高中数学第三章概率321古典概型的特征和概率计算公式学业分层测评北师大版必修.docx
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高中数学第三章概率321古典概型的特征和概率计算公式学业分层测评北师大版必修
2019-2020年高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式学业分层测评北师大版必修
一、选择题
1．下列试验中是古典概型的有（ ）
A．种下一粒大豆观察它是否发芽
B．从规格直径为（250±0.6）mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况
D．某人射击中靶或不中靶
【解析】 A中基本事件“发芽”与“未发芽”不是等可能发生的，B中试验的基本事件有无数个，D中“中靶”与“不中靶”也不是等可能发生的，因此A，B，D都不是古典概型．故选C.
【答案】 C
2．在平面直角坐标系中，从下列五个点：
A（0,0），B（2,0），C（1,1），D（0,2），E（2,2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE共有10个基本事件，而其中ACE，BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为
＝
.
【答案】 B
3．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 所有的基本事件是（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共有8个，仅有2次出现正面向上的有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共3个．则所求概率为
.
【答案】 A
4．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括（1,3,5），（1,3,7），（1,5,7），（3,5,7），共4个，其中能构成一个三角形的有（3,5,7），共1个，则所求概率为
.
【答案】 A
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：
（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），其中勾股数只有（3,4,5），所以概率为
.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
【解析】 三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE的概率为
.
【答案】
7．从集合{a，b，c，d}的子集中任取一个，这个集合是集合{a，b，c}的子集的概率是________．
【解析】 集合{a，b，c，d}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}，共16个，{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个，故所求概率为
.
【答案】
8．从三男三女共6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于________．
【解析】 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种，其中都是女同学有3种，故所求的概率为
＝
.
【答案】
三、解答题
9．一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：
如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
（1）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）；
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
（2）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．
【解】
（1）余下两种坐法如下表所示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
（2）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8种．
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，
所以P（A）＝
＝
.
即乘客P5坐到5号座位的概率是
.
10．袋中有5张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号为1,2.
（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
【解】
（1）标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：
（A，D），（A，E），（B，D），共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为
.
（2）记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：
（A，D），（A，E），（B，D），（A，F），（B，F），（C，F），（D，F），（E，F），共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为
.
[能力提升]
1．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件（a，b）．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 基本事件有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），（4,1），（4,2），（4,3）共12种，事件E包含（2,2），（3,2），（3,3），（4,2），（4,3）共5种，则E发生的概率是
.
【答案】 B
2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A.
B．
C.
D.
【解析】 标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），（C1，C2），（C1，C3），（C2，C3），共15个．其中事件M包含的基本事件有（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P（M）＝
＝
.
【答案】 B
3．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
【解析】 当a＝1，b＝1,2；
当a＝2时，b＝1,2,3；
当a＝3时，b＝2,3,4；
当a＝4时，b＝3,4,5；
当a＝5时，b＝4,5,6；
当a＝6时，b＝5,6；
所以“心有灵犀”包含的基本事件数有16个，而基本事件总数为36，
故P＝
＝
.
【答案】
4．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图321所示），其中样本数据分组区间为：
[40,50），[50,60），…，[80,90），[90,100]．
图321
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50）的概率．
【解】
（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
（3）受访职工中评分在[50,60）的有：
50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50）的有：
50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为
.
2019-2020年高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式学案北师大版必修
1．能记住古典概型的概念、两个基本特征及计算公式．（重点）
2．掌握求基本事件总数的常用方法：
列举法、树状图法、列表法等．（重点）
3．会选择恰当的方法求古典概率模型的概率．（难点）
[基础·初探]
教材整理 古典概型
阅读教材P130～P132“例1”以上部分，完成下列问题．
古典概率模型的特征
1．
（1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
（2）每一个试验结果出现的可能性相同．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．
2．试验的每一个可能结果称为基本事件．
3．古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P（A）＝
＝
.
