高中数学 函数函数的应用二讲义 新人教A版必修一第一册.docx
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高中数学函数函数的应用二讲义新人教A版必修一第一册
4.5 函数的应用
（二）
最新课程标准：
运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
4．5.1 函数的零点与方程的解
知识点一 函数的零点
1．零点的定义
对于函数y＝f（x），把f（x）＝0的实数x，叫做函数y＝f（x）的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二 函数零点的判定
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．
定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）＜0.
[教材解难]
1．教材P142思考
能．先构造函数f（x）＝lnx＋2x－6，再判断函数f（x）是增函数，又f
（2）＜0，f（3）＞0，∴方程lnx＋2x－6＝0的根在2,3之间．
[基础自测]
1．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是（ ）
A.
；
B.
；
C．－
；－
D.
；－
解析：
令3x－2＝0，则x＝
，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为
，函数零点为
.
答案：
B
2．函数f（x）＝ln（x＋1）－
的零点所在的一个区间是（ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
解析：
f
（1）＝ln2－2＜0，f
（2）＝ln3－1＞0，
∴f
（1）·f
（2）＜0，
∴函数f（x）的一个零点区间为（1,2）．
答案：
B
3．函数f（x）＝x3－x的零点个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
f（x）＝x（x－1）（x＋1），令x（x－1）（x＋1）＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
答案：
D
4．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：
由
得
∴g（x）＝－6x2－5x－1的零点是－
，－
.
答案：
－
，－
题型一 函数零点的概念及求法
例1
（1）下列图象表示的函数中没有零点的是（ ）
（2）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
①f（x）＝－x2－4x－4.
②f（x）＝4x＋5.
③f（x）＝log3（x＋1）．
【解析】
（1）由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
（2）①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.
【答案】
（1）A
（2）见解析
1.由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．
2．求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：
其一是令f（x）＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f（x）的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 若函数f（x）＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f（x）其余的零点．
解析：
由题意知f（－3）＝0，即（－3）2－3－a＝0，a＝6.所以f（x）＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f（x）其余的零点是2.
由函数f（x）的零点是－3，得f（－3）＝0，求a.
题型二 确定函数零点的个数[教材P143例1]
例2 求方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数．
【解析】 设函数f（x）＝lnx＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f（x）的对应值表（表），并画出图象（图）．
表
x
y
1
－4
2
－1.3069
3
1.0986
4
3.3863
5
5.6094
6
7.7918
7
9.9459
8
12.0794
9
14.1972
图
由表和图可知，f
（2）＜0，f（3）＞0，则f
（2）f（3）＜0.由函数零点存在定理可知，函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2,3）内至少有一个零点．
容易证明，函数f（x）＝lnx＋2x－6，x∈（0，＋∞）是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx＋2x－6＝0只有一个实数解．
可以先借助计算工具画出函数y＝lnx＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．
教材反思
判断函数零点个数的三种方法
（1）方程法：
若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
（2）图象法：
由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
（3）定理法：
函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f（a）·f（b）＜0即可判断函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点．若函数y＝f（x）在区间（a，b）上是单调函数，则函数f（x）在区间（a，b）内只有一个零点．
跟踪训练2
（1）函数f（x）＝x－
－2的零点个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
（2）判断函数f（x）＝x－3＋lnx的零点个数．
解析：
（1）令f（x）＝0得x－
－2＝0，设t＝
（t≥0），则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1（舍）．
故
＝2即x＝4，因此方程f（x）＝0有一个根4，所以函数f（x）有一个零点．
（2）令f（x）＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：
由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f（x）＝x－3＋lnx只有一个零点．
答案：
（1）B
（2）一个
思路一：
解方程求零点，方程f（x）＝0的实数根的个数就是函数f（x）的零点的个数；
思路二：
画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
题型三 判断函数的零点所在的大致区间
例3 设x0是函数f（x）＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为（ ）
A．（0,1）B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
【解析】 因为f
（2）＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3－1＞lne－1＝0，f
（2）·f（3）＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为（2,3）．
【答案】 C
根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤
（1）代入：
将区间端点值代入函数求出函数的值．
（2）判断：
把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
（3）结论：
若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练3 函数f（x）＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为（ ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,3） D．（3,4）
解析：
f
（2）＝22－1＋2－5＜0，f（3）＝23－1＋3－5＞0，故f
（2）·f（3）＜0，又f（x）在定义域内是增函数，则函数f（x）＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为（2,3）．
答案：
C
f（x）单调的条件下，利用f（a）·f（b）＜0求零点区间．
解题思想方法 数形结合思想
例 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．
解析：
如图，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.
答案：
1
【反思与感悟】 求解这类问题可先将原式变形为f（x）＝g（x），则方程f（x）＝g（x）的不同解的个数等于函数f（x）与g（x）图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．
课时作业25
一、选择题
1．下列函数不存在零点的是（ ）
A．y＝x－
B．y＝
C．y＝
D．y＝
解析：
令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－
，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：
D
2．若函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（ ）
A．0,2B．0，
C．0，－
D．2，－
解析：
∵2a＋b＝0，
∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1）．
∴零点为0和－
.
答案：
C
3．函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
因为f
＝
＋log2
＜0，f
＝
＋log2
＞0，
所以f
·f
＜0，故函数f（x）＝πx＋log2x的零点所在区间为
.
答案：
A
4．已知函数f（x）＝
g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[－1,0）B．[0，＋∞）
C．[－1，＋∞）D．[1，＋∞）
解析：
本题主要考查函数的零点及函数的图象．
g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点等价于函数f（x）＝
与h（x）＝－x－a的图象存在2个交点，如图，
当x＝0时，h（0）＝－a，由图可知要满足y＝f（x）与y＝h（x）的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.
答案：
C
二、填空题
5．函数f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上________（填“存在”或“不存在”）零点．
解析：
方法一 ∵f
（1）＝12－3×1－18＝－20＜0，
f（8）＝82－3×8－18＝22＞0，∴f
（1）·f（8）＜0，
又f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，
故f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
方法二 令f（x）＝0，得x2－3x－18＝0，
∴（x－6）（x＋3）＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f（x）＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：
存在
6．函数f（x）＝
零点的个数为________．
解析：
x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得：
x＝－3.
x＞0时，f（x）＝lnx－2在（0，＋∞）上递增，
f
（1）＝－2＜0，f（e3）＝1＞0，
∵f
（1）f（e3）＜0，
∴f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．
总之，f（x）在R上有2个零点．
答案：
2
7．已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0,1）上有零点，则a的取值范围为________．
解析：
由题意f
（1）·f（0）＜0.∴a（2＋a）＜0.∴－2＜a＜0.
答案：
（－2,0）
三、解答题
8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝x2＋2x＋4；
（3）f（x）＝2x－3；
（4）f（x）＝1－log3x.
解析：
（1）令
＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝
的零点是－3.
（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点.
（3）令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f（x）＝2x－3的零点是log23.
（4）令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f（x）＝1－log3x的零点是3.
9．已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn（mx＋1）的零点．
解析：
由题可知，f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn（mx＋1）的解析式为
y＝log2（－2x＋1），要求其零点，令
log2（－2x＋1）＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2（－2x＋1）的零点为0.
[尖子生题库]
10．已知二次函数f（x）＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
（1）零点均大于1；
（2）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）一个零点在（0,1）内，另一个零点在（6,8）内．
解析：
（1）因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得2≤a＜
.
即a的取值范围为
.
（2）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f
（1）＝5－2a＜0，解得a＞
.
即a的取值范围为
.
（3）因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0,1）内，另一个根在（6,8）内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得
＜a＜
.
即a的取值范围为
.
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