高二数学 上学期巧用直接法求轨迹方程例题解析.docx

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高二数学上学期巧用直接法求轨迹方程例题解析

巧用直接法求轨迹方程

用直接法求轨迹方程就是根据轨迹的条件，能够直接找到动点坐标之间的关系，从而得到所求的轨迹方程.其步骤为：

建立坐标系，写出动点P（x,y）的坐标，然后根据已知条件写出等式，得出x、y之间的关系，化简后即得所求的轨迹方程，而已知条件是指题设的要求，有时要借助平面几何的有关定理，分析出数量关系.

一、代入题设中的已知等式

若动点的规律由题设中的已知等式明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹.

例1动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即

），求动点P的轨迹方程？

解：

∵|PA|=

代入

得

化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

二、列出符合题设条件的等式

有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程.

例2动点P到一高为h的等边△ABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？

解以C为原点，AB上的高线CD所在直线为x轴建立直角坐标系

设动点P（x,y），则A（

），B（

）列出等式

化简得

三、运用有关公式

有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程.

例3△ABC的两顶点是B（－3，0），（3，0），两底角B、C之和恒为135°，求第三顶点A的轨迹方程.

解∵∠B+∠C=135°，∴∠P=45°，

代入二直线交角公式

化简得

轨迹是两条优弧，B、C两点是轨迹的极限点.

四、借助平几中的有关定理和性质

有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

例4一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解由平几的中线定理：

在直角三角形AOB中，OM=

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.

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