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）掷一粒正方体骰子一次，观察其朝上的点数的试验为古典概型．（ ）
（2）从[0,10]上任取一个不大于5的实数的试验为古典概型．（ ）
（3）在古典概型中，试验中的基本事件都是有限的，且事件的发生都是等可能的．（ ）
【解析】
（1）√，根据古典概型的定义可得．
（2）×，可能结果有无限个．
（3）√，根据古典概型的特征知正确．
【答案】
（1）√
（2）× （3）√
[小组合作型]
基本事件的计数问题
列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数．
（1）从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；
（2）从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验．
【精彩点拨】 根据基本事件的定义探求各试验的所有基本事件．
【自主解答】
（1）从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件．
分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共3个．
（2）从袋中取两个球的等可能结果为球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5.故共有10个基本事件．
确定基本事件空间的方法：
随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
[再练一题]
1．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验：
①从中任取一个球，观察其颜色；②从中任取两个球，观察其颜色；③一先一后取两个球，观察其颜色．
分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件总数.
【解】 ①试验“从中任取一个球，观察其颜色”的基本事件空间Ω＝{红、白、黄、黑}，基本事件总数为4.
②试验“从中任取两个球，观察其颜色”的基本事件空间Ω＝{（红、白），（红，黄），（黄，黑），（白，黄），（白，黑），（红，黑）}，基本事件总数为6.
③试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的基本事件空间Ω＝{（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（黄，黑），（黑，黄），（白，黄），（黄，白），（白，黑），（黑，白），（红，黑），（黑，红）}，基本事件总数为12.
古典概型的判定
下列概率模型是古典概型吗？
为什么？
（1）从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
（3）从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．
【精彩点拨】 根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．
【自主解答】
（1）不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
（2）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
（3）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：
（1）有限性：
在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个．
（2）等可能性：
每个基本事件出现的可能性相等．
[再练一题]
2．
（1）在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率．此试验是否为古典概型？
为什么？
（2）从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？
试说明理由．
【解】
（1）在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．
（2）此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：
（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．
[探究共研型]
古典概型概率的求法
探究1 掷一枚骰子共有多少种不同的结果？
【提示】 共有6种不同的结果．
探究2 掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？
【提示】 2,4,6共三种结果．
探究3 掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？
【提示】 记事件A为落地时向上的点数为偶数．则P（A）＝
.
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
【精彩点拨】 用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解．
【自主解答】
（1）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P（A）＝
＝
.
（2）基本事件同
（1）．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P（B）＝
.
古典概型问题的解题方法与步骤：
1判断所求概率的问题是否属于古典概型；
2利用列举法、列表法或树状图法列举出所有可能出现的基本事件，计算其总数n；
3从所列出的基本事件中查出所求概率的事件A包含的基本事件数m；,4利用公式PA＝
求解.
[再练一题]
3．先后掷两枚大小相同的骰子，求点数之和能被3整除的概率．
【解】 先后抛掷两枚大小相同的骰子，结果如下：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共有36种不同的结果．
记“点数之和能被3整除”为事件A，则事件A包含的基本事件共12个：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（3,6），（6,3），（4,5），（5,4），（6,6）．故P（A）＝
＝
.
1．下列不是古典概型的是（ ）
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【解析】 C中每种结果出现的可能性不相等，故选C.
【答案】 C
2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
【解析】 基本事件共有{计算机、数学}、{计算机、航空模型}、{数学、航空模型}三个．
【答案】 C
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为________．
【解析】 基本事件总数为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为
＝
.
【答案】
4．广州亚运会要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为________．
【解析】 8名懂外文的志愿者中随机选1名有8个基本事件，“选到懂日文的志愿者”包含3个基本事件，因此所求概率为
.
【答案】
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是多少？
【解】 总的事件数为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10种，其中和为5的一共有（1,4），（2,3），所以P＝
＝0.2.
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