全国高中数学联赛模拟试题13.doc

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2017年全国高中数学联赛模拟试题13

第一试

（时间：

8:

00-9:

20满分：

120）

一、填空题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．若正实数满足和，则的值是．

2．如果△ABC中，tanA,tanB，tanC都是整数，且A>B>C，则tanB=

3．设，当时，的小数点后第一位数字是．

4．若，则的值是．

5．函数满足则的值是．

6．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4,OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为．

7．设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，

自分别作直线则的交点轨迹方程是

8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他

最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为

二、解答题：

本大题共3小题，共56分.

9．设函数．

（l）证明：

当时，；

（2）数列｛｝满足，证明：

数列｛｝递减且．

10．设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点．求的面积．

11．设是3个模不大于1的复数，是方程

的两个根．证明：

对j＝1，2，3，都有．

2017年全国高中数学联赛模拟试题13

加试

（时间：

9:

40-12:

10满分：

180）

一、（本小题满分40分）

设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余，

设其中．记

这里，表示整数被除的余数．

证明：

二、（本小题满分40分）

如图，在锐角中，已知，的角平分线与边交于点，点分别在边上，使得四点共圆且满足．

求证：

的内心是的外心．

三、（本题满分50分）

对于任意一个实数数列，定义数列如下：

．

求最小的正数，使得对任意实数数列及一切正整数，均有

四、（本题满分50分）

对于任意的整数．证明：

数列自某项起，各项对同余．

2017年全国高中数学联赛模拟试题13

第一试参考解答

（时间：

8:

00-9:

20满分：

120）

一、填空题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．若正实数满足和，则的值是．

解：

令，则，从而解得．

因此．

2．如果△ABC中，tanA,tanB，tanC都是整数，且A>B>C，则tanB=

解：

由于A>B>C，所以B,C都是锐角，tanB,tanC都是正整数，这样

所以A是锐角．这时，．我们有,

即．但是，比较可知只可能．

3．设，当时，的小数点后第一位数字是．

解：

由于，

这两式相乘得．因此，小数点后第一位数字是7．

4．若，则的值是．

解：

注意满足，从而．又注意的虚部相等，结合可知，只需针对进行计算即可．这时我们有．

将代入，得．故本题答案为．

5．函数满足则的值是．

解：

记，其中等号右端有个．那么

．注意从到这个过程中，的个数减少了2．同样的推理可知．继续此过程，就有.

6．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4,OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为．

解：

首先，固定A，B,C,D四点时，要使ABCD的体积最大，则D点到平面ABC的距离应最大．但D点在以O为球心，1为半径的球面上运动，故取最大值时，OD⊥平面ABC．设O在平面ABC的投影点为E，且|OE|=x．那么，D到ABC的距离为1+x．而EA=EB=EC=，可知△ABC的面积．（注：

这里用到，若A,B,C是半径为R的圆上三点，则△ABC的面积．）

因此，ABCD的体积．考虑函数，

易知,可见在（0,3）上有唯一的临界点，

在（0,3）的最大值为=36.从而所求最大值为．

7．设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，

自分别作直线则的交点轨迹方程是

8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和是一个质数，那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为

二、解答题：

本大题共3小题，共56分.

9．设函数．（l）证明：

当时，；

（2）数列｛｝满足，证明：

数列｛｝递减且．

解：

（1）待证式等价于，即．令，则，

可见，在上单调增，因此当时，．

（2）记，则．要证明｛｝递减，只需证明当时，．

事实上，等价于，也即，注意，

可见上式也等价于，即，这由（l）即证．

要证明，只需证明当时，．这等价于．也即．

为证此式，令，则，且等号成立当且仅当，即．因此在上单调增，．于是得证．

10．设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点．求的面积．

11．设是3个模不大于1的复数，是方程

的两个根．

证明：

对j＝1，2，3，都有．

证由对称性，只需证明：

．

不妨设。

令，

由得，

因此，若，结论成立．

另一方面，由，得

，

所以，

因此，当时，结论成立．

下设，．

如图，考虑以为顶点的三角形．

记和分别是三角形ABC的边BC上的中线和高，则．

由于，所以，由此推出都小于．

又因为，所以，

即△为锐角三角形．所以，△外接圆半径，

于是，矛盾！

因此这种情况不可能发生．

综上所述，原命题成立．

2017年全国高中数学联赛模拟试题13

加试

（时间：

9:

40-12:

10满分：

180）

一、（本小题满分40分）

设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余，

设其中．记

这里，表示整数被除的余数．

证明：

二、（本小题满分40分）

如图，在锐角中，已知，的角平分线与边交于点，点分别在边上，使得四点共圆且满足．

求证：

的内心是的外心．

三、（本题满分50分）

对于任意一个实数数列，定义数列如下：

．

求最小的正数，使得对任意实数数列及一切正整数，均有

四、（本题满分50分）

对于任意的整数．证明：

数列自某项起，各项对同余．