．
（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
（4）由函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）<0，如图所示．所以f（a）·f（b）<0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点（不是偶个零点）时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
（5）若函数f（x）在[a，b]上单调，且f（x）的图象是连续不断的一条曲线，则f（a）·f（b）<0⇒函数f（x）在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
与x轴的交点
（x1,0）（x2,0）
（x1,0）
无交点
零点个数
两个零点
一个零点
无零点
1．（教材改编）已知函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f（x）
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f（x）必有零点的区间为（ B ）
A．（1,2） B．（2,3）
C．（3,4） D．（4,5）
[解析] 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f
（2）·f（3）<0，所以函数在（2,3）内有零点，故选B．
2．（教材改编）为了求函数f（x）＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值（精确度0.1）如下表所示：
x
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625
f（x）
－0.8716
－0.5788
－0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.1）可取为（ C ）
A．1.32 B．1.39
C．1.4 D．1.3
[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间（1.375,1.4375）内，故选C．
3．若函数f（x）＝ax＋b的零点是2，则函数g（x）＝bx2－ax的零点是（ C ）
A．0,2 B．0，
C．0，－
D．2，－
[解析] 2a＋b＝0，∴g（x）＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－
，故选C．
4．（教材改编）函数f（x）＝
的零点个数是（ D ）
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] lnx＝0解得x＝1，－x（x＋2）＝0解得x＝0或－2，∴g（x）有三个零点．
5．函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点所在的大致区间是（ C ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,3） D．（3,4）
[解析] 因为y＝lnx与y＝2x－6在（0，＋∞）上都是增函数，所以f（x）＝lnx＋2x－6在（0，＋∞）上是增函数．又f
（1）＝－4，f
（2）＝ln2－20.所以零点在区间（2,3）上，故选C．
6．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ C ）
[解析] A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．
考点1 确定函数零点所在区间——自主练透
例1
（1）若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）>0，f
（1）·f
（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是（ D ）
A．函数f（x）在区间（0,1）内有零点B．函数f（x）在区间（1,2）内有零点
C．函数f（x）在区间（0,2）内有零点D．函数f（x）在区间（0,4）内有零点
（2）（2018·河南天一大联考）函数f（x）＝x＋lnx－3的零点位于区间（ C ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,3） D．（3,4）
（3）（2018·全国名校联考，3）若函数y＝ln（x＋1）与y＝21－x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ B ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,3） D．（3,4）
[分析] 利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解．
[解析]
（1）因为f
（1）·f
（2）·f（4）<0，所以f
（1）、f
（2）、f（4）中至少有一个小于0.
若f
（1）<0，则在（0,1）内有零点，在（0,4）内必有零点；
若f
（2）<0，则在（0,2）内有零点，在（0,4）内必有零点；
若f（4）<0，则在（0,4）内有零点．故选D．
（2）∵f
（1）＝1＋ln1－3＝－2<0，
f
（2）＝2＋ln2－3＝ln2－1<0，
f（3）＝3＋ln3－3＝ln3>0，
∴f
（2）·f（3）<0，∴f（x）在区间（2,3）内有零点，故选C．
另解：
f（x）的零点即为y＝lnx与y＝3－x图象交点的横坐标，由图可知零点位于区间（2,3）内，故选C．
（3）设f（x）＝ln（x＋1）－21－x可以判断f（x）为增函数，又f
（1）＝ln2－1<0，f
（2）＝ln3－
>0，故选B．
名师点拨 ☞
确定函数零点所在区间的方法
（1）解方程法：
当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
（2）利用函数零点的存在性定理：
首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
（3）数形结合法：
通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点2 函数零点个数的确定——师生共研
例2
（1）（2018·课标Ⅲ，15）函数f（x）＝cos（3x＋
）在[0，π]的零点个数为__3__.
（2）（文）（2018·云南昆明一中摸底）若函数f（x）＝|x|，则函数y＝f（x）－log
|x|的零点个数是（ D ）
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
（理）（2018·江淮十校联考）已知函数f（x）＝
，则关于x的方程f2（x）－5f（x）＋4＝0的实数根的个数为（ D ）
A．2 B．3
C．6 D．7
[分析] 画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f（x）＝0可解，也可直接解方程求解．
[解析]
（1）本题考查函数与方程．令f（x）＝0，得cos（3x＋
）＝0，解得x＝
＋
（k∈Z）．当k＝0时，x＝
；当k＝1时，x＝
；当k＝2时，x＝
，又x∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．
（2）（文）在同一坐标系中作出f（x）＝|x|、g（x）＝log
|x|的图象，由图可知选D．
（理）解法一：
由f2（x）－5f（x）＋4＝0得f（x）＝1或4.
若f（x）＝1，当x≥0时，即5|x－1|－1＝1，
5|x－1|＝2解得x＝1±log52，
当x<0时，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或－3.
若f（x）＝4，当x≥0时，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1解得x＝0或2，
当x<0时即x2＋4x＝0，解得x＝－4.
故所求实根个数共有7个．
解法二：
由f2（x）－5f（x）＋4＝0得f（x）＝1或4.
