河南中考数学压轴题全揭秘精品专题11 实际问题中的方程组与函数题型.docx
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河南中考数学压轴题全揭秘精品专题11实际问题中的方程组与函数题型
专题11实际问题中的方程（组）与函数题型
【例1】（2019·郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？
最大利润是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）y=300－10（x－44），
整理得：
y=－10x+740，（44≤x≤52）；
（2）由题意得：
（x－40）（－10x+740）=2400，
解得：
x=50，x=64（舍），
即当每本足球纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元.
（3）由题意得：
w=（x－40）（－10x+740）
=－10（x－57）2+2890
∵－10<0，对称轴为x=57，
∴当x<57时，w随x增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，w取最大值，最大为2640元，
即当每本足球纪念册的销售单价是52元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640元.
【例2】（2018·河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.
（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？
（2）相关资料表明：
甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：
3x+2x+3000=7500，
解得：
x=1100，
2×1100+200=2400，
即甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元.
（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用为w元，
则w=1100m+2400（50－m）
=－1300m+120000，
由题意知：
95%m+99%（50－m）≥97%×50，
解得：
m≤25，
即0≤m≤25，
∵－1300<0，
∴w随m的增大而减小，
当m=25时，w取最小值，即费用最低，
∴购买两种牛各25头时，费用最低.
【变式2-1】（2019·三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？
最大利润是多少？
（利润＝销售收入﹣进货金额）
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得：
80（a+2）＝88a，
解得：
a＝20．
即现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）①设y与x之间的函数关系式为：
y＝kx+b，
将（25，165），（35，55）代入y＝kx+b得，
，
解得：
，
即y与x之间的函数关系式为：
y＝﹣11x+440；
②设这种水果的销售价格为x元/千克时，利润为w元，
则w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣11x+440）
＝﹣11（x﹣30）2+1100，
∵﹣11<0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为1100．
即这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
【例3】（2018·洛阳三模）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载XX大脑的机器人小度以3:
1的总成绩，，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．
某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设该商家第一次购进机器人x个，
由题意得：
，
解得：
x=100．
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意．
答：
该商家第一次购进机器人100个．
（2）设每个机器人的标价是a元．
由题意得：
a﹣11000﹣24000≥×20%，
解得：
a≥140．
答：
每个机器人的标价至少是140元．
【变式3-1】（2019·周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款40英寸智能电视每台售价多少元？
（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款40英寸智能电视和新款B款40英寸智能电视共60台，且B款40英寸智能电视的进货数量不超过A款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？
A，B两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：
A款40英寸智能电视
B款40英寸智能电视
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000
【答案】见解析.
【解析】解：
设今年A款40英寸智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：
，
解得：
x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，符合题意，
∴今年A款40英寸智能电视每台售价为1600元.
（2）设购进A款电视a台，则购进B款（60－a）台，此时获利y元，
y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）
=-100a+36000，
其中：
60-a≤2a，0≤a≤60，
即20≤a≤60，且a为整数；
∵-100<0，
∴y随a的增大而减小，
当a=20时，y取最大值，
即当进A款电视20台，B款电视40台时，获利最大.
【例4】（2018·河南第一次大联考）紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元，购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．
（1）桂花树香樟树的单价各多少？
（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设桂花每棵x元，香樟树每棵y元，
由题意得：
，
解得：
x=60，y=80，
答：
桂花树每棵60元，香樟树每棵80元.
（2）设桂花树购买x棵，则香樟树购买（150－a）棵，
由题意得：
，
解得：
58≤x≤60，
∴有三种购买方案：
桂花树58棵，香樟树92棵；桂花树59棵，香樟树91棵；桂花树60棵，香樟树90棵.
【变式4-1】（2019·偃师一模）冬季来临，某网店准备在厂家购进A，B两种暖手宝共100个用于销售，若购买A种暖手宝8个，B种暖手宝3个，需要950元；若购买A种暖手宝5个，B种暖手宝6个，则需要800元．
（1）购买A，B两种暖手宝每个各需多少元？
（2）①由于资金限制，用于购买这两种暖手宝的资金不能超过7650元，设购买A种暖手宝m个，求m的取值范围；
②在①的条件下，购进A种暖手宝不能少于50个，则有哪几种购买方案？
（3）购买后，若一个A种暖手宝运费为5元，一个B种暖手宝运费为4元，在第
（2）问的各种购买方案中，购买100个暖手宝，哪一种购买方案所付的运费最少？
最少运费是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设A、B两种暖手宝的价格分别为x元/个、y元/个，
由题意得：
，
解得：
x=100，y=50，
即A、B两种暖手宝的价格分别为100元/个,50元/个.
