n次独立重复试验与二项分布.docx
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n次独立重复试验与二项分布
二项分布及其应用
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做______________，用符号__________来表示，其公式为P（B|A）＝__________.
在古典概型中，若用n（A）表示事件A中基本事件的个数，则P（B|A）＝
.
（2）条件概率具有的性质：
①____________；
②如果B和C是两互斥事件，则P（B∪C|A）＝__________________________________.
2．相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称_______________________．
（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝________，
P（AB）＝P（B|A）·P（A）＝____________.
（3）若A与B相互独立，则________，________，________也都相互独立．
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则________________．
3．二项分布
（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
（2）在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为________________________（p为事件A发生的概率），事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为____________，记为____________．
1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
（1）“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系．
（2）“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
（3）“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥．
2．条件概率
条件概率通常是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．放在总体情况下看：
先求P（A），P（AB）再求P（B|A）＝
.关键是求P（A）和P（AB）．
1．已知P（AB）＝
，P（A）＝
，则P（B|A）＝________.
2．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，
每个开关开或关的概率都是，且是
相互独立的，则灯泡甲亮的概率为.
3．（2010·福建）某次知识竞赛规则如下：
在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为
，则事件A在1次试验中出现的概率为________．
5．（2011·广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A.
B.
C.
D.
题型一 条件概率
例1
抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
（1）求P（A），P（B），P（AB）；
（2）当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问
（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
（2）从2号箱取出红球的概率是多少？
题型二 相互独立事件的概率
例2
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
与p，且乙投球2次均未命中的概率为
.
（1）求乙投球的命中率p；
（2）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（3）若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．
设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8、0.9，求：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）两人中恰有1人击中目标的概率；
（3）在一次射击中，目标被击中的概率；
（4）两人中，至多有1人击中目标的概率．
题型三 独立重复试验与二项分布
例3
某射手每次射击击中目标的概率是
，且各次射击的结果互不影响．
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．
探究提高
（1）独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
（2）二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：
事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的
、
、
，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（2）
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
方法与技巧
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P（B|A）＝
＝
，其中，在实际应用中P（B|A）＝
是一种重要的求条件概率的方法．
2．运用公式P（AB）＝P（A）P（B）时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．
3．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝C
pk（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率．实际上，C
pk（1－p）n－k正好是二项式[（1－p）＋p]n的展开式中的第k＋1项．
失误与防范
1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件．
2．二项分布要注意确定成功概率．
专项基础训练题组
一、选择题
1．设随机变量X～B
，则P（X＝3）等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2010·辽宁）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为
和
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2011·湖北）如图，用K、A1、A2三类不同
的元件连接成一个系统．当K正常工作且
A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常
工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依
次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.960B．0.864
C．0.720D．0.576
二、填空题
4.（2011·湖南）如图，EFGH是以O为圆心，
半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子
随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子
落在正方形EFGH内”，B表示事件
“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，
则
（1）P（A）=；
（2）P（B|A）=.
5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
，则该队员每次罚球的命中率为________．
三、解答题
7．（2011·大纲全国）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（2）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
8．（2010·江苏）某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
（1）记X（单位：
万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
B组 专项能力提升题组
一、选择题
1.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为
6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独
立的，则灯亮的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2010·江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：
在10箱中各任意抽查一枚；方法二：
在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则（ ）
A．p1＝p2B．p1＜p2C．p1＞p2D．以上三种情况都有可能
3．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是________．
5．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的
入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将
3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知
小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概
率都是
，则小球落入A袋中的概率为.
6．（2010·安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①P（B）＝
；②P（B|A1）＝
；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
三、解答题
7．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，他们的投票相互没有影响，规定：
若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
（1）求该公司决定对该项目投资的概率；
（2）求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
8．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
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