由f（x）图象可知：
f（x）＝1有4个根，f（x）＝4有3个根．
∴方程f2（x）－5f（x）＋4＝0有7个根．
名师点拨 ☞
函数零点个数的判定有下列几种方法
（1）直接求零点：
令f（x）＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：
利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．
（3）数形结合法：
利用函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
〔变式训练1〕
（1）函数f（x）＝
的零点个数是__2__.
（2）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝ex＋x－3，则f（x）的零点个数为（ C ）
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]
（1）x2－2＝0，解得x＝±
，∵x<0，∴x＝－
，2x－6＋lnx＝0，设y＝lnx，y＝6－2x，分别画函数图象（图略）可得一个交点，故原函数有两个零点．
（2）f（x）＝ex＋x－3在（0，＋∞）上为增函数，f（
）＝e
－
<0，f
（1）＝e－2>0，∴f（x）在（0，＋∞）上只有一个零点，由奇函数性质得f（x）在（－∞，0）上也有一个零点，又f（0）＝0，所以f（x）有三个零点，故选C．
考点3 函数零点的应用——多维探究
角度1 与零点有关的比较大小
例3 已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝x－log
x，h（x）＝log2x－
的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为（ D ）
A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3
C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1
[解析] 由f（x）＝2x＋x＝0，g（x）＝x－log
x＝0，h（x）＝log2x－
＝0，得2x＝－x，x＝log
，log2x＝
，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝log
x的图象；y＝log2x与y＝
的图象，由图可知：
－11.所以x3>x2>x1.
角度2 已知函数的零点或方程的根求参数
例4 （2018·课标Ⅰ，9）已知函数f（x）＝
g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则实数a的取值范围是（ C ）
A．[－1,0） B．[0，＋∞）
C．[－1，＋∞） D．[1，＋∞）
[解析] 本题主要考查函数的零点及函数的图象．g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点等价于函数f（x）＝
与h（x）＝－x－a的图象存在2个交点，如图，当x＝0时，h（0）＝－a，由图可知要满足y＝f（x）与y＝h（x）的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C．
名师点拨 ☞
1．比较零点大小常用方法：
（1）确定零点取值范围，进而比较大小；
（2）数形结合法．
2．已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：
（1）直接法：
直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
〔变式训练2〕
（1）（角度1）（文）（2018·安徽蚌埠月考）已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝log2x＋x，h（x）＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ B ）
A．aC．a>b>c D．c>a>b
（理）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝ex＋x－2的零点为a，g（x）＝lnx＋x－2的零点为b，则f（a），f
（1），f（b）的大小关系为__f（a）（1）（2）已知函数f（x）＝
方程|f（x）|＝a有三个零点，则实数a的取值范围是（ D ）
A．（－∞，0） B．[0，e）
C．（0,2） D．（2，＋∞）
[分析] 解法一：
依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：
分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝x3与y＝－x的图象，比较其交点横坐标的大小即可．
[解析]
（1）（文）解法一：
∵f（－1）＝3－1－1＝－
，f（0）＝1，∴a∈（－
，0），又g（
）＝log3
＋
＝－
，g
（1）＝1，∴b∈（
，1），显然c＝0，∴a解法二：
数形结合法，在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log2x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a（理）因为f（0）＝e0＋0－2＝－1<0，f
（1）＝e1＋1－2＝－1>0，所以f（x）的零点a∈（0,1），又g
（1）＝ln1＋－2＝－1<0，g
（2）＝ln2＋2－2＝ln2>0，所以g（x）的零点b∈（1,2），又f（x）＝ex＋x－2为单调增函数，且ex（1）（2）当a＝0时，|f（x）|＝0，由y＝|f（x）|的图象与x轴有两个交点，即函数y＝|f（x）|－a有两个零点1与－2，舍去；
当a<0时，因为y＝|f（x）|的图象都在x轴上或x轴的上方，所以y＝|f（x）|的图象与函数y＝a没有交点，即函数y＝|f（x）|－a没有零点，舍去；
当a>0时，在平面直角坐标系中，画出y＝|f（x）|的图象，观察图象可知，当a>2时，y＝|f（x）|与y＝a才有三个交点．
考点4 二分法及其应用——自主练透
例5
（1）用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f（0）<0，f（0.5）>0，可得其中一个零点x0∈__（0,0.5）__，第二次应计算__f（0.25）__.
（2）在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间（1,2）内，则下一步可判定该根所在的区间为 （
，2） .
（3）在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__7__.
[解析]
（1）因为f（0）<0，f（0.5）>0，由二分法原理得一个零点x0∈（0,0.5）；第二次应计算f（
）＝f（0.25）．
（2）区间（1,2）的中点x0＝
，令f（x）＝x3－2x－1，f（
）＝
－4<0，f
（2）＝8－4－1>0，则根所在区间为（
，2）．
（3）设至少需要计算n次，由题意知
<0.001，即2n>100.由26＝64,27＝128，知n＝7.
名师点拨 ☞
1．用二分法求函数零点的方法：
定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？
精确度上来判断．
2．利用二分法求近似解需注意的问题
（1）在第一步中：
①区间长度尽量小；②f（a），f（b）的值比较容易计算且f（a）·f（b）<0；
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．
（3）虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．
升级会员 