（2）①由题意得：
100m+50（100－m）≤7650，
解得：
m≤53，
∴m的取值范围是：
0≤m≤53，且m为整数；
②∵50≤m≤53，
∴共有以下四种购买方案，
A种50个，B种50个；A种51个，B种49个；A种52个，B种48个；A种53个，B种47个；
（3）设总运费为w元，则：
w=5m+4（100－m）=m+400，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
当m=50时，运费最少，最少为450元，
∴当购买A种产品50个，B种产品50个时，总运费最少，最少为450元.
1.（2019·济源一模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式为z=－20x+2100．
（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）由题意得：
（2）种植樱桃面积x亩，则种植草莓面积（40－x）亩，
由题意知，
①当0=420x+57600,
∵420>0，
∴w随x的增大而增大，
当x=15时，w最大，最大值为63900，
②当15=－20（x－18）2+64080，
∵－20<0，
∴当x=18时，w取最大值，最大值为64080，
∵64080>63900，
∴当x=18时，小王家总共获得的利润w取最大值，最大值为64080元.
2.（2019·洛阳二模）某游乐园的门票销售分两类：
一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票10张及以上），每张门票在成人票价格基础上打6折．已知一个成人带两个儿童购门票需80元；两个成人带一个儿童购门票需100元．
（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？
（2）光明小学4名老师带领x名儿童到该游乐园，设购买门票需y元．
①若每人分别购票，求y与x之间的函数关系式；
②若购买团体票，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
③请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
【答案】见解析.
【解析】解：
设成人票每张a元，儿童票每张b元，
由题意得：
a+2b=80，2a+b=100，
解得：
a=40，b=20，
即成人票每张40元，儿童票每张20元；
（2）①y=4×40+20x
=160+20x
②y=40×0.6（x+4）
=24x+96，
由x+4≥10，得x≥6，且x为整数.
③（i）当160+20x>24x+96,即x<16，
∴当6≤x<16且x为整数时，应全部购买团体票较为优惠；
（ii）当160+20x=24x+96,即x=16，
∴当x=16时，购买团体票或分别购买均可以；
（iii）当160+20x<24x+96,即x>16，
∴当x>16且x为整数时，应分别购买较为优惠.
3.（2019·洛阳三模）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加，某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
A型销售数量（台）
B型销售数量（台）
总利润（元）
5
3
950
3
4
900
（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不多于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这80台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；
（3）已知A型空气净化器的净化能力为200m3/小时，B型空气净化器的净化能力为300m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为200m2，室内墙高3m，该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买A型空气净化器多少台？
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是x元，y元，
由题意得：
，解得：
x=100，y=150，
∴每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是100元，150元.
（2）设购买A型m台，则购进B型（80－x）台，利此时润为w元，
由题意知：
80－m≤2m，0≤m≤80，m为整数
可得：
≤m≤80，m为整数，
W=100m+150（80－m）
=－50m+12000，
∵－50<0，
∴w随m的增大而减小，
当m=27时，w取最大值，80－27=53，
即购进A型27台，B型53台时，售完后获利最大.
（3）设购买A型a台，则够买B型（5－a）台，
∴
×200a+
×300（5－a）≥200×3，
解得：
a≤3，
∵0≤a≤5，
∴0≤a≤3，且a为整数，
即至多要购买A型空气净化器3台.
