高中数学 《对数的概念》教学设计 北师大版必修1.docx

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高中数学《对数的概念》教学设计北师大版必修1

2019-2020年高中数学《对数的概念》教学设计北师大版必修1

一、教材分析

本节课是新课标高中数学必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备.同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.

二、学情分析

大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.

三、设计思路

学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动.本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.

四、教学目标

1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能.

2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化.

3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。

通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一.

4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识.

五、重点与难点

重点：

（1）对数的概念；

（2）对数式与指数式的相互转化.

难点：

（1）对数概念的理解；

（2）对数性质的理解.

六、过程设计

教学环节

教学程序及设计

设计意图

创

设

情

境

引

入

新课

引例

1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？

（2）取多少次，还有0.125尺?

分析:

（1）为同学们熟悉的指数函数的模型,易得

（2）可设取x次,则有

抽象出:

2、xx年我国GPD为a亿元，如果每年平均增

长8%，那么经过多少年GPD是xx年的2倍？

分析:

设经过x年,则有

抽象出:

让学生根据题意，设未知数，列出方程.这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识。

生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的.

讲

授

新

课

讲

授

新

课

讲

授

新

课

一、对数的概念

一般地，如果a（a>0且a≠1）的b次幂等于N,就是=N那么数b叫做a为底N的对数,记作，a叫做对数的底数,N叫做真数。

注意：

①底数的限制:

a>0且a≠1

②对数的书写格式.

正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备.同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误.

二、对数式与指数式的互化：

（5分钟）

幂底数←a→对数底数

指数←b→对数

幂←N→真数

思考：

①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？

②是否是所有的实数都有对数呢？

负数和零没有对数

让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a、b和N位置的不同，及它们的含义。

互化体现了等价转化这个重要的数学思想.

三、两个重要对数

①常用对数：

以10为底的对数,简记为:

lgN

②自然对数：

以无理数e=2.71828…为底的对数的对数

简记为:

lnN.（在科学技术中,常常使用以e为底的对数）

注意：

两个重要对数的书写

这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式做准备.

课堂练习

1将下列指数式写成对数式：

（1）

（2）

（3）（4）

2将下列对数式写成指数式：

（1）

（2）

（3）

3求下列各式的值：

（1）

（2）

本练习让学生独立阅读课本例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数概念的理解.并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题.培养学生严谨的思维品质.

四、对数的性质

探究活动1

讲授新课

求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）（4）

思考：

你发现了什么？

“1”的对数等于零，即类比：

探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论。

通过练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而更能好地理解和掌握对数的性质.培养学生类比、分析、归纳的能力.最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质.

探究活动2

求下列各式的值：

（1）1

（2）1

（3）1（4）1

思考：

你发现了什么？

底数的对数等于“1”，即类比：

探究活动3

求下列各式的值：

（1）3

（2）0.6

（3）89

思考:

你发现了什么?

对数恒等式:

探究活动4

求下列各式的值:

（1）4

（2）5

讲授新课

（3）8

思考:

你发现了什么?

对数恒等式:

负数和零没有对数

小“1”的对数等于零，即

底数的对数等于“1”，即

结对数恒等式:

对数恒等式:

将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质.

巩

固

练

习

1、课本练习

2、提高训练

1.已知x满足等式，求值

2.求值：

巩固指数式与对数式的互化，巩固对数的基本性质及其应用.

归

纳

小

结

强

化

思

想

1、引入对数的必要性----对数的概念

一般地，如果a（a>0且a≠1）的b次幂等于N,就是=N，那么数b叫做以a为底，N的对数。

记作　　

2、指数与对数的关系

3、对数的基本性质

负数和零没有对数

对数恒等式:

总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容.同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用。

为下一课时对数的运算打下扎实的基础.

作业布置

一、习题2.2A组第1、2题

二、已知

，求的值

三、求下列各式的值：

作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足.

板书设计

§2.2.1对数的概念

引例1

引例2

一、对数的定义

二、对数式与指数式的互化

练习

三、对数的基本性质

四、小结

五、作业布置

七、教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握.

《指数函数的图象及其性质》教学设计

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学

（1）》第二章第一节第二课《指数函数及其性质》的第一节时“探究图象及其性质”.指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究.

二、学情分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用.教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生.本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望.

三、设计思路

1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置.如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心.本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去.

2.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法.

3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.

四、教学目标

1.理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；

2.在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；

3.通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识.

五、重点与难点

教学重点：

指数函数的概念、图象和性质.

教学难点：

对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

提问：

如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

学生回答后教师公布事先估算的数据：

51号同学该准备102粒米，大约5克重。

提问：

如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

师：

大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？

教师公布事先估算的数据：

51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨.

师：

1.2亿吨是一个什么概念？

根据xx年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，xx～xx年度我国大米产量预计为1.27亿吨。

这就是说51号同学所需准备的大米相当于xx～xx年度我国全年的大米产量！

在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用表示，每位同学的座号数用表示，与之间的关系分别是什么？

学生很容易得出y=2x（）和（）

（二）师生互动、探究新知

1．指数函数的定义

师：

其实，在本章开头的问题2中，也有一个与类似的关系式（）

让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：

（约3分钟）

（）和（）这两个解析式有什么共同特征？

它们能否构成函数？

是我们学过的哪个函数？

如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

师：

如果可以用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成的形式。

自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

让学生讨论并给出指数函数的定义。

（约6分钟）

对于底数的分类，可将问题分解为：

若会有什么问题？

（如，则在实数范围内相应的函数值不存在）

若会有什么问题？

（对于，都无意义）

若又会怎么样？

（无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）

师：

为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？

教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如，，。

2．指数函数性质

提出两个问题

目前研究函数一般可以包括哪些方面；

研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？

用什么方法、从什么角度研究？

可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！

还可以借助一些数学思想方法来思考.

