（2）求出图中a的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8:
20时能喝到不超过
40oC的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间
或时间段接通饮水机电源.（不可以用上课时间接通饮水机电源）
、反比例函数与翻折结合问题
k
例1.如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=-（x>0）的图象经过点B.x
（1）求k的值；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC'、NA'BC.设线段k
MC'、NA、分别与函数y=（x>0）的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.
x
OAAf
A,
的制浄匕
=-11/Ij■
（1）求证：
△AOE与ABOF的面积相等
EF对折后，C点恰好落在OB上
点M、N的坐标；若不存在，请说明理由
（2）求反比例函数的解析式;
在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出
例2•如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4,3），反比
k
（3）如图2,P点坐标为（2,-3）,在反比例函数y=—的图象上是否存在点M、N（Mx
k
例函数y=k（k>0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F,将△CEF沿
x
*it力雕g尿7・N^BC曲疋方陋酣拆所符
Mi（1>足血栈耳4妁if办辩
HOC・2・
点h坐标-
肖尸=3时.x=1,剋F（L4j.
b
A
V
~■■
L
F
X
*p
■
1
團】
團2
三、反比例函数中的探究性问题
（2010
山东省德州）•探究
（1）在图1中，已知线段AB,CD,其中点分别为E,
F.
①若
A（-1,
0）,B（3,0）,贝UE点坐标为
②若
C（-2,
2）,D（-2,-1），则F点坐标为
⑵在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a,
x
C
J
b）,B（c,dD
第1题图
1
求出图中AB中点D的坐标（用含a,b,c,d的
代数式表示），并给出求解过程.
•归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
当其端点坐标为A（a,b）,B（c,d）,AB中点为D（x,
y）
时,
x=
.（不必证明）
O
第1题图2
•运用在图2中，一次函数yx2与反比例函数y3的图象交点为A,B.
x
1求出交点A,B的坐标；
2若以A，O,B，P为顶点的四边形是平行四边形，
请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
1
【答案】解：
探究⑴①（1,0）:
②（-2,）;
2
（2）过点A,D,B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为
A,D,B，则AA//BB//CC
*y
•••D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得
O
即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是
•••AB中点D的坐标为（？
C）•
22
归纳:
yx2
运用①由题意得3
y-
x
x3，x1，
解得或
y1.y3.
•••即交点的坐标为A（-1,-3）,B（3,1）
②以AB为对角线时,由上面的结论知AB中点M的坐标为（1,-1）.
•••平行四边形对角线互相平分，
•••OM=0P,即卩M为0P的中点.
•••P点坐标为（2,-2）.
同理可得分别以0A,0B为对角线时，
点P坐标分别为（4,4）,（-4,-4）.
•满足条件的点P有三个，坐标分别是（2,-2）,（4,4）,（-4,-4）.
例2
（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关
系，并说明理由.
（2）结论应用：
k
1如图2，点M,N在反比例函数y=k（k>0）的图象上，过点M作ME丄y轴，过点N
x
作NF丄x轴，垂足分别为E,F，试证明：
MN//EF;
2若①中的其他条件不变，只改变点M,N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平
【答案】
（1）证明：
分别过点C,D，作CG丄AB,DH丄AB,垂足为G,H，则/CGA=ZDHB=90°.
•••CG//DH.
•/△KBC与AABD的面积相等，•CG=DH.
•四边形CGHD为平行四边形.
•AB//CD.
（2）①证明：
连结MF,NE.
设点M的坐标为（xi,yi）,点N的坐标为（X2,y2）.
k
•••点M,N在反比例函数y（k>0）的图象上，
x
•为％k,X2『2k.
•/ME丄y轴，NF丄x轴，
•OE=yi,OF=X2.
.11
--S^efm=Xiyik,
22
S/EFN=
1i.
x2y2k.
22
/.S^efm
=S^efn.
由（i）
中的结论可知：
MN//EF.
②MN//EF.
课堂练习
达标训练
k
I、若一次函数y=2x—i和反比例函数y=的图象都经过点（i,i）.
2x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用
（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、0、B、P为顶点的四边形
是平行四边形，请你直接写出点P的坐标.
2、已知：
如图，正比例函数
k
y=ax的图象与反比例函数y=—的图象交于点A（3,2）
x
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象信息回答问题：
在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比
例函数的值?
3过点M作直线MN//x轴，交y轴于点B;过点A作直线AC//y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长.
能力提升
1、（育才二模）⑴“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规
不可能“三等分任意角”•但对于特定度数的已知角，如90。
角、45°角等，是可以用尺规
进行三等分的•如图a,ZAOB=90。
，我们在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向/
AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出/DOB的角平分线OE，则射线OD、
OE将ZAOB三等分•仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的ZMON三等分（已
知/MON=45°）.（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
图a
c）：
将给定的锐角
⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图
1
ZAOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y—的图象交于点P,以Px
为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直
1
线相交于点M，连接OM得到/MOB，则/MOB=-ZAOB.要明白帕普斯的方法，请研
3
究以下问题：
①设P（a,丄）、R（b,-），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）ab
②分别过点P和
OM上，并据此证明/
图c
2.（2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系XOY中，直线li过点A（1,0）且与y轴平
行，直线12过点B（0，2）且与x轴平行，直线11与直线12相交于点P.点E为直线12上k
一点，反比例函数错误！
未找到引用源。
y=（k>0）的图象过点E与直线11相交于点F.
x
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE.OF.EF.若k>2，且△OEF的面积PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M.E.F为顶点的三角形与△PEF全等?
若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由.
反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定
理.
专题：
分类讨论.
分析：
（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）当k>2时，点E.F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形，再求出S/FPE=错误！
未找到引用源。
k2-k+1，根据S/OEF=S矩形OCGD-S^DOF-S牟GD-S^OCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；
（3）①当kv2时，只可能是△MEF也/PEF,作FH丄y轴于H，由△FHM^ZMBE可求出
BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2,求出k的值，进而可得出E
点坐标;
②当k>2时，只可能是厶MFE也zPEF,作FQ丄y轴于Q,△^QM^ZMBE得,
BM
FQ
EM
FM
可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2,求出k的值，进而
可得出E点坐标.
课外练习
1、如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A'处，
A'B与y轴交于点F。
已知OA=1,AB=2。
⑴设CF=X，贝UOF=
⑵求BF的长；
k
⑶设过点B的双曲线为y—（k工0），试问双曲线I上是否存在一点M，使得以
x
OB为一边的厶OBM的面积等于1?
若存在，试求出点M的横坐标；若不存在，试说明理
由。
已知取曲线\=-与直线丫=丄工相交于儿R两点.第一象限上的点K在且点左恻）
x4
是双曲线丫=£上的动点-过点月作BDlly轴交文轴于点D-过AT（0,-«）作NC"工轴交
X
択曲线）-=£于点E,交強D于点匚.
X
（2）SB是cd的中点，四边形OFCE的面积対4,求直线C订的解析式.
<3）设直线AM、弁别与〉耙相文于F*Q两点，且M4二刃fCf求p~q的値.
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