全国高中数学联赛全真模拟卷一试.doc

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2012年全国高中数学联赛模拟卷（8）第一试

（考试时间：

80分钟满分：

120分）

姓名：

_____________考试号：

______________得分：

____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1．不等式的解集为　　　　　　　　．

2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.

①三角形②正方形③梯形④五边形⑤六边形

3．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_________.

4．复数，使，则的所有可能值为_________．

5．所有的满足条件的正整数对的个数为．

6．设为方程的根（），则__.

7．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.

甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为.则使不等式

成立的事件发生的概率等于．

8．已知A,B,C为△ABC三内角,向量,.如果当C最大时,存在动点M,使得成等差数列,则最大值是_____.

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

9．对正整数，记，求数列{an}中的最大值．

10．给定正实数k，圆心为（）的圆至少与抛物线有三个公共点，一个是原点（0,0），另两个点在直线上，求的值（用表示）．

11．已知函数其中为实数，求所有的数对（a,n）（n∈N*）,

使得函数在区间内恰好有2011个零点．

2012年全国高中数学联赛模拟卷（8）答案

1．由得，原不等式可变为解得

故原不等式的解集为

2．答案：

②⑤，解：

由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得

3．提示：

曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.

4．答案：

0，1，解：

=，∴

当时，满足条件，当时，

设

∴，由

（2）

1）代入

（1）整理得：

2），则代入

（1）得：

，经检验复数均满足条件.

∴的所有可能值为0，1，.

5．解：

显然．由条件得，从而有

即，再结合条件及以上结果，可得，整理得

，从而

即，所以．当时，，不符合；当时，（不符合）．

综上，满足本题的正整数对只有，故只有1解．

6．答案：

，由题意，由此可得

　，，以及

7．提示：

甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a−2b+10>0得2b

于是，所求事件的概率为

8．解:

等号成立仅当.令|AB|=2c,因,

所以M是椭圆上的动点.故点C（0,）,设M（x,y）,则

|MC|2＝x2+（）2＝.

当y＝时,|MC|2max=,|MC|max＝.即max＝.

9．解：

经计算知，，，下面用数学归纳法证明：

当时，有

假设，则

所以数列{an}中的最大值是

10．解：

设⊙O:

即

抛物线与直线的两个交点坐标为，

则，即①,这两点亦在圆上，即

Þ

同理,即②

比较①，②知：

11．解：

首先，函数以为周期，且以为对称轴，即

，其次，

，∵关于对称，

∴在及上的零点个数为偶数，

要使在区间恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点

（1）若，则，考虑区间及上的零点个数．

当时，，

令则，

解得（舍），，故在内有两解．

当时，，

令，则，

解得（舍），（舍），故在内无解．因此，在区间内有三个零点．

同理可得满足条件．

2012模拟卷

（1）第4页共4页