分组活动，合作学习

师：

好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。

让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；

每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）；

每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流.

交流、总结

师：

下面我们开一个成果展示会!

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。

这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？

师：

各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？

（如过定点（0，1），与的图象关于y轴对称）

师：

从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到.

教师通过几何画板中改变参数的值，追踪的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律.

师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书.

图

象

定义域

R

值域

性

质

过定点（0，1）

非奇非偶

在R上是减函数

在R上是增函数

（三）巩固训练、提升总结

1．例：

已知指数函数

的图象经过点，求的值.

解：

因为的图象经过点，所以

即，解得，于是.

所以

.

【设计意图：

通过本题加深学生对指数函数的理解。

】

师：

根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

师：

从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。

2．练习：

在同一平面直角坐标系中画出和的大致图象，并说出这两个函数的性质；

求下列函数的定义域：

，

。

3．师：

通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？

你有什么收获？

4．作业：

习题2．1A组第5题。

指数函数及其性质

一、定义三、性质五、小节

二、图像四、例题六、练习

七、教学反思

本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”.

教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响.

在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题.

本次培训学到了许多以前不曾考虑过的问题，也懂得了许多教学理论知识，丰富了自己的教学内容，受益匪浅，提高了自己的认识水平。

如果能面授，我想收获会更好。

2019-2020年高中数学《平面向量的坐标》教案北师大版必修4

一、教学目标：

1.知识与技能

（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.

（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.

（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件

2.过程与方法

教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.

3.情感态度价值观

通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.

二.教学重、难点

重点:

平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.

难点:

平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.

三.学法与教学用具

学法：

（1）自主性学习+探究式学习法：

（2）反馈练习法：

以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:

电脑、投影机.

四.教学设想

【创设情境】

（回忆）平面向量的基本定理（基底）=λ1+λ2

其实质：

同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.

【探究新知】

（一）、平面向量的坐标表示

1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示

思考：

在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？

取轴、轴上两个单位向量,作基底，则平面内作一向量

记作：

=（x,y）称作向量的坐标

如：

===（2,2）===（2,-1）

===（1,-5）=（1,0）=（0,1）=（0,0）

由以上例子让学生讨论：

①向量的坐标与什么点的坐标有关？

②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？

③两个向量相等的条件是？

（两个向量坐标相等）

[展示投影]思考与交流：

直接由学生讨论回答：

思考1．

（1）已知（x1,y1）（x2,y2）求+，-的坐标

（2）已知（x,y）和实数λ,求λ的坐标

解：

+=（x1+y1）+（x2+y2）=（x1+x2）+（y1+y2）

即：

+=（x1+x2,y1+y2）

同理：

-=（x1-x2,y1-y2）

λ=λ（x+y）=λx+λy

∴λ=（λx,λy）

结论：

①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

思考2.已知你觉得的坐标与A、B点的坐标有什么关系？

∵=-=（x2,y2）-（x1,y1）

=（x2-x1,y2-y1）

结论：

③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向

线段终点的坐标减去始点的坐标。

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例1.（教材P104例2）

例2.（教材P104例3）

例3.已知三个力（3,4）,（2,-5）,（x,y）的合力++=

求的坐标.

解：

由题设++=得：

（3,4）+（2,-5）+（x,y）=（0,0）

即：

∴∴（-5,1）

例4.已知平面上三点的坐标分别为A（-2,1）,B（-1,3）,C（3,4），求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

解：

当平行四边形为ABCD时，

仿例2得：

D1=（2,2）

当平行四边形为ACDB时，

仿例2得：

D2=（4,6）

当平行四边形为DACB时，

仿例2得：

D3=（-6,0）

【巩固深化，发展思维】

1．若M（3,-2）N（-5,-1）且,求P点的坐标；

解：

设P（x,y）则（x-3,y+2）=（-8,1）=（-4,）

∴∴P点坐标为（-1,-）

2．若A（0,1）,B（1,2）,C（3,4）则-2=（-3,-3）

3．已知：

四点A（5,1）,B（3,4）,C（1,3）,D（5,-3）求证：

四边形ABCD是梯形。

解：

∵=（-2,3）=（-4,6）∴=2

∴∥且||≠||∴四边形ABCD是梯形

【探究新知】

[展示投影]思考与交流：

思考：

共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？

设其中

由得

消去λ：

∵∴中至少有一个不为0

结论：

∥（）用坐标表示为

注意：

①消去λ时不能两式相除∵y1,y2有可能为0.

②这个条件不能写成∵有可能为0.

③向量共线的两种判定方法：

∥（）

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例5.如果向量

向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线

解法1.利用可得于是得

解法2.易得

故当时，三点共线

例6.若向量=（-1,x）与=（-x,2）共线且方向相同，求x

解：

∵=（-1,x）与=（-x,2）共线∴（-1）×2-x（-x）=0

∴x=±∵与方向相同∴x=

[学习小结]（学生总结，其它学生补充）

五、评价设计

1．作业：

习题2--4A组第1，2，3，7，8题．

2．（备选题）：

已知A（-1,-1）B（1,3）C（1,5）D（2,7）向量与平行吗？

直线AB与平行于直线CD吗？

解：

∵=（1-（-1）,3-（-1））=（2,4）=（2-1,7-5）=（1,2）

又∵2×2-4-1=0∴∥

又∵=（1-（-1）,5-（-1））=（2,6）=（2,4）

2×4-2×6≠0∴与不平行

∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD

六、课后反思：