4.（2017·新野一模）某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．
（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；
（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？
在此期间销售金额最高是第几天？
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）分两种情况：
①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，
∵直线y=k1x过点（15，45），
∴15k1=45，解得k1=3，
∴y=3x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，
∵点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，
∴15k2+b=45，20k2+b=0
解得：
k2=－9，b=180
∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；
∴y与x之间的函数关系式为：
y=
．
①当0≤x＜10时，p=25，
当10≤x≤20时，设销售单价p与销售时间x之间的函数解析式为：
p=mx+n，
∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，
∴10m+n=25，20m+n=15，
解得：
m=－1，n=35，
∴p=﹣x+35（10≤x≤20），
∴p=
；
（2）若日销售量不低于36千克，即y≥36．
当0≤x≤15时，y=3x，3x≥36，
解得：
x≥12；
当15＜x≤20时，y=﹣9x+180，
﹣9x+180≥36，
解得：
x≤16，
∴12≤x≤16，
∴“最佳销售期”共有：
16﹣12+1=5（天）；
∵p=﹣x+35（10≤x≤20），
k=﹣1＜0，
∴p随x的增大而减小，
∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣12+35=23．
∴此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售金额最高是第12天．
5.（2018·焦作一模）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元；购买1个A品牌和2个B品牌的计算器共需124元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店举行促销活动，具体办法如下：
购买A品牌计算器按原价的九折销售，购买B品牌计算器超出10个以上超出的部分按原价的八折销售．
①设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B
品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
②小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过10个，问购买哪种品牌的计算器更合算？
请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）设A品牌计算器的单价为m元，B品牌计算器的单价为n元，
由题意得：
2m+n=122，m+2n=124，
解得：
m=40，n=42，
即A品牌计算器的单价为40元，B品牌计算器的单价为42元．
（2）①由题意：
y1=0.9×40x
=36x，
当0＜x≤10时，y2=42x；
当x＞10时，y2=42×10+42（x﹣10）×0.8
=33.6x+84．
∴y2=
．
②当购买数量超过10个时，y2=33.6x+84．
（i）当y1＜y2时，36x＜33.6x+84，
即x＜35，
当10＜x＜35时，购买A品牌的计算器更合算；
（ii）当y1=y2时，36x=33.6x+84，
即x=35，
∴当x=35时，购买两种品牌的计算器花费一样多；
（iii）当y1＞y2时，36x＞33.6x+84，
即x＞35．
∴当x>35时，购买B品牌的计算器更合算．
6.（2018·信阳一模）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：
2x+y=56，x+2y=82，
解得：
x=10，y=36，
即一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）由m≤3（50﹣m），得：
m≤37.5，
∴0≤m≤37，且m为整数，
设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：
W=10m+36（50﹣m）
=﹣26m+1800，
∵﹣26＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=37时，W最小=838，
即当购买A型跳绳37根，B型跳绳13根时，最省钱．
7.（2019·南阳毕业测试）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式；
（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，
由题意得：
80x+60（17﹣x）＝1220，
解得：
x＝10，
即购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）W与a的函数关系式：
W＝80a+60（17﹣a）
＝20a+1020；
（3）由题意得：
17－a8.5，
∴8.5由
（2）知，W＝20a+1020，
W随a的增大而增大，
∴a=9时，即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，
W＝80×9+60×8＝1200，
即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，需要1200元．
8.（2019·开封二模）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：
购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A种，B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：
在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，
依题意得：
，
解得：
，
答：
A种树每棵100元，B种树每棵80元；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，
有a≥3（100﹣a），
解得：
a≥75．
设实际花费金额是y元，则：
y＝0.9[100a+80（100﹣a）]
＝18a+7200．
∵18＞0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a＝75时，y取最小值，
即当a＝75时，y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．
答：
当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
9.（2019·安阳一模）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价（元/个）
运费（元/个）
单价（元/个）
运费（元/个）
甲
240
0
210
20
乙
300
0
250
30
（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30个，花费8280元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？
（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍，请求出花费最少的购买方案及花费．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设线下购买甲种书架x个，乙种书架y个，
由题意得：
，
解得：
，
即线下购买甲种书架12个，乙种书架18个.
（2）设购买甲种书架a个，则购买乙种书架（30－a）个，总花费为w元，
∵30－a≥3a，即a≤7.5（其中a为正整数），
W=（210+20）a+（250+30）（30－a）
=-50a+8400，
∵-50<0，
∴w随a的增大而减小，
当a=7时，w最小，最小值为8050元，
即当购买7个甲种书架，23个乙种书架时，总费用最低，最低为8050元.
10.（2019·省实验一模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明
（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】见解析．
【
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