全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.doc

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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

（4月20日8:

00至10:

00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）

1．若，则函数的最小值是．

2．已知函数．若，则的值是．

3．已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，，则数列的通项．

4．若函数是奇函数，则实数的值是．

5．已知函数．若关于的方程的实根之和为，则的值是．

6．设、都是锐角，且，，则等于．

7．四面体中，，，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为．

8．若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围是．

9．设集合，，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是．

10．如果正整数可以表示为（，），那么称为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．已知，，为正实数，，，求的值．

12．已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，求双曲线C的离心率．

13．如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点．以为直径的半圆交的延长线于点．求证：

．

14．

（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？

（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？

证明你的结论．

2006年全国1卷理科第12题

设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（B）

A．50种B．49种C．48种D．47种

解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；

若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；

若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；

若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；

若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；

若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C54=5种；

若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；

若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；

若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；

若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；

总计有49种，选B．

解法二：

集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；

从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；

总计为10+20+15+4=49种方法．选B．

第9题的本质与推广

2014年金海南最后一模试题

设整数3，集合P{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满

足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．

（1）求a3；

（2）求an．

解：

（1）当3时，P{1，2，3}，

其非空子集为：

{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，

则所有满足题意的集合对（A，B）为：

（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），

（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，

所以a3；……3分

（2）设A中的最大数为k，其中,整数3，

则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：

，……5分

B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，k可在B中，但不能

都不在B中，故B的个数为：

，……7分

从而集合对（A，B）的个数为，

所以an．……10分

an=C（n，2）·1+C（n，3）·2+……+C（n，n）·（n-1）

∵C（n，k）·k=n·C（n-1，k-1）

an=n·[2^（n-1）-1]-（2^n-1-n）

=（n-2）·2^（n